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摘 要：如何选取合适的学习材料，设计适度的数学问题，采取有效的学习方式，来激活学生的知识经验和数学思维能力，让数学课堂更简洁？《和与积的奇偶性》一课，留出足够的时间让学生充分表达自己的想法，再通过小组合作进一步交流，发现其中存在的规律。教师则适时地“现身”，引导学生将复杂的问题简单化，深奥的道理通俗化，单一的思维多元化。
关键词：和与积的奇偶性 小研究 教学过程 教学反思
一、课前的小研究设计
《和与积的奇偶性》是苏教版小学数学五年级下册的一节探索计算规律的活动课，意在让学生切实经历数学规律的完整过程，充分感受其中蕴含的数学思想方法。本课研究的内容之所以挑选不是0的自然数并计算相应的和，主要是因为此前对奇数和偶数的认识是在非0自然数范围内进行的。课前，安排学生进行前置性研究，小研究（见图1）中设计了这样几个环节：（1）任意选两个不是0的自然数，求出和，研究和的奇偶性。（2）交流讨论若干个例子，初步发现其中存在的规律。（3）进一步探究几个数和的奇偶性，分析决定几个数的和是奇数还是偶数的原因。（4）最后探究几个数的积的奇偶性，并对活动过程进行回顾和反思。
在学生完成的小研究中，我发现了很多亮点：有的画图研究（用小棒摆一摆），有的列举说明现象（举了一些相应的式子），有的列表分析规律（参考了教材上的表格），更有的运用了转化（将奇数转化成偶数加1）……基于此，课堂上要留出足够的时间让学生充分表达自己的想法，再通过小组合作进一步交流，发现其中存在的规律。
二、教学过程
（一）复习旧知
师 还记得我们之前学习的奇数和偶数吗？请同学们回忆一下，什么叫奇数？什么叫偶数？
（学生回答。教师板书揭示课题：和与积的奇偶性。）
（二）交流小研究
1.关于“两个数的和的奇偶性”的研究。
（1）同桌交流。
（2）组际交流。
生 我用的是举例法，每一个用3道式子来说明。偶数+偶数=偶数：64+86=150，40+50=90，14+34=48。奇数+奇数=偶数：5+9=14，13+17=30，29+69=98。奇数+偶数=奇数：17+12=29，19+37=56，73+84=157。
生 我用的是列表法，（投影出示图2）这样比较清楚，看起来一目了然。
生 我是用除法来证明我的发现也是成立的。因为奇数除以2余1，偶数除以2没有余数，所以奇数加偶数的和除以2仍余1，所以奇数加偶数的和是奇数。
生 其实你的想法也可以用小棒画出来，这样更简单明了。每两根圈一圈，偶数根没有剩余，而奇数根就会余1根。当奇数+偶数时，奇数中余下1根，和也会出现余1根，那么和就是奇数。
生 （小江同学）我来说说我的方法。
（小江边出示图3边阐述。）
师 他这段话信息量很大，你们听懂了吗？谁能解释一下？
生 他说得有点烦琐，也有些深奥，通俗地说，就是把奇数转化成偶数+1。
（教师在学生说的时候板书，如图4。）
生 对，如果把任意一个偶数看作n，那么奇数就是n+1。
师 想想刚才三个同学提到的“除法”“摆小棒”“奇数是偶数+1”三种方法，有共同之处吗？
生 除法计算后得到余1，摆小棒圈一圈后也会多1，而奇数=偶数+1，结果都与“1”有关。
生 奇数+奇数=偶数，只要想最后余下的1+1就可以了。
生 奇数+偶数=奇数，只余了一个1，和肯定是奇数。
（3）回顾与反思。
师 同学们，你们的研究方法可谓百花齐放，老师觉得你们很会研究！让我们一起来回顾一下，刚才在探究活动中发现了什么？又是怎样发现这个规律的呢？
生 我们小组用的是列表的方法，能比较清楚地发现任意两个数相加的和的规律。
生 我们是分类列举。发现了两个偶数相加的和是偶数，两个奇数相加的和是偶数，一个奇数和一个偶数相加的和是奇数。
生 我们发现画图或转化后，偶数和奇数相加，其实与加数中偶数的个数无关，只取决于加数中的奇数个数。
……
师 刚才我们通过列举、画图、列表、转化等多种方法，验证得到了两个数相加的和的奇偶性规律：偶数+偶数=偶数；奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数。
（4）运用与拓展。
师 打开数学书，看看左右两边页码的和是奇数还是偶数？为什么？
生 我的两个页码是55、56，55+56=111，和是奇数。
生 我的两个页码是12、13，12+13=25，和是奇数。
生 我的两个页码是100、101，100+101=201，和是奇数。
生 我发现任意打开两页，左右页码一定是相邻的两个自然数，相邻的两个自然数的和是奇数。
生 我来总结一下：相邻两个自然数要么是一个奇数和一个偶数，要么是一个偶数和一个奇数，所以左右两边页码的和一定是奇数。
2.关于“几个数的和的奇偶性”的研究。
师 刚才我们探究的是两个数相加的和的奇偶性，那么若干个自然数相加的和呢？课前我们也进行了研究，老师特别欣赏这个同学的研究过程，一起来看看。
（出示小任同学的研究思路，如图5。）
师 你們知道小任同学为什么这样研究？
生 她是先研究几个偶数相加，再研究几个奇数相加，最后研究几个偶数和几个奇数相加。
生 她先从简单的开始研究。
生 几个偶数相加，只有一种情况，简单的先研究，再研究比较复杂的。
…… 师 先在四人小组里，根据小任同学的研究方法调整自己的研究顺序。
（1）若干个偶数相加。
生 我来汇报，若干个偶数相加，我的例子是：4+4+4=12，6+8+8+8=30，4+6+8+6+10+12=46。
生 我有补充，不管是多少个偶数相加，和一定是偶数。
（2）若干个奇数相加。
生 我和大家交流的是若干个奇数相加，我的例子是：9+9+9=27，7+3+3+3=16，3+3+3+3+3=15，7+7+3+3+5+9=34。
生 若干个奇数相加，我们要分两种情况来讨论：一种加数的个数是偶数个，另一种是加数的个数是奇数个。
师 有道理！先说说加数的个数是偶数个的情况。
生 3+3=6。
生 5+5+5+5=20；6个11相加，和是66。
生 2个、4个、6个、8个……奇数相加，和就是偶数。
生 奇数的个数是2个、4个、6个……的时候，和就是偶数，这是因为每两个奇数相加的和是偶数。偶数+偶数=偶数，多个偶数相加还是偶数。
师 接下来说说加数的个数是奇数个的情况。
生 5+5+5=15。
生 7+7+7+7+7=35。
生 7个9相加，和是63。
生 我可以解释为什么奇数个奇数相加，和就是奇数。
（边说边呈现自己的思考，如图6）当奇数的个数是1、3、5、7……时，每次都会多一个奇数，偶数+奇数=奇数。
师 是的，所以当奇数是1个、3个、5个等奇数个的时候，和一定是奇数。
（3）加数中有偶数也有奇数的情况。
生 我是用的列表法。大家看一下我研究的表格，（出示图7）加数中的偶数个数不管有几个，和一定是偶数；而加数中的奇数个数是有变化性的。
生 看完你的表格，我发现了这样的规律：偶数+偶数=偶数，多个偶数相加还是偶数。而加数中有奇数个奇数的，相加后每次都会多一个奇数，奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数。
生 其实，偶数在算式中不能决定和的奇偶性。
師 和是奇数还是偶数，其实我们只要看什么？（边说边板书）和——只要看奇数的个数。
师 看来，研究复杂的问题，可以从怎样的问题入手——（学生回答：从简单的问题入手）是啊，遇到复杂的问题，从简单问题入手，找出规律来解决，这是一种非常好的思考方法！
生 （小宋同学）我给大家带来一道题，请大家思考！
（出示图8。）
生 有25组100，就是2500，和是偶数。
生 我用的是等差数列求和的方法计算的，比他的简单些，只要用（首项+末项）×项数÷2就可以。
生 其实不用那么麻烦，我们早就知道100以内有50个奇数、50个偶数，用我们今天所学的知识就能解决：偶数个奇数相加，和一定是偶数。
师 在研究多个不是0的自然数相加时，其实我们只要关注算式中奇数的个数。所以，复杂的问题研究起来就是这么简单！
3.关于“积的奇偶性”的研究。
师 刚才我们发现的都是几个数和的奇偶性，如果是几个数的乘积，也会出现像上面这样的一些规律吗？什么情况下是奇数？什么情况下是偶数？
生 我先从两个数相乘研究的，1×3=3，积是奇数；2×4=8，积是偶数；3×8=24，积是偶数。
生 我认为要尽量多举例，多写一些算式并进行比较，才能发现规律。
生 对，你举例说明的只是两个数相乘，还有三个数相乘、四个数相乘，等等。
生 1×3×5=15，乘数都是奇数，积也是奇数。8×4×10×2=640，乘数都是偶数，积也是偶数。1×2×3=6，3×5×7×2=210，乘数中只要有一个偶数，积也一定是偶数。
生 我同意你的观点，无论几个数相乘，只要有一个偶数，它们的乘积一定是偶数。
师 你们的研究方法由简到繁、由浅入深，小组之间也能互相补充、互相完善。
老师觉得你们同伴之间的学习方式越来越成熟了！
师 下面我们一起轻松一下，口算判断积的奇偶性。
你能很快判断出积是奇数还是偶数吗？
（教师一题一题地出示算式：1×3×5，8×4×10×2，1×2×3，3×5×7×2，14×27×56×11×15×35。学生口算算不出来的，再板书一道大数目相乘算式判断题。）
师 这些算式有什么不同？什么情况下积是奇数？什么情况下积是偶数？
生 算式中有偶数，那一定是2的倍数，则积就一定是2的倍数。
师 积是奇数还是偶数，我们只要看什么？（边说边板书）积——只要有一个偶数。
（三）探索与归纳
师 今天我们研究了和与积的奇偶性，你有什么体会？
生 在研究时，我们多写一些算式进行比较，就能发现规律。
生 从不同的算式中发现共同的特点；举例和验证也是发现规律的好办法。
生 遇到复杂的问题，从简单问题入手，找出规律来解决。
三、教学反思
在教学实践中，我一直在思考：如何选取合适的学习材料，设计适度的数学问题，采取有效的学习方式，来激活学生的知识经验和数学思维能力，让数学课堂更简洁？
（一）断舍离：复杂的问题简单化
课前批阅学生完成的小研究，小任同学的研究思路和我不谋而合。在四人小组交流前，我先引导学生：按什么样的思路研究呢？课中，适时推荐小任的研究思路，让其他学生说说这样研究的好处。有学生很快发现，应该先从简单的开始研究，比如说算式中全是偶数，它只有一种情况，不管多少个偶数相加，和一定是偶数。这时，我及时“现身”，强化了这一种研究思想：从简单到复杂，这样更容易发现规律。
（二）巧转化：深奥的道理通俗化
课堂上出现了一个偶发事件，小江同学的发言中出现了“模2（mod 2）”这样的字眼，不少学生一时看不明白。事实上，“模2”就是“除以2之后的余数”，比如3 mod 2 = 1，4 mod 2 = 0。一个整数n对2取模，如果余数为0，则表示n为偶数，否则n为奇数。我适时引导学生：“他这段话信息量较大，你们听懂了吗？谁能解释一下？”有学生立刻举手，说其实就是把奇数转化成了偶数+1。我也顺势板书加以解释。小江的“模2思想”，便和前面用有余数的除法以及画小棒的方法一样，简单易懂了。
（三）精追问：单一的思维多元化
比如小宋同学考大家的题：1+3+5+…+99，请说说和是奇数还是偶数？为什么？
立刻有学生想到高斯的解法：“一共有25组100，就是2500，和是偶数。”
我只是笑笑，说：“有更简单的方法吗？”
另一位学生说：“我是用等差数列求和的方法计算的，比他的简单些，只要用（首项+末项）×项数÷2就可以。”
我还是笑笑，说：“还有更简单的吗？”
一位女生自信地说：“其实不用那么麻烦，我们早就知道100以内有50个奇数、50个偶数，用我们今天所学的知识就能解决：偶数个奇数相加，和一定是偶数。”
学生恍然大悟，简单吧！
关键词：和与积的奇偶性 小研究 教学过程 教学反思
一、课前的小研究设计
《和与积的奇偶性》是苏教版小学数学五年级下册的一节探索计算规律的活动课，意在让学生切实经历数学规律的完整过程，充分感受其中蕴含的数学思想方法。本课研究的内容之所以挑选不是0的自然数并计算相应的和，主要是因为此前对奇数和偶数的认识是在非0自然数范围内进行的。课前，安排学生进行前置性研究，小研究（见图1）中设计了这样几个环节：（1）任意选两个不是0的自然数，求出和，研究和的奇偶性。（2）交流讨论若干个例子，初步发现其中存在的规律。（3）进一步探究几个数和的奇偶性，分析决定几个数的和是奇数还是偶数的原因。（4）最后探究几个数的积的奇偶性，并对活动过程进行回顾和反思。
在学生完成的小研究中，我发现了很多亮点：有的画图研究（用小棒摆一摆），有的列举说明现象（举了一些相应的式子），有的列表分析规律（参考了教材上的表格），更有的运用了转化（将奇数转化成偶数加1）……基于此，课堂上要留出足够的时间让学生充分表达自己的想法，再通过小组合作进一步交流，发现其中存在的规律。
二、教学过程
（一）复习旧知
师 还记得我们之前学习的奇数和偶数吗？请同学们回忆一下，什么叫奇数？什么叫偶数？
（学生回答。教师板书揭示课题：和与积的奇偶性。）
（二）交流小研究
1.关于“两个数的和的奇偶性”的研究。
（1）同桌交流。
（2）组际交流。
生 我用的是举例法，每一个用3道式子来说明。偶数+偶数=偶数：64+86=150，40+50=90，14+34=48。奇数+奇数=偶数：5+9=14，13+17=30，29+69=98。奇数+偶数=奇数：17+12=29，19+37=56，73+84=157。
生 我用的是列表法，（投影出示图2）这样比较清楚，看起来一目了然。
生 我是用除法来证明我的发现也是成立的。因为奇数除以2余1，偶数除以2没有余数，所以奇数加偶数的和除以2仍余1，所以奇数加偶数的和是奇数。
生 其实你的想法也可以用小棒画出来，这样更简单明了。每两根圈一圈，偶数根没有剩余，而奇数根就会余1根。当奇数+偶数时，奇数中余下1根，和也会出现余1根，那么和就是奇数。
生 （小江同学）我来说说我的方法。
（小江边出示图3边阐述。）
师 他这段话信息量很大，你们听懂了吗？谁能解释一下？
生 他说得有点烦琐，也有些深奥，通俗地说，就是把奇数转化成偶数+1。
（教师在学生说的时候板书，如图4。）
生 对，如果把任意一个偶数看作n，那么奇数就是n+1。
师 想想刚才三个同学提到的“除法”“摆小棒”“奇数是偶数+1”三种方法，有共同之处吗？
生 除法计算后得到余1，摆小棒圈一圈后也会多1，而奇数=偶数+1，结果都与“1”有关。
生 奇数+奇数=偶数，只要想最后余下的1+1就可以了。
生 奇数+偶数=奇数，只余了一个1，和肯定是奇数。
（3）回顾与反思。
师 同学们，你们的研究方法可谓百花齐放，老师觉得你们很会研究！让我们一起来回顾一下，刚才在探究活动中发现了什么？又是怎样发现这个规律的呢？
生 我们小组用的是列表的方法，能比较清楚地发现任意两个数相加的和的规律。
生 我们是分类列举。发现了两个偶数相加的和是偶数，两个奇数相加的和是偶数，一个奇数和一个偶数相加的和是奇数。
生 我们发现画图或转化后，偶数和奇数相加，其实与加数中偶数的个数无关，只取决于加数中的奇数个数。
……
师 刚才我们通过列举、画图、列表、转化等多种方法，验证得到了两个数相加的和的奇偶性规律：偶数+偶数=偶数；奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数。
（4）运用与拓展。
师 打开数学书，看看左右两边页码的和是奇数还是偶数？为什么？
生 我的两个页码是55、56，55+56=111，和是奇数。
生 我的两个页码是12、13，12+13=25，和是奇数。
生 我的两个页码是100、101，100+101=201，和是奇数。
生 我发现任意打开两页，左右页码一定是相邻的两个自然数，相邻的两个自然数的和是奇数。
生 我来总结一下：相邻两个自然数要么是一个奇数和一个偶数，要么是一个偶数和一个奇数，所以左右两边页码的和一定是奇数。
2.关于“几个数的和的奇偶性”的研究。
师 刚才我们探究的是两个数相加的和的奇偶性，那么若干个自然数相加的和呢？课前我们也进行了研究，老师特别欣赏这个同学的研究过程，一起来看看。
（出示小任同学的研究思路，如图5。）
师 你們知道小任同学为什么这样研究？
生 她是先研究几个偶数相加，再研究几个奇数相加，最后研究几个偶数和几个奇数相加。
生 她先从简单的开始研究。
生 几个偶数相加，只有一种情况，简单的先研究，再研究比较复杂的。
…… 师 先在四人小组里，根据小任同学的研究方法调整自己的研究顺序。
（1）若干个偶数相加。
生 我来汇报，若干个偶数相加，我的例子是：4+4+4=12，6+8+8+8=30，4+6+8+6+10+12=46。
生 我有补充，不管是多少个偶数相加，和一定是偶数。
（2）若干个奇数相加。
生 我和大家交流的是若干个奇数相加，我的例子是：9+9+9=27，7+3+3+3=16，3+3+3+3+3=15，7+7+3+3+5+9=34。
生 若干个奇数相加，我们要分两种情况来讨论：一种加数的个数是偶数个，另一种是加数的个数是奇数个。
师 有道理！先说说加数的个数是偶数个的情况。
生 3+3=6。
生 5+5+5+5=20；6个11相加，和是66。
生 2个、4个、6个、8个……奇数相加，和就是偶数。
生 奇数的个数是2个、4个、6个……的时候，和就是偶数，这是因为每两个奇数相加的和是偶数。偶数+偶数=偶数，多个偶数相加还是偶数。
师 接下来说说加数的个数是奇数个的情况。
生 5+5+5=15。
生 7+7+7+7+7=35。
生 7个9相加，和是63。
生 我可以解释为什么奇数个奇数相加，和就是奇数。
（边说边呈现自己的思考，如图6）当奇数的个数是1、3、5、7……时，每次都会多一个奇数，偶数+奇数=奇数。
师 是的，所以当奇数是1个、3个、5个等奇数个的时候，和一定是奇数。
（3）加数中有偶数也有奇数的情况。
生 我是用的列表法。大家看一下我研究的表格，（出示图7）加数中的偶数个数不管有几个，和一定是偶数；而加数中的奇数个数是有变化性的。
生 看完你的表格，我发现了这样的规律：偶数+偶数=偶数，多个偶数相加还是偶数。而加数中有奇数个奇数的，相加后每次都会多一个奇数，奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数。
生 其实，偶数在算式中不能决定和的奇偶性。
師 和是奇数还是偶数，其实我们只要看什么？（边说边板书）和——只要看奇数的个数。
师 看来，研究复杂的问题，可以从怎样的问题入手——（学生回答：从简单的问题入手）是啊，遇到复杂的问题，从简单问题入手，找出规律来解决，这是一种非常好的思考方法！
生 （小宋同学）我给大家带来一道题，请大家思考！
（出示图8。）
生 有25组100，就是2500，和是偶数。
生 我用的是等差数列求和的方法计算的，比他的简单些，只要用（首项+末项）×项数÷2就可以。
生 其实不用那么麻烦，我们早就知道100以内有50个奇数、50个偶数，用我们今天所学的知识就能解决：偶数个奇数相加，和一定是偶数。
师 在研究多个不是0的自然数相加时，其实我们只要关注算式中奇数的个数。所以，复杂的问题研究起来就是这么简单！
3.关于“积的奇偶性”的研究。
师 刚才我们发现的都是几个数和的奇偶性，如果是几个数的乘积，也会出现像上面这样的一些规律吗？什么情况下是奇数？什么情况下是偶数？
生 我先从两个数相乘研究的，1×3=3，积是奇数；2×4=8，积是偶数；3×8=24，积是偶数。
生 我认为要尽量多举例，多写一些算式并进行比较，才能发现规律。
生 对，你举例说明的只是两个数相乘，还有三个数相乘、四个数相乘，等等。
生 1×3×5=15，乘数都是奇数，积也是奇数。8×4×10×2=640，乘数都是偶数，积也是偶数。1×2×3=6，3×5×7×2=210，乘数中只要有一个偶数，积也一定是偶数。
生 我同意你的观点，无论几个数相乘，只要有一个偶数，它们的乘积一定是偶数。
师 你们的研究方法由简到繁、由浅入深，小组之间也能互相补充、互相完善。
老师觉得你们同伴之间的学习方式越来越成熟了！
师 下面我们一起轻松一下，口算判断积的奇偶性。
你能很快判断出积是奇数还是偶数吗？
（教师一题一题地出示算式：1×3×5，8×4×10×2，1×2×3，3×5×7×2，14×27×56×11×15×35。学生口算算不出来的，再板书一道大数目相乘算式判断题。）
师 这些算式有什么不同？什么情况下积是奇数？什么情况下积是偶数？
生 算式中有偶数，那一定是2的倍数，则积就一定是2的倍数。
师 积是奇数还是偶数，我们只要看什么？（边说边板书）积——只要有一个偶数。
（三）探索与归纳
师 今天我们研究了和与积的奇偶性，你有什么体会？
生 在研究时，我们多写一些算式进行比较，就能发现规律。
生 从不同的算式中发现共同的特点；举例和验证也是发现规律的好办法。
生 遇到复杂的问题，从简单问题入手，找出规律来解决。
三、教学反思
在教学实践中，我一直在思考：如何选取合适的学习材料，设计适度的数学问题，采取有效的学习方式，来激活学生的知识经验和数学思维能力，让数学课堂更简洁？
（一）断舍离：复杂的问题简单化
课前批阅学生完成的小研究，小任同学的研究思路和我不谋而合。在四人小组交流前，我先引导学生：按什么样的思路研究呢？课中，适时推荐小任的研究思路，让其他学生说说这样研究的好处。有学生很快发现，应该先从简单的开始研究，比如说算式中全是偶数，它只有一种情况，不管多少个偶数相加，和一定是偶数。这时，我及时“现身”，强化了这一种研究思想：从简单到复杂，这样更容易发现规律。
（二）巧转化：深奥的道理通俗化
课堂上出现了一个偶发事件，小江同学的发言中出现了“模2（mod 2）”这样的字眼，不少学生一时看不明白。事实上，“模2”就是“除以2之后的余数”，比如3 mod 2 = 1，4 mod 2 = 0。一个整数n对2取模，如果余数为0，则表示n为偶数，否则n为奇数。我适时引导学生：“他这段话信息量较大，你们听懂了吗？谁能解释一下？”有学生立刻举手，说其实就是把奇数转化成了偶数+1。我也顺势板书加以解释。小江的“模2思想”，便和前面用有余数的除法以及画小棒的方法一样，简单易懂了。
（三）精追问：单一的思维多元化
比如小宋同学考大家的题：1+3+5+…+99，请说说和是奇数还是偶数？为什么？
立刻有学生想到高斯的解法：“一共有25组100，就是2500，和是偶数。”
我只是笑笑，说：“有更简单的方法吗？”
另一位学生说：“我是用等差数列求和的方法计算的，比他的简单些，只要用（首项+末项）×项数÷2就可以。”
我还是笑笑，说：“还有更简单的吗？”
一位女生自信地说：“其实不用那么麻烦，我们早就知道100以内有50个奇数、50个偶数，用我们今天所学的知识就能解决：偶数个奇数相加，和一定是偶数。”
学生恍然大悟，简单吧！