对于一些复杂的反三角函数问题，如果我们采用普通的三角方法，很难求解.但是，如果我们采用复数法，将反三角函数转化为复数的辐角主值再求解，既方便省事又简化了运算.
　　一、复数辐角主值与其他反三角函数的关系
　　z1=arctanyx；（-∞， ∞）；（-π2，π2）；
　　z2=arcsinyx2 y2；[-1，1]；[-π2，π2].
　　z3=arccosxx2 y2；[-1，1]；[0，π]；
　　z4=arccotxy；（-∞， ∞）；[0，π].
　　复数辐角主值与其他反三角函数的关系如下表：
　　象限
　　关系第一象限
　　x>0，y>0第二象限
　　x<0，y>0第三象限
　　x<0，y<0第四象限
　　x>0，y<0
　　z1与argzargz=z1argz=z1 πargz=z1-πargz=z1
　　z2与argzargz=z2argz=z2 πargz=z2-πargz=z2
　　z3与argzargz=z3argz=z3argz=-z3argz=-z3
　　z4与argzargz=z4argz=z4argz=z4-πargz=z4-π
　　轴向
　　关系x轴正半轴
　　x>0，y=0y轴正半轴
　　x=0，y>0x轴负半轴
　　x<0，y=0y轴负半轴
　　x=0，y<0
　　z1与argzargz=z1=0z1不存在argz=z1 π=πz1不存在
　　z2与argzargz=z2=0argz=z2=π2argz=z2 π=πargz=z2=-π2
　　z3与argzargz=z3=0argz=z3=π2argz=z3=πargz=-z3=-π2
　　z4与argzz4不存在argz=z4=π2z4不存在argz=-z4=-π2
　　二、应用
　　1.巧解反三角问题
　　例1计算arctanx arctan1-x1 x（x<-1）.
　　解：∵x<-1，1-x1 x=-1 21 x<-1，
　　∴-π2　　∴-π　　∵arctan（-x） arctanx-1x 1
　　=arg（1-xi） arg[（x 1） （x-1）i]
　　=arg（1-xi）[（x 1） （x-1）i]
　　=arg[（x2 1）-（x2 1）i]
　　=-π4.
　　∴arctanx arctan1-x1 x=π4.
　　2.求角问题
　　例2若α，β为锐角，tanα=17，sinβ=110，
　　试证：α 2β=45°.
　　证明：∵α，β为锐角tanα=17，sinβ=110，
　　0<α<π6，0<β<π6，0<α 2β<π2，
　　又∵α 2β=arg[（7 i）（3 i）2]
　　=arg（50 50i）=arg[502（cosπ4 isinπ4）]，
　　∴α 2β=π4=45°.
　　3.求解反三角函数的证明题
　　例3已知a2 b2=c2，
　　arcsin1a arcsin1b=π2（a≠0且b≠0），求证：ab=c.
　　证明：∵arcsin1a arcsin1b
　　=arc（a2-1 i） arg（b2-1 i）
　　=arg[（a2-1）（b2-1）-1 （a2-1 b2-1）i]
　　=π2.
　　∴（a2-1）（b2-1）=1，即a2b2=a2 b2.
　　又a2 b2=c2，
　　∴ab=c.
　　综上所述，在解决复杂的反三角问题时，如果不能直接求解，可将它转化为复数辐角问题，或可收到意想不到的效果.
　　参考文献
　　钟玉泉.复变函数论.北京：高等教育出版社，2013.
　　李中恢.复数法在三角问题中的应用.南昌：南昌高专学报，2008（4）.
　　张建忠.复数辐角与反三角函数.甘肃：数学教学研究，1999（1）.
　　李中恢.复数法在平面几何中的应用.宁波：宁波教育学院学报，2006（4）.