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摘 要： 推理论证能力是学生学习数学不可或缺的能力，研究哪些教师支持行为有助于提高学生的推理论证水平，可以为教师组织讨论提供建议。在对小学数学课堂集体讨论进行案例分析，并结合教师访谈的基础上，研究者总结出组织型和参与型两类教师支持行为，其中组织型支持行为包括邀请、重申、指令和评价，参与型支持行为包括澄清、补充、提示和连接。基于此，数学教师应综合使用两类教师支持行为，有意识地引导学生运用基本原理，多做指路人而非搀扶者，培养学生的推理论证能力。
关键词： 数学讨论;教师支持;推理论证;课堂教学
中图分类号： G623.5 文献标识码： A 文章编号： 2095-5995（2018）10-0056-04
一、问题提出
推理论证能力是学生学习数学不可或缺的一种能力。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在課程的总目标中就要求学生“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法”[1] 。数学推理论证能力外显于表达与交流中。美国《州共同核心数学标准》在第三项实践标准指出，数学学得好的学生不仅能使用猜测、定义和已有结论构建自己的论证，还能评价别人的推理是否正确。[2] 数学讨论可以发展学生的推理论证能力，但是讨论法在我国数学教学中的应用效果并不乐观，有些数学教师认为“讲授越多，讨论越少，学生数学成绩越好”[3] 。教师应当如何在讨论中指导学生进行推理论证，成为目前一个新的研究课题。研究教师在组织数学讨论中的支持行为可以为教师提供建议，以发展学生的推理论证能力。
国外有研究者从多方视角论述了数学讨论中的教师支持行为，例如，福曼从社会语言学的角度，分析了“重复”在教师组织数学讨论中的作用;[4] 亚肯利用 拓尔敏的论证图式模型，列举了教师的言语行为和非言语行为;[5] 康内尔概括出了集体论证中教师的支持行为有直接支持、提问、其他支持。[6] 从已有文献来看，国外的相关研究已较为丰富，但是这些研究多从静态的角度分析动态的数学讨论，虽然研究了教师的教学行为，却很少关注学生的推理论证水平是否得到了提升。因此，考察教师在提升学生推理论证水平的过程中提供了哪些帮助，不仅可以弥补此领域国内外相关研究的不足，而且可以为教师组织数学讨论提供一些具体的建议。
二、研究方法
（一）研究工具
已有研究在制定课堂推理论证的评价指标时，大多借鉴了拓尔敏的论证图式模型。该模型将要证明的观点或结论、直接证据、前提条件、附加的支撑、限定、反驳规定为论证的六要素。通过前期调研，研究者发现小学生常常不能完整地论证一个数学问题，他们只能利用论证模型当中的一个要素或多个要素参与到推理讨论中。论证的完整程度可以反映出小学生的推理论证水平。 基于此，研究者根据结论、推理、交流三个维度，将小学生在数学讨论中的推理论证表现划分为6个水平。水平1：不能给出结论，保持沉默。水平2：不能给出结论，但是知道哪些条件是可供利用的，或者能辨识别人的主张是否正确;能够给出结论，但结论不准确;能够给出结论，但无法说明理由。水平3：能够给出结论，但是推理有错误，推理不完整或推理没有条理。水平4：结论正确，且能较为完整地表达自己的推理过程，有一定的逻辑性。水平5：结论正确，能够利用别人的观点来支持自己的立场;能够反驳别人。水平6：结论正确，能够用不同的策略来支持自己的立场，能证明别人的观点是错误的或者用多种方法证明自己的观点;能够对争论的问题和讨论的过程进行总结，能找到各个观点及知识点之间的联系。
（二）研究对象
本研究一共选取了8位小学二年级和三年级的数学教师作为研究对象，他们均来自广州市的5所公立小学，且学校数学教学质量均位于广州市前列。在课堂上，这些教师经常使用集体讨论形式解决数学问题。
（三）研究方法与数据收集
本研究主要采用课堂观察法和访谈法，研究者先对数学课堂进行观察、分析，再结合教学录像提取出学生群体的推理论证水平得到了提升的案例，然后分析教师在这些片段中的支持行为类型和作用，并通过教师访谈确认分析无误，最后检验这些支持行为是否对提升学生推理论证水平起作用。
三、研究结果
研究发现，教师的支持行为有组织型和参与型两种类型。组织型支持行为包括邀请、重申、指令和评价，参与型支持行为有澄清、补充、提示和连接。在组织型支持行为中，教师虽然提供给学生数学知识，但是这些知识不能直接作为推理的要素， 它们只能在论证的必需步骤之外产生鼓励和暗示，因此组织型支持行为仅对组织讨论起作用，对推理不起直接作用。在参与型支持行为中，教师或提供某种推理思路，或参与到推理过程中，集体讨论因教师的直接参与而向着更流畅、更准确、更抽象的方向发展，这类支持行为对学生推理能力的提升具有直接的引导作用。以下是对这几种支持行为的说明：
（一）邀请
数学讨论中的对话包括学生与教师的对话，学生与学生的对话以及学生与自己的对话。其中，师生对话与生生对话是外显的对话，学生与自己的对话是内隐的对话，邀请学生参与讨论是教师的首要支持行为。在邀请前，教师要考虑好邀请的对象和邀请的顺序。一般来说，教师结合问题的难度、学生的学习作品、学生的参与状态、学生的推理论证表现水平等来指定发言者。教师邀请学生主动发言时，教师可以说“有谁可以解释清楚？”而对于发言的顺序，教师应先请推理论证水平表现较低的学生陈述答案及理由，如果出现无理由或推理无条理的情况，再邀请推理论证水平较高的学生发言。这样层层推进的设计可以帮助学生认识到已有论证的缺陷，从而引发学生的认知冲突，促使学生对问题的论证向更完整、更有条理的方向前进。
（二）重申
重申的教学行为经常发生在数学教学讨论中，包括教师重复提问、重复学生的发言、总结学生的观点等。当学生在1级推理论证水平附近停滞时，教师反复变更自己的数学语言，综合利用语言文字、符号、图形、图表等，可让学生理解数学问题，明确目标。教师重复学生的话语时偶尔还会伴随一定的语调，这往往是起突出和强调作用，以引起其他学生的注意和思考。教师总结学生的观点则往往发生在讨论的中期阶段，此时学生整体的推理论证水平一般达到了水平3及以上，教师梳理、总结学生已表达的观点和理由，能帮助学生清晰地了解全体学生的一般观点和解决问题的一般策略，帮助学生厘清思路，推动学生的推理论证水平向更高层次发展。 （三）指令
集体讨论离不开教师的组织。如果没有教师的组织，那么积极的学生唯恐自己的意见不为别人所知，就会抓住一切机会畅所欲言，而不积极的学生则沉默寡言，不能参与到讨论中。因此，集体讨论需要教师的引导。教师的指令可以维持讨论秩序，保证集体讨论中学生的参与度和投入度。在低年级小学数学课堂讨论中，教师支持行为有“一二三，坐端正”等维持秩序的指令。针对高年级小学生，教师发出的指令应指向学生的认知状态，例如“没听明白的同学请举手”。指令支持行为能够帮助教师把握学生参与讨论的状态，同时为教师的下一步支持行为提供保障。
（四）评价
有效的课堂评价可以为学习者自我调节提供有效的信息，提高学生课堂参与和自主学习的积极性。教师对推理的反馈有利于学生的自我反思，一方面可以讓发言者补充或修正观点，另一方面可以激励其他学生参与到讨论中，引发深层次的数学交流。从评价内容来看，教师的评价既有对是非的判断，例如“你说得对”，也有对学生推理的质疑，此时教师提供与学生观点相矛盾的事实或观念。从评价的形式来看，评价既可以是教师对学生的推理做出诊断与分析，例如“你说得很清楚”;也可以由学生来评价，如“你们觉得他分析得怎么样？”等。通过评价，学生得到及时的反馈从而能获得继续参与讨论的动力，及时修正错误，促进学生推理论证水平的提升。
（五）澄清
澄清与评价都是对学生推理论证的反馈，但不同的是澄清不再是简单地判断学生的数学认知和技能是否正确，而是明确指出为什么正确与错在何处。澄清的支持行为往往发生在水平2或水平3，在澄清的支持下，学生能够正确合理地证明一个观点或结果。在三年级的“认识时间”讨论活动中，图上钟表时针指在8与9之间，分针指向4，一个学生认为：“4、5、6、7、8共有5格，4乘5等于20，所以是20分，又因为时针走过了8，所以（图上表示的时间）是8点20分。”虽然学生得出“8点20分”这个结论是正确的，但该学生误用分针与时针之间的跨度来计算分，推理的过程是不正确的。这时，教师立即澄清了学生的错误，指出“分针是从12开始数，不是从4到8，明白了吗？”学生也马上意识到了自己的错误， 说道：[DK1]“分针从12到4共走过了4格，4乘5等于20，时针走过了8，所以是8点20分。”这样教师通过澄清学生的错误，让学生理解自己的推理错误，在弄懂知识的同时也发展了推理能力。
（六）补充
数学课堂上集体讨论的实质就是数学推理，学生解决问题的过程也就是学生进行推理论证的过程，学生从前提出发，经过一个命题判断到另一个命题判断，最终得到所要论证的结论。[7] 在拓尔敏看来，一个完整的论证需要观点、直接证据、前提条件、附加的支撑、限定和反驳六个要素，即便一个最简单的论证也必须包含前面三个要素，即观点、直接证据、前提条件。小学数学里的三段论推理模型就属于这个类型。我们的研究发现，小学生在推理时容易遗漏前提条件，且推理的步骤之间不连贯。此时，教师如果及时补充推理中缺少的要素，就可以提高论证的准确性，推动论证的进程。在解决“超市一周卖出5箱保温壶，每个保温壶卖45元，一共卖了多少钱？”这一问题时，第一个学生说出了用5乘12再乘45，待他说完后，第二个学生立即补充“因为要求总钱数，也就是求几个几的问题，所以要用乘法。”可见，第一个学生的推理论证水平已经达到了水平2，可以正确列式。第二个学生虽能给出理由，但理由不完整，其推理论证表现达到水平3。为了让学生表达得更加完整，教师抓住了提问的契机，问学生“12”这个数字是哪里来的。第二个学生在教师的引导下，立即补充：“从图上可以数出每箱有12个保温壶！”可见，教师及时介入到学生的不完整推理论证中去，能帮助学生完整地说出推理论证的过程。之后陆续有学生参与到讨论中，此时学生不仅能列式，还能完整说出为什么用乘法，并解释算式中的每个数字代表的意义和每一步计算的目的。甚至还有学生能比较（5×12）×45和5×（12×45）两个算式的不同含义。在这个讨论片段中，教师的补充支持行为促使学生最终的整体论证表现水平达到6级，学生在原有的基础上取得了很大进步。
（七）提示
发现事实背后的规律及其原因对于小学生来说比较困难，而这恰恰是学生思维发展由形象思维向抽象思维过渡的关键，学生抽象思维的水平直接影响其推理水平。教师从学生的见解出发，在其基础上做进一步的提炼和概括，并用提示的话语引导学生找到解答思路，可以推动学生推理水平向前发展。例如，在学生发现“用棋子摆出的个数分别是1、2、3、4、5”后，教师鼓励学生找到背后的规律，问学生“所以你们摆出的个数越来越[CD#2]？”学生在教师的提示下仔细思考棋子数量的特征，并总结出“棋子个数越来越多”的规律。提示可以是基于学生直接的生活经验和认知，为学生提出具体的数学问题;也可以是基于抽象的推理，能引导学生在原有基础上继续进行更深层次的逻辑推理。
（八）连接
数学讨论中的推理论证重在思维交流，学生的推理论证能力正是在思维的碰撞中得以发展的。教师联系不同学生的相似观点，有助于学生总结数学讨论后的结果，或理解集体论证所达到的层次。教师联系学生不同的甚至对立的观点，能引导学生对不同观点进行比较，找出自己的观点在集体论证中所处的地位和做出的贡献，为学生整合最优观点提供支架。研究发现，教师的连接支持行为用得越多，学生推理论证水平越高。
四、讨论与建议
研究发现，上述8种教学行为是教师组织集体讨论，促进学生推理论证水平发展的主要支持行为。在数学教学讨论中，这8种支持行为并不是完全独立的，它们经常交叉、重叠地出现在数学讨论中，对学生的推理直接或间接地发挥作用。教师在使用这些支持行为时，应当以学生的推理论证需要为中心，结合学生的已有经验灵活地为学生提供支持。
（一）综合使用两类教师支持行为 教师提供必要的支持，可以促进学生提高推理论证水平。研究发现，教师利用邀请、重申、指令、评价这类组织型支持行为，可以激发学生的讨论热情，引导学生注意结论和证据，规范讨论秩序，为学生表达观点提供合适的途径，促使学生主动发现论证中的不足之处，进而提升学生的推理论证水平。这些支持行为主要为学生推理论证提供动力支撑，间接发展学生的推理论证能力。教师使用澄清、补充、提示和连接这类参与型支持行为，直接指出论证各要素的不合理或者不完善之处，甚至延续学生的讨论，为集体讨论的结论和证明出谋划策，教师以参与讨论的形式直接推动学生的推理论证活动向前发展。两种类型的教师支持行为在数学讨论中都不可或缺，教师应当综合使用两类支持行为，既发挥学生讨论的主体性，又发挥教师组织讨论的主导地位，为学生搭建推理论证能力发展的“脚手架”。
（二）有意识引导学生运用基本原理
“在启发式数学教学中，教师应时刻注意引导学生从一般原理的高度去认识新知识（特殊问题推广到一般原理），要引导他们找出新旧知识在一般原理上的一致性，指导他们将具体知识归纳为一般原理，使知识具有广泛的迁移性。”[8] 利用一般原理而不是具体的知识解答问题对小学生推理能力的发展极其重要。但小学生在证明自己的观点时，常常不能用一般的原理作为证明的条件，而是用以前经历类似问题时的方法解答问题，这种基于具体问题的数学迁移在论证中并不具有较强的说服力。因此，教师在使用参与型支持行为时，应当有意识地教学生概括具体的问题，从具体的问题中提炼出要证明的问题，以及利用数学中的基本原理证明自己的结论。在使用组织型支持行为时，教师应当注意评价的使用，培养学生运用一般原理证明结论的习惯，让学生完善推理过程，发展推理能力。
（三）多做指路人而非搀扶者
与组织型支持行为相比，参与型的教师支持行为在讨论中能提供给学生更多的数学知识和解决问题的方法，能更加快速地推动学生集体推理论证能力由低水平向高水平发展。但如果教师过多使用澄清、补充、提示和连接，容易导致学生依赖教师的牵引，其数学推理能力却难以得到实质提高。因此，教师把握参与型支持行为的度就显得格外重要。有研究者通过对教师提问这一支持行为的分析，总结出启创者、导引者、搀扶者这三类教师角色，启创者的教师行为重在启迪学生探寻解决问题的办法，导引者的教师行为关注学生在教师的思路指引下得出结论，搀扶者的教师行为让学生仅通过回忆已有的事实就能解决问题。[9] 教师在组织数学讨论时，应当多做指路人，而不是搀扶者。
参考文献：
[1] 教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：9.
[2] Common Core State Standards Initiative. Common Core State Standards for Mathematics[EB/OL].http：//www.corestandards.org/Math/Practice/，2013-09-11.
[3] 郑太年，王美，林立甲，等.我国教师的教学方法及其对学生数学成绩和问题解决能力的影响[J].全球教育展望，2013（2）：34-44，62.
[4] Forman E A， et al. “Youre Going to Want to Find Which and Prove It”： Collective Argumentation in a Mathematics Classroom[J]. Learning and Instruction，1998（6）：527-548.
[5] Yackel E. What We Can Learn from Analyzing the Teachers Role in Collective Argumentation？ [J].Journal of Mathematical Behavior，2002（21）：423-440.
[6] Conner A. Teacher Support for Collective Argumentation： A Framework for Examining How Teachers Support Students Engagement in Mathematical Activities[J].Educational Studies in Mathematics，2014（3）：401-429.
[7] 史宁中.基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题[M].北京：高等教育出版社，2013：114-115.
[8] 曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2014：61.
[9] 吴康宁，程晓樵，吳永军，等.教师课堂角色类型研究[J].教育研究与实验，1994（4）：3-10.
关键词： 数学讨论;教师支持;推理论证;课堂教学
中图分类号： G623.5 文献标识码： A 文章编号： 2095-5995（2018）10-0056-04
一、问题提出
推理论证能力是学生学习数学不可或缺的一种能力。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在課程的总目标中就要求学生“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法”[1] 。数学推理论证能力外显于表达与交流中。美国《州共同核心数学标准》在第三项实践标准指出，数学学得好的学生不仅能使用猜测、定义和已有结论构建自己的论证，还能评价别人的推理是否正确。[2] 数学讨论可以发展学生的推理论证能力，但是讨论法在我国数学教学中的应用效果并不乐观，有些数学教师认为“讲授越多，讨论越少，学生数学成绩越好”[3] 。教师应当如何在讨论中指导学生进行推理论证，成为目前一个新的研究课题。研究教师在组织数学讨论中的支持行为可以为教师提供建议，以发展学生的推理论证能力。
国外有研究者从多方视角论述了数学讨论中的教师支持行为，例如，福曼从社会语言学的角度，分析了“重复”在教师组织数学讨论中的作用;[4] 亚肯利用 拓尔敏的论证图式模型，列举了教师的言语行为和非言语行为;[5] 康内尔概括出了集体论证中教师的支持行为有直接支持、提问、其他支持。[6] 从已有文献来看，国外的相关研究已较为丰富，但是这些研究多从静态的角度分析动态的数学讨论，虽然研究了教师的教学行为，却很少关注学生的推理论证水平是否得到了提升。因此，考察教师在提升学生推理论证水平的过程中提供了哪些帮助，不仅可以弥补此领域国内外相关研究的不足，而且可以为教师组织数学讨论提供一些具体的建议。
二、研究方法
（一）研究工具
已有研究在制定课堂推理论证的评价指标时，大多借鉴了拓尔敏的论证图式模型。该模型将要证明的观点或结论、直接证据、前提条件、附加的支撑、限定、反驳规定为论证的六要素。通过前期调研，研究者发现小学生常常不能完整地论证一个数学问题，他们只能利用论证模型当中的一个要素或多个要素参与到推理讨论中。论证的完整程度可以反映出小学生的推理论证水平。 基于此，研究者根据结论、推理、交流三个维度，将小学生在数学讨论中的推理论证表现划分为6个水平。水平1：不能给出结论，保持沉默。水平2：不能给出结论，但是知道哪些条件是可供利用的，或者能辨识别人的主张是否正确;能够给出结论，但结论不准确;能够给出结论，但无法说明理由。水平3：能够给出结论，但是推理有错误，推理不完整或推理没有条理。水平4：结论正确，且能较为完整地表达自己的推理过程，有一定的逻辑性。水平5：结论正确，能够利用别人的观点来支持自己的立场;能够反驳别人。水平6：结论正确，能够用不同的策略来支持自己的立场，能证明别人的观点是错误的或者用多种方法证明自己的观点;能够对争论的问题和讨论的过程进行总结，能找到各个观点及知识点之间的联系。
（二）研究对象
本研究一共选取了8位小学二年级和三年级的数学教师作为研究对象，他们均来自广州市的5所公立小学，且学校数学教学质量均位于广州市前列。在课堂上，这些教师经常使用集体讨论形式解决数学问题。
（三）研究方法与数据收集
本研究主要采用课堂观察法和访谈法，研究者先对数学课堂进行观察、分析，再结合教学录像提取出学生群体的推理论证水平得到了提升的案例，然后分析教师在这些片段中的支持行为类型和作用，并通过教师访谈确认分析无误，最后检验这些支持行为是否对提升学生推理论证水平起作用。
三、研究结果
研究发现，教师的支持行为有组织型和参与型两种类型。组织型支持行为包括邀请、重申、指令和评价，参与型支持行为有澄清、补充、提示和连接。在组织型支持行为中，教师虽然提供给学生数学知识，但是这些知识不能直接作为推理的要素， 它们只能在论证的必需步骤之外产生鼓励和暗示，因此组织型支持行为仅对组织讨论起作用，对推理不起直接作用。在参与型支持行为中，教师或提供某种推理思路，或参与到推理过程中，集体讨论因教师的直接参与而向着更流畅、更准确、更抽象的方向发展，这类支持行为对学生推理能力的提升具有直接的引导作用。以下是对这几种支持行为的说明：
（一）邀请
数学讨论中的对话包括学生与教师的对话，学生与学生的对话以及学生与自己的对话。其中，师生对话与生生对话是外显的对话，学生与自己的对话是内隐的对话，邀请学生参与讨论是教师的首要支持行为。在邀请前，教师要考虑好邀请的对象和邀请的顺序。一般来说，教师结合问题的难度、学生的学习作品、学生的参与状态、学生的推理论证表现水平等来指定发言者。教师邀请学生主动发言时，教师可以说“有谁可以解释清楚？”而对于发言的顺序，教师应先请推理论证水平表现较低的学生陈述答案及理由，如果出现无理由或推理无条理的情况，再邀请推理论证水平较高的学生发言。这样层层推进的设计可以帮助学生认识到已有论证的缺陷，从而引发学生的认知冲突，促使学生对问题的论证向更完整、更有条理的方向前进。
（二）重申
重申的教学行为经常发生在数学教学讨论中，包括教师重复提问、重复学生的发言、总结学生的观点等。当学生在1级推理论证水平附近停滞时，教师反复变更自己的数学语言，综合利用语言文字、符号、图形、图表等，可让学生理解数学问题，明确目标。教师重复学生的话语时偶尔还会伴随一定的语调，这往往是起突出和强调作用，以引起其他学生的注意和思考。教师总结学生的观点则往往发生在讨论的中期阶段，此时学生整体的推理论证水平一般达到了水平3及以上，教师梳理、总结学生已表达的观点和理由，能帮助学生清晰地了解全体学生的一般观点和解决问题的一般策略，帮助学生厘清思路，推动学生的推理论证水平向更高层次发展。 （三）指令
集体讨论离不开教师的组织。如果没有教师的组织，那么积极的学生唯恐自己的意见不为别人所知，就会抓住一切机会畅所欲言，而不积极的学生则沉默寡言，不能参与到讨论中。因此，集体讨论需要教师的引导。教师的指令可以维持讨论秩序，保证集体讨论中学生的参与度和投入度。在低年级小学数学课堂讨论中，教师支持行为有“一二三，坐端正”等维持秩序的指令。针对高年级小学生，教师发出的指令应指向学生的认知状态，例如“没听明白的同学请举手”。指令支持行为能够帮助教师把握学生参与讨论的状态，同时为教师的下一步支持行为提供保障。
（四）评价
有效的课堂评价可以为学习者自我调节提供有效的信息，提高学生课堂参与和自主学习的积极性。教师对推理的反馈有利于学生的自我反思，一方面可以讓发言者补充或修正观点，另一方面可以激励其他学生参与到讨论中，引发深层次的数学交流。从评价内容来看，教师的评价既有对是非的判断，例如“你说得对”，也有对学生推理的质疑，此时教师提供与学生观点相矛盾的事实或观念。从评价的形式来看，评价既可以是教师对学生的推理做出诊断与分析，例如“你说得很清楚”;也可以由学生来评价，如“你们觉得他分析得怎么样？”等。通过评价，学生得到及时的反馈从而能获得继续参与讨论的动力，及时修正错误，促进学生推理论证水平的提升。
（五）澄清
澄清与评价都是对学生推理论证的反馈，但不同的是澄清不再是简单地判断学生的数学认知和技能是否正确，而是明确指出为什么正确与错在何处。澄清的支持行为往往发生在水平2或水平3，在澄清的支持下，学生能够正确合理地证明一个观点或结果。在三年级的“认识时间”讨论活动中，图上钟表时针指在8与9之间，分针指向4，一个学生认为：“4、5、6、7、8共有5格，4乘5等于20，所以是20分，又因为时针走过了8，所以（图上表示的时间）是8点20分。”虽然学生得出“8点20分”这个结论是正确的，但该学生误用分针与时针之间的跨度来计算分，推理的过程是不正确的。这时，教师立即澄清了学生的错误，指出“分针是从12开始数，不是从4到8，明白了吗？”学生也马上意识到了自己的错误， 说道：[DK1]“分针从12到4共走过了4格，4乘5等于20，时针走过了8，所以是8点20分。”这样教师通过澄清学生的错误，让学生理解自己的推理错误，在弄懂知识的同时也发展了推理能力。
（六）补充
数学课堂上集体讨论的实质就是数学推理，学生解决问题的过程也就是学生进行推理论证的过程，学生从前提出发，经过一个命题判断到另一个命题判断，最终得到所要论证的结论。[7] 在拓尔敏看来，一个完整的论证需要观点、直接证据、前提条件、附加的支撑、限定和反驳六个要素，即便一个最简单的论证也必须包含前面三个要素，即观点、直接证据、前提条件。小学数学里的三段论推理模型就属于这个类型。我们的研究发现，小学生在推理时容易遗漏前提条件，且推理的步骤之间不连贯。此时，教师如果及时补充推理中缺少的要素，就可以提高论证的准确性，推动论证的进程。在解决“超市一周卖出5箱保温壶，每个保温壶卖45元，一共卖了多少钱？”这一问题时，第一个学生说出了用5乘12再乘45，待他说完后，第二个学生立即补充“因为要求总钱数，也就是求几个几的问题，所以要用乘法。”可见，第一个学生的推理论证水平已经达到了水平2，可以正确列式。第二个学生虽能给出理由，但理由不完整，其推理论证表现达到水平3。为了让学生表达得更加完整，教师抓住了提问的契机，问学生“12”这个数字是哪里来的。第二个学生在教师的引导下，立即补充：“从图上可以数出每箱有12个保温壶！”可见，教师及时介入到学生的不完整推理论证中去，能帮助学生完整地说出推理论证的过程。之后陆续有学生参与到讨论中，此时学生不仅能列式，还能完整说出为什么用乘法，并解释算式中的每个数字代表的意义和每一步计算的目的。甚至还有学生能比较（5×12）×45和5×（12×45）两个算式的不同含义。在这个讨论片段中，教师的补充支持行为促使学生最终的整体论证表现水平达到6级，学生在原有的基础上取得了很大进步。
（七）提示
发现事实背后的规律及其原因对于小学生来说比较困难，而这恰恰是学生思维发展由形象思维向抽象思维过渡的关键，学生抽象思维的水平直接影响其推理水平。教师从学生的见解出发，在其基础上做进一步的提炼和概括，并用提示的话语引导学生找到解答思路，可以推动学生推理水平向前发展。例如，在学生发现“用棋子摆出的个数分别是1、2、3、4、5”后，教师鼓励学生找到背后的规律，问学生“所以你们摆出的个数越来越[CD#2]？”学生在教师的提示下仔细思考棋子数量的特征，并总结出“棋子个数越来越多”的规律。提示可以是基于学生直接的生活经验和认知，为学生提出具体的数学问题;也可以是基于抽象的推理，能引导学生在原有基础上继续进行更深层次的逻辑推理。
（八）连接
数学讨论中的推理论证重在思维交流，学生的推理论证能力正是在思维的碰撞中得以发展的。教师联系不同学生的相似观点，有助于学生总结数学讨论后的结果，或理解集体论证所达到的层次。教师联系学生不同的甚至对立的观点，能引导学生对不同观点进行比较，找出自己的观点在集体论证中所处的地位和做出的贡献，为学生整合最优观点提供支架。研究发现，教师的连接支持行为用得越多，学生推理论证水平越高。
四、讨论与建议
研究发现，上述8种教学行为是教师组织集体讨论，促进学生推理论证水平发展的主要支持行为。在数学教学讨论中，这8种支持行为并不是完全独立的，它们经常交叉、重叠地出现在数学讨论中，对学生的推理直接或间接地发挥作用。教师在使用这些支持行为时，应当以学生的推理论证需要为中心，结合学生的已有经验灵活地为学生提供支持。
（一）综合使用两类教师支持行为 教师提供必要的支持，可以促进学生提高推理论证水平。研究发现，教师利用邀请、重申、指令、评价这类组织型支持行为，可以激发学生的讨论热情，引导学生注意结论和证据，规范讨论秩序，为学生表达观点提供合适的途径，促使学生主动发现论证中的不足之处，进而提升学生的推理论证水平。这些支持行为主要为学生推理论证提供动力支撑，间接发展学生的推理论证能力。教师使用澄清、补充、提示和连接这类参与型支持行为，直接指出论证各要素的不合理或者不完善之处，甚至延续学生的讨论，为集体讨论的结论和证明出谋划策，教师以参与讨论的形式直接推动学生的推理论证活动向前发展。两种类型的教师支持行为在数学讨论中都不可或缺，教师应当综合使用两类支持行为，既发挥学生讨论的主体性，又发挥教师组织讨论的主导地位，为学生搭建推理论证能力发展的“脚手架”。
（二）有意识引导学生运用基本原理
“在启发式数学教学中，教师应时刻注意引导学生从一般原理的高度去认识新知识（特殊问题推广到一般原理），要引导他们找出新旧知识在一般原理上的一致性，指导他们将具体知识归纳为一般原理，使知识具有广泛的迁移性。”[8] 利用一般原理而不是具体的知识解答问题对小学生推理能力的发展极其重要。但小学生在证明自己的观点时，常常不能用一般的原理作为证明的条件，而是用以前经历类似问题时的方法解答问题，这种基于具体问题的数学迁移在论证中并不具有较强的说服力。因此，教师在使用参与型支持行为时，应当有意识地教学生概括具体的问题，从具体的问题中提炼出要证明的问题，以及利用数学中的基本原理证明自己的结论。在使用组织型支持行为时，教师应当注意评价的使用，培养学生运用一般原理证明结论的习惯，让学生完善推理过程，发展推理能力。
（三）多做指路人而非搀扶者
与组织型支持行为相比，参与型的教师支持行为在讨论中能提供给学生更多的数学知识和解决问题的方法，能更加快速地推动学生集体推理论证能力由低水平向高水平发展。但如果教师过多使用澄清、补充、提示和连接，容易导致学生依赖教师的牵引，其数学推理能力却难以得到实质提高。因此，教师把握参与型支持行为的度就显得格外重要。有研究者通过对教师提问这一支持行为的分析，总结出启创者、导引者、搀扶者这三类教师角色，启创者的教师行为重在启迪学生探寻解决问题的办法，导引者的教师行为关注学生在教师的思路指引下得出结论，搀扶者的教师行为让学生仅通过回忆已有的事实就能解决问题。[9] 教师在组织数学讨论时，应当多做指路人，而不是搀扶者。
参考文献：
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