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摘要：在一次建邺区小学生学业水平调研中，有一道考查“可能性”相关知识的选择题得分率非常低。通过分析教学内容及误区，查阅相关文献资料，提出“可能性”这一内容的教学建议：用心设计活动，强调逻辑性;精心挑选素材，体会随机性;匠心设计问题，体现层次性。
关键词：可能性活动素材问题
在一次建邺区小学生学业水平调研中，有这样一道题：
3个袋子里都装有质地相同的红球和一些其他颜色的球。其中①号袋里有1个红球，②号袋里有2个红球，③号袋里有3个红球。问：从几号袋里摸到红球的可能性最大？（）
A. ①号B. ②号
C. ③号D. 无法确定
题目考查学生对“可能性”相关知识的掌握程度。经统计，本题的得分率仅为24.9%，有72.7%的学生选择了C选项，认为红球的数量决定了摸出红球的可能性大小。这引发了笔者对“可能性”这一教学内容的关注和思考。
一、教学内容
“可能性”是苏教版小学数学四年级上册第六单元的内容。通过本单元的学习，学生应初步了解简单随机现象的特点，感受简单随机事件发生的可能性的大小，发展随机意识，增强数据分析观念。同时，拓展解决简单实际问题的范围，发展分析问题和解决问题的能力，为第三学段随机事件发生概率的学习奠定基础。
二、教学误区
笔者在实际听课过程中发现，“可能性”教学看似不难，却经常可见随意性很强的课堂，具体表现为武断地得出结论和忽略隐含条件。
（一）武断地得出结论
【片段1】
师同学们参加过抽奖活动吗？下面我们就来现场抽奖：这个不透明袋子里装了2个球，任意摸1个，摸到红球者中奖。
（请3位学生摸球，摸出的皆为黄球。）
生袋子里2个球都是黄球。
师我们打开袋子看一看，果然是2个黄球。从这个袋子里任意摸1个球，能摸出红球吗？
生不可能。
师（出示装有2个红球的袋子和装有1个红球、1个黄球的袋子）从哪个袋子里摸球，一定会中奖？
生从装有2个红球的袋子里摸球，一定会中奖。
师从装有1个红球和1个黄球的袋子里任意摸1个球呢？
生可能中奖，也可能不中奖。
师也就是说，从装有1个红球和1个黄球的袋子里任意摸1个球，可能是红球，也可能是黄球。下面我们进行小组活动，看是不是这样的。
（出示活动要求：组长拿着口袋，让4位组员按顺序轮流摸球;记录员记录组员报的颜色，红球用红色水彩笔标记，黄球空白即可。学生小组活动，完成后全班交流，汇总摸球情况，如图1所示。）
图1
师你有什么想说的？
生第1组摸到了很多次红球。
师第1组在摸球前能确定摸出红球吗？
生（第1组）能确定，我发现袋子里的球有的光滑、有的粗糙。
生每个组的中奖率都挺高的。
师每次都中奖吗？可能中奖，也可能不中奖，能确定吗？
生第4组中奖率低。
生第8组的情况有点规律，空一格出现2个红球。
师但第11次并不是红球，证明不存在这个规律。（稍停）如果一开始没摸出红球，一直摸下去是不是总能摸到红球？
生如果运气差，会一直摸出黄球。
师一直摸下去，总是能摸到红球的。
……
用抽奖的情境导入，学生摸了3次没摸到红球，就揭晓了答案——袋子里2个球都是黄球。这其实略显随意和武斷了，可以看到，这也与小组活动的结果矛盾——第6组前3次摸到的都是黄球，第4次摸到了红球。此外，抽奖的情境容易让学生结合“运气”去思考问题（如果运气差，会一直摸出黄球），聚焦点不在数学上，影响了数学的思考。
（二）忽略隐含条件
【片段2】
教师在例2教学完成后，紧接着让学生完成“练一练”（见图2）。在学生明确从第3个口袋里不可能摸出红球后，组织学生基于对例2的体会，讨论前两个口袋从哪个口袋里摸出红球的可能性大。一名学生回答：从第2个口袋里摸出红球的可能性大，因为有2个红球，第1个口袋里只有1个红球。其他学生表示认可。教师完成教学。
图2
例2主要帮助学生感受简单随机事件发生的可能性大小。从例2过渡到“练一练”，看似顺理成章，实则出现了引导学生关注红球个数的倾向。例2是同一随机试验不同随机事件发生的可能性大小比较（从3张红桃、1张黑桃扑克牌中任意摸一张），各种颜色牌数量的多少本身就决定了可能摸出它的情况总数，即如果用N表示所有可能结果的个数，用M表示摸出红桃的可能结果的个数，那么出现红桃的概率P（红桃）=MN，两个事件中N相同;而“练一练”是不同随机试验相同随机事件发生的可能性大小比较，摸出红球的概率P（红球）=M′N′，两次试验中N′不一定相同。受例2的影响，学生在判断“练一练”题目中的可能性大小时，只关注了红球的数量，却忽略了总体的数量（教师应强调“都是3个球”的前提条件）。
三、教学建议
“可能性”教学首先需要教师了解关于概率（可能性的大小）的本体性知识。通过查阅资料发现，多位专家对概率及其教学进行了深入的解读。
史宁中教授在《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》一书中指出，随机事件发生的可能性大小即概率，通常用字母P表示，概率是一个非负的不大于1的数，即0≤P≤1。至少有两种方法可以得到未知的概率。一种是通过样本频率估计概率，如《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的例40（袋中装有4个红球和1个白球。只告诉学生袋中球的颜色为红色和白色，不告诉他们红球数目与白球数目，让学生通过多次有放回的摸球，统计摸出红球和白球的数量及各自所占比例，由此估计袋中红球和白球数目的情况）。还有一种方法就是不借助数据而直接根据背景定义概率，定义的概率实质上就是对随机事件发生可能性大小的一种度量，这个度量是人们在理想状态下制订出来的。如果用A表示所要求概率的那个事件，用m表示有利情况的数目，用n表示所有可能情况的数目，那么，定义事件A发生的概率就是P（A）=mn。这样的定义称为古典概率。 张奠宙教授在《小学数学教材中的大道理——核心概念的理解与呈现》一书中提出，由于大數定律保证“频率趋向于概率”，但对什么意义上的“趋向”，有多种复杂的理解，小学阶段无法说清，而具体实践中，大数定律也没有充足的时间去验证，因此，小学生的概率学习要充分运用儿童的直觉，基于大数定律的“频率趋向于概率”只能略微提及。
曹培英教授在《小学数学“统计与概率”教学研究（一）》一文中介绍了概率论公认的源头是“数学家们为赌徒解决赌博难题时形成的数学专题”，指出“古典概率必须具备两个条件：试验中所有可能出现的情况为有限个，每种情况出现的可能性相等。这两个条件是古典概率区别于其他概率类型最根本、最基础的要素”。
特级教师陈静在《小学阶段学生概率思维的形成与发展》一文中围绕如何有效培养并发展学生的概率思维，从概率思维的内涵与特征、概率思维的直觉与先期经验以及促进概率思维形成与发展的教学策略三个角度进行了深入分析。
可以看出，关于概率的由来及本体性知识已比较明朗，能指导课堂教学实践。而教学时有以下几点要格外注意：
第一，用心设计活动，强调逻辑性。
小学阶段的概率都是古典概率模型，也就是定义出来的概率，是理论概率，因此，在实验之前，概率已经存在。教材配套的教师用书也指出，教材提供的摸球情境是先得到可能性的结果，再实验感悟。如果像片段1中所述，根据几次摸球的结果，就推断出袋子里球的情况，就会出现逻辑性错误。
第二，精心挑选素材，体会随机性。
为了使试验中“每种情况出现的可能性相等”，教师需要精心挑选素材，排除人为干扰，帮助学生更好地体会这种随机性。如：摸球活动中，球除颜色不同外，质地、大小都应相同，摸之前要先搅匀，摸的人不能偷看，等等;翻扑克牌活动中，扑克牌大小、质地、背面花色都应相同，为了避免学生盯着一张牌不放，还可以把牌放在背后洗，等等。当然，教学中可以把摸球和翻扑克牌两种活动中的素材“合二为一”，以一种素材贯穿始终，不分散教师和学生活动时的注意力。
第三，匠心设计问题，体现层次性。
好的数学活动要有好的数学问题启发学生深入思考。例如，在体会随机事件发生的可能性的活动中，可设计如下问题：“在摸之前，能确定摸出的是什么颜色的球吗？”“如果再摸一次，会是什么结果呢？”在体会随机事件发生的可能性大小的活动中，可以设计如下问题：“如果袋中有10个白球、1个红球，任意摸1个球，会是什么情况？”“如果袋中有100个白球和1个红球呢？”“如果袋中有1000个白球和1个红球呢？”“只要袋子里有红球，任意摸1个球，就可能摸出红球，但我们发现，摸出红球的可能性越来越——”“红球的数量都是1个，为什么摸出红球的可能性越来越小呢？”通过这样一系列的问题帮助学生清晰地认识到：摸出红球的可能性大小除了和红球的数量有关，还与球的总数有关，也就是要看两者之间的关系。
参考文献：
[1] 史宁中.基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题[M].北京：高等教育出版社，2013.
[2] 张奠宙，巩子坤，任敏龙，等.小学数学教材中的大道理——核心概念的理解与呈现[M].上海：上海教育出版社，2018.
[3] 曹培英.小学数学“统计与概率”教学研究（一）[J].小学数学教育，2019（5）.
[4] 陈静.小学阶段学生概率思维的形成与发展[J].教育视界，2019（4）.
关键词：可能性活动素材问题
在一次建邺区小学生学业水平调研中，有这样一道题：
3个袋子里都装有质地相同的红球和一些其他颜色的球。其中①号袋里有1个红球，②号袋里有2个红球，③号袋里有3个红球。问：从几号袋里摸到红球的可能性最大？（）
A. ①号B. ②号
C. ③号D. 无法确定
题目考查学生对“可能性”相关知识的掌握程度。经统计，本题的得分率仅为24.9%，有72.7%的学生选择了C选项，认为红球的数量决定了摸出红球的可能性大小。这引发了笔者对“可能性”这一教学内容的关注和思考。
一、教学内容
“可能性”是苏教版小学数学四年级上册第六单元的内容。通过本单元的学习，学生应初步了解简单随机现象的特点，感受简单随机事件发生的可能性的大小，发展随机意识，增强数据分析观念。同时，拓展解决简单实际问题的范围，发展分析问题和解决问题的能力，为第三学段随机事件发生概率的学习奠定基础。
二、教学误区
笔者在实际听课过程中发现，“可能性”教学看似不难，却经常可见随意性很强的课堂，具体表现为武断地得出结论和忽略隐含条件。
（一）武断地得出结论
【片段1】
师同学们参加过抽奖活动吗？下面我们就来现场抽奖：这个不透明袋子里装了2个球，任意摸1个，摸到红球者中奖。
（请3位学生摸球，摸出的皆为黄球。）
生袋子里2个球都是黄球。
师我们打开袋子看一看，果然是2个黄球。从这个袋子里任意摸1个球，能摸出红球吗？
生不可能。
师（出示装有2个红球的袋子和装有1个红球、1个黄球的袋子）从哪个袋子里摸球，一定会中奖？
生从装有2个红球的袋子里摸球，一定会中奖。
师从装有1个红球和1个黄球的袋子里任意摸1个球呢？
生可能中奖，也可能不中奖。
师也就是说，从装有1个红球和1个黄球的袋子里任意摸1个球，可能是红球，也可能是黄球。下面我们进行小组活动，看是不是这样的。
（出示活动要求：组长拿着口袋，让4位组员按顺序轮流摸球;记录员记录组员报的颜色，红球用红色水彩笔标记，黄球空白即可。学生小组活动，完成后全班交流，汇总摸球情况，如图1所示。）
图1
师你有什么想说的？
生第1组摸到了很多次红球。
师第1组在摸球前能确定摸出红球吗？
生（第1组）能确定，我发现袋子里的球有的光滑、有的粗糙。
生每个组的中奖率都挺高的。
师每次都中奖吗？可能中奖，也可能不中奖，能确定吗？
生第4组中奖率低。
生第8组的情况有点规律，空一格出现2个红球。
师但第11次并不是红球，证明不存在这个规律。（稍停）如果一开始没摸出红球，一直摸下去是不是总能摸到红球？
生如果运气差，会一直摸出黄球。
师一直摸下去，总是能摸到红球的。
……
用抽奖的情境导入，学生摸了3次没摸到红球，就揭晓了答案——袋子里2个球都是黄球。这其实略显随意和武斷了，可以看到，这也与小组活动的结果矛盾——第6组前3次摸到的都是黄球，第4次摸到了红球。此外，抽奖的情境容易让学生结合“运气”去思考问题（如果运气差，会一直摸出黄球），聚焦点不在数学上，影响了数学的思考。
（二）忽略隐含条件
【片段2】
教师在例2教学完成后，紧接着让学生完成“练一练”（见图2）。在学生明确从第3个口袋里不可能摸出红球后，组织学生基于对例2的体会，讨论前两个口袋从哪个口袋里摸出红球的可能性大。一名学生回答：从第2个口袋里摸出红球的可能性大，因为有2个红球，第1个口袋里只有1个红球。其他学生表示认可。教师完成教学。
图2
例2主要帮助学生感受简单随机事件发生的可能性大小。从例2过渡到“练一练”，看似顺理成章，实则出现了引导学生关注红球个数的倾向。例2是同一随机试验不同随机事件发生的可能性大小比较（从3张红桃、1张黑桃扑克牌中任意摸一张），各种颜色牌数量的多少本身就决定了可能摸出它的情况总数，即如果用N表示所有可能结果的个数，用M表示摸出红桃的可能结果的个数，那么出现红桃的概率P（红桃）=MN，两个事件中N相同;而“练一练”是不同随机试验相同随机事件发生的可能性大小比较，摸出红球的概率P（红球）=M′N′，两次试验中N′不一定相同。受例2的影响，学生在判断“练一练”题目中的可能性大小时，只关注了红球的数量，却忽略了总体的数量（教师应强调“都是3个球”的前提条件）。
三、教学建议
“可能性”教学首先需要教师了解关于概率（可能性的大小）的本体性知识。通过查阅资料发现，多位专家对概率及其教学进行了深入的解读。
史宁中教授在《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》一书中指出，随机事件发生的可能性大小即概率，通常用字母P表示，概率是一个非负的不大于1的数，即0≤P≤1。至少有两种方法可以得到未知的概率。一种是通过样本频率估计概率，如《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的例40（袋中装有4个红球和1个白球。只告诉学生袋中球的颜色为红色和白色，不告诉他们红球数目与白球数目，让学生通过多次有放回的摸球，统计摸出红球和白球的数量及各自所占比例，由此估计袋中红球和白球数目的情况）。还有一种方法就是不借助数据而直接根据背景定义概率，定义的概率实质上就是对随机事件发生可能性大小的一种度量，这个度量是人们在理想状态下制订出来的。如果用A表示所要求概率的那个事件，用m表示有利情况的数目，用n表示所有可能情况的数目，那么，定义事件A发生的概率就是P（A）=mn。这样的定义称为古典概率。 张奠宙教授在《小学数学教材中的大道理——核心概念的理解与呈现》一书中提出，由于大數定律保证“频率趋向于概率”，但对什么意义上的“趋向”，有多种复杂的理解，小学阶段无法说清，而具体实践中，大数定律也没有充足的时间去验证，因此，小学生的概率学习要充分运用儿童的直觉，基于大数定律的“频率趋向于概率”只能略微提及。
曹培英教授在《小学数学“统计与概率”教学研究（一）》一文中介绍了概率论公认的源头是“数学家们为赌徒解决赌博难题时形成的数学专题”，指出“古典概率必须具备两个条件：试验中所有可能出现的情况为有限个，每种情况出现的可能性相等。这两个条件是古典概率区别于其他概率类型最根本、最基础的要素”。
特级教师陈静在《小学阶段学生概率思维的形成与发展》一文中围绕如何有效培养并发展学生的概率思维，从概率思维的内涵与特征、概率思维的直觉与先期经验以及促进概率思维形成与发展的教学策略三个角度进行了深入分析。
可以看出，关于概率的由来及本体性知识已比较明朗，能指导课堂教学实践。而教学时有以下几点要格外注意：
第一，用心设计活动，强调逻辑性。
小学阶段的概率都是古典概率模型，也就是定义出来的概率，是理论概率，因此，在实验之前，概率已经存在。教材配套的教师用书也指出，教材提供的摸球情境是先得到可能性的结果，再实验感悟。如果像片段1中所述，根据几次摸球的结果，就推断出袋子里球的情况，就会出现逻辑性错误。
第二，精心挑选素材，体会随机性。
为了使试验中“每种情况出现的可能性相等”，教师需要精心挑选素材，排除人为干扰，帮助学生更好地体会这种随机性。如：摸球活动中，球除颜色不同外，质地、大小都应相同，摸之前要先搅匀，摸的人不能偷看，等等;翻扑克牌活动中，扑克牌大小、质地、背面花色都应相同，为了避免学生盯着一张牌不放，还可以把牌放在背后洗，等等。当然，教学中可以把摸球和翻扑克牌两种活动中的素材“合二为一”，以一种素材贯穿始终，不分散教师和学生活动时的注意力。
第三，匠心设计问题，体现层次性。
好的数学活动要有好的数学问题启发学生深入思考。例如，在体会随机事件发生的可能性的活动中，可设计如下问题：“在摸之前，能确定摸出的是什么颜色的球吗？”“如果再摸一次，会是什么结果呢？”在体会随机事件发生的可能性大小的活动中，可以设计如下问题：“如果袋中有10个白球、1个红球，任意摸1个球，会是什么情况？”“如果袋中有100个白球和1个红球呢？”“如果袋中有1000个白球和1个红球呢？”“只要袋子里有红球，任意摸1个球，就可能摸出红球，但我们发现，摸出红球的可能性越来越——”“红球的数量都是1个，为什么摸出红球的可能性越来越小呢？”通过这样一系列的问题帮助学生清晰地认识到：摸出红球的可能性大小除了和红球的数量有关，还与球的总数有关，也就是要看两者之间的关系。
参考文献：
[1] 史宁中.基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题[M].北京：高等教育出版社，2013.
[2] 张奠宙，巩子坤，任敏龙，等.小学数学教材中的大道理——核心概念的理解与呈现[M].上海：上海教育出版社，2018.
[3] 曹培英.小学数学“统计与概率”教学研究（一）[J].小学数学教育，2019（5）.
[4] 陈静.小学阶段学生概率思维的形成与发展[J].教育视界，2019（4）.