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【摘要】本文介绍了Hamel基和正交基的概念，并讨论了它们的等价性.
【关键词】Hamel基;正交基;希尔伯特空间;关系
一、一般向量空间的基，Hamel基和正交基
我们想要知道Hamel基和正交基的关系，首先就要清楚它们的概念.
（一）一般向量空间的基
向量空间X的一组向量若满足：（1）线性无关;（2）X中任一向量可由此组向量线性表出，则称该组向量是X中的一个基（亦称基底）.
（二）Hamel基
非零线性空间X的一个子集H={xn}∈X，称为一个Hamel基指的是H是X中一个线性无关的集（H中任意有限个元都线性无关），且任意x∈X，都可以被H中有限个元唯一地线性表示.
（三）正交基
在一个内积空间中，元素两两正交的基称为正交基.
为了使读者更清晰地了解三者的关系，我们需要介绍线性空间中“线性无关”.
（四）线性无关
1.在有限维空间中：
对一组数量有限的集合{v1，v2，…，vn}，我们称这个集合是线性无关的：这个集合中的元素的任意线性组合等于0当且仅当系数都为0.
在此定义下，一个向量组{vi}是有限维向量空间V中的一组基，那么，任意一个向量x属于V，都可以被vi中的向量的线性组合表示.
2.在无限维空间中
对一组无限的集合{v1，v2，v3，…}，我们称这个集合是线性无关的：这个集合中的任意有限个元素的线性组合等于0当且仅当系数都为0.
那么在此定义下，可知如果一个向量组{vi}是无限维向量空间V的基，那么，任意一个向量x属于V，都可以被vi中的有限个向量的线性组合表示.
因此，我们可以知道，在无限维向量空间中的基，就是我们的“Hamel基”.所以，我们也称Hamel基是“一般线性空间下的基”.
由上面两者的定义可知，我们的讨论范围可以由线性空间缩小到内积空间.
二、内积空间中的Hamel基和正交基的关系
（一）在有限维内积空间中
由Hamel基的定义可知，任意有限维内积空间都含有Hamel基.我们取给定的有限维内积空间X的一组Hamel基H，H的元素数量一定是有限的.通过对H的元素Gram-Schmidt正交化，可以得到一组正交基.
所以在有限维的内积空间中，二者等价.
（二）在无限维的内积空间中
1.我们首先要讨论无穷维空间中，Hamel基与正交基的存在性
（1）任意向量空间都有基（Hamel基）[2]
考虑任意一个向量空间V中的线性无关的集合S1.如果S1 spans V，那么S1就是一个V的基;如果不是，我们可以选择任意一个向量v1，v1满足：属于空间V但不属于span{S1}.令S2=v1∪S1，是一个更大的线性无关的集合.然后考虑S2，若S2 spans V，S2为V的一个基;若不，我们可以再得到v2属于V但不属于span{S2}.令S3=S2∪v2.不断重复这个过程，我们可以得到一个单调递增的线性无关的集合组：
S1S2S3……
显然我们知道，S=∪Si是线性无关的集合.（对任意有限个向量{xn}属于S，都存在一个i，使得{xn}属于Si.）
现在我们要证明S是V的基.
令P是V中的线性无关子集所组成的集族.由于V≠0，则P不是空集.在P中按照规定序，A≤B，指的是AB，则P是一个偏序集.由Zorn引理，P中必有极大元.
先证明S就是P中的极大元：
如果S不是，那么存在极大元M，使SM且S≠M.任取一个向量v，使v属于M但不属于S.那么我们可以知，v也属于V空间.v∪span{S}也属于V空间，这与S的定义相矛盾.所以S是P的极大元.
再证明S是V的基：
如果S不是V的基，那么存在向量v0∈V，但不属于span{S}.使得S0=v0∪S也属于V，且S0也是线性无关的集合，则S0∈P.显然SS0，且S≠S0.这与S是P的极大元矛盾.
所以S就是V的基.
证畢.即对任意一个向量空间，我们都可以找到它的一组基（Hamel基）.
（2）任意的希尔伯特空间都有正交基
由a知，任意的希尔伯特空间都有基.设V为任意的希尔伯特空间.因为V完备，那么我们设Vn是V的一个n维子空间.有限维的希尔伯特空间，对基Gram-Schmidt正交化，得到标准正交基Sn={x1，x2，…，xn}.设v∈V，但v不属于Vn.由投影原理可知，v与v在Vn的投影F之差：
b=v-∑ni（v，xi）xi，是正交于子空间Vn的.再将b单位化，令xn 1=b‖b‖，那么Sn 1={x1，x2，…，xn，xn 1}就是Vn在v上扩展的子空间span{x1，x2，…，xn，xn 1}的标准正交基.
不断重复这个正交基的延拓过程，就可以得到一组单调递增的集合：
S1S2S3……我们令S=∪iSi.
于是，由Zorn引理得S就是希尔伯特空间的一组正交基.
2.由于不完备的内积空间上正交基的存在性较为复杂，所以我们先讨论无限维希尔伯特空间下的正交基和Hamel基的关系
（1）对任意一个无限维的希尔伯特空间，它的正交基不再是Hamel基
我们可以先考虑比较特殊的情况，由Gram-Schmidt过程可知，我们得到的正交基在无穷维的情况下是可数的.
但是我们可以证明：没有希尔伯特空间有可数的Hamel基： 由贝尔冈定理可证明，笔者举出一个反例：
假设希尔伯特空间H有可数个Hamel基，我们可以对它用Gram-Schmidt正交化，
就得到一组等价的正交基{ei}.
取x=∑i=12-i·en，由希尔伯特空间的完备性，x存在于H空间.但是，显然任意关于en的有限线性组合的和距离这个x都有一段长度.
所以矛盾.
下面給出普遍的证明[1]：
使B={ei∈H：i∈I}是无限维希尔伯特空间H的一组标准正交基.
使￥是关于I的所有有限子集的集合.
定义：hY：=∑ai∈Yeai2i-1，Y∈￥.
对任意ε≥0，都有一个相应的N存在，满足：
∑-i=N 112i-1
【关键词】Hamel基;正交基;希尔伯特空间;关系
一、一般向量空间的基，Hamel基和正交基
我们想要知道Hamel基和正交基的关系，首先就要清楚它们的概念.
（一）一般向量空间的基
向量空间X的一组向量若满足：（1）线性无关;（2）X中任一向量可由此组向量线性表出，则称该组向量是X中的一个基（亦称基底）.
（二）Hamel基
非零线性空间X的一个子集H={xn}∈X，称为一个Hamel基指的是H是X中一个线性无关的集（H中任意有限个元都线性无关），且任意x∈X，都可以被H中有限个元唯一地线性表示.
（三）正交基
在一个内积空间中，元素两两正交的基称为正交基.
为了使读者更清晰地了解三者的关系，我们需要介绍线性空间中“线性无关”.
（四）线性无关
1.在有限维空间中：
对一组数量有限的集合{v1，v2，…，vn}，我们称这个集合是线性无关的：这个集合中的元素的任意线性组合等于0当且仅当系数都为0.
在此定义下，一个向量组{vi}是有限维向量空间V中的一组基，那么，任意一个向量x属于V，都可以被vi中的向量的线性组合表示.
2.在无限维空间中
对一组无限的集合{v1，v2，v3，…}，我们称这个集合是线性无关的：这个集合中的任意有限个元素的线性组合等于0当且仅当系数都为0.
那么在此定义下，可知如果一个向量组{vi}是无限维向量空间V的基，那么，任意一个向量x属于V，都可以被vi中的有限个向量的线性组合表示.
因此，我们可以知道，在无限维向量空间中的基，就是我们的“Hamel基”.所以，我们也称Hamel基是“一般线性空间下的基”.
由上面两者的定义可知，我们的讨论范围可以由线性空间缩小到内积空间.
二、内积空间中的Hamel基和正交基的关系
（一）在有限维内积空间中
由Hamel基的定义可知，任意有限维内积空间都含有Hamel基.我们取给定的有限维内积空间X的一组Hamel基H，H的元素数量一定是有限的.通过对H的元素Gram-Schmidt正交化，可以得到一组正交基.
所以在有限维的内积空间中，二者等价.
（二）在无限维的内积空间中
1.我们首先要讨论无穷维空间中，Hamel基与正交基的存在性
（1）任意向量空间都有基（Hamel基）[2]
考虑任意一个向量空间V中的线性无关的集合S1.如果S1 spans V，那么S1就是一个V的基;如果不是，我们可以选择任意一个向量v1，v1满足：属于空间V但不属于span{S1}.令S2=v1∪S1，是一个更大的线性无关的集合.然后考虑S2，若S2 spans V，S2为V的一个基;若不，我们可以再得到v2属于V但不属于span{S2}.令S3=S2∪v2.不断重复这个过程，我们可以得到一个单调递增的线性无关的集合组：
S1S2S3……
显然我们知道，S=∪Si是线性无关的集合.（对任意有限个向量{xn}属于S，都存在一个i，使得{xn}属于Si.）
现在我们要证明S是V的基.
令P是V中的线性无关子集所组成的集族.由于V≠0，则P不是空集.在P中按照规定序，A≤B，指的是AB，则P是一个偏序集.由Zorn引理，P中必有极大元.
先证明S就是P中的极大元：
如果S不是，那么存在极大元M，使SM且S≠M.任取一个向量v，使v属于M但不属于S.那么我们可以知，v也属于V空间.v∪span{S}也属于V空间，这与S的定义相矛盾.所以S是P的极大元.
再证明S是V的基：
如果S不是V的基，那么存在向量v0∈V，但不属于span{S}.使得S0=v0∪S也属于V，且S0也是线性无关的集合，则S0∈P.显然SS0，且S≠S0.这与S是P的极大元矛盾.
所以S就是V的基.
证畢.即对任意一个向量空间，我们都可以找到它的一组基（Hamel基）.
（2）任意的希尔伯特空间都有正交基
由a知，任意的希尔伯特空间都有基.设V为任意的希尔伯特空间.因为V完备，那么我们设Vn是V的一个n维子空间.有限维的希尔伯特空间，对基Gram-Schmidt正交化，得到标准正交基Sn={x1，x2，…，xn}.设v∈V，但v不属于Vn.由投影原理可知，v与v在Vn的投影F之差：
b=v-∑ni（v，xi）xi，是正交于子空间Vn的.再将b单位化，令xn 1=b‖b‖，那么Sn 1={x1，x2，…，xn，xn 1}就是Vn在v上扩展的子空间span{x1，x2，…，xn，xn 1}的标准正交基.
不断重复这个正交基的延拓过程，就可以得到一组单调递增的集合：
S1S2S3……我们令S=∪iSi.
于是，由Zorn引理得S就是希尔伯特空间的一组正交基.
2.由于不完备的内积空间上正交基的存在性较为复杂，所以我们先讨论无限维希尔伯特空间下的正交基和Hamel基的关系
（1）对任意一个无限维的希尔伯特空间，它的正交基不再是Hamel基
我们可以先考虑比较特殊的情况，由Gram-Schmidt过程可知，我们得到的正交基在无穷维的情况下是可数的.
但是我们可以证明：没有希尔伯特空间有可数的Hamel基： 由贝尔冈定理可证明，笔者举出一个反例：
假设希尔伯特空间H有可数个Hamel基，我们可以对它用Gram-Schmidt正交化，
就得到一组等价的正交基{ei}.
取x=∑i=12-i·en，由希尔伯特空间的完备性，x存在于H空间.但是，显然任意关于en的有限线性组合的和距离这个x都有一段长度.
所以矛盾.
下面給出普遍的证明[1]：
使B={ei∈H：i∈I}是无限维希尔伯特空间H的一组标准正交基.
使￥是关于I的所有有限子集的集合.
定义：hY：=∑ai∈Yeai2i-1，Y∈￥.
对任意ε≥0，都有一个相应的N存在，满足：
∑-i=N 112i-1