在学习圆与圆的位置关系中，经常遇到有关切点三角形的问题.所谓“切点三角形”，这里是指“相外切两圆的切点和这两圆的一条外公切线与两圆的切点形成的三角形”.通过探究发现“切点三角形”有如下性质.
　　如图1，⊙O与⊙O′外切于点P，直线AB分别切⊙O与⊙O′于点A、B，在三角形PAB中有：
　　性质1两圆的内公切线平分外公切线长.（即DA＝DB）
　　性质2切点三角形是直角三角形，两圆外切的切点是直角顶点.（即AP⊥BP）
　　证明∵ DA＝DP＝DB， ∴ DA＝DB； ∴ AP⊥BP.结论显然.
　　性质3切点三角形的外接圆与连心线相切（如图2）.（即Rt△PAB的外接圆与连心线OO′相切）
　　略证连OO′.由性质1， ∵ DA＝DP＝DB，
　　∴ DP为Rt△PAB的外接圆半径.
　　又∵ PD⊥OO′，
　　∴ OO′是Rt△PAB的外接圆切线.
　　性质4AP、BP的延长线分别交⊙O′、⊙O于点E、F，则AF、BE分别是、⊙O、⊙O′、的直径（如图3）.
　　略证∵ AP⊥BP， ∴ ∠APF＝90°，
　　∴ AF是⊙O的直径.
　　同理，BE是⊙O′的直径.
　　性质5切点三角形的斜边是两圆直径的比例中项（如图3）.（即AB2＝AF•BE）
　　略证由△ABP∽△FAP，得 AB∶FA＝PB∶PA.
　　由△ABP∽△BEP，得 BE∶AB＝PB∶PA.
　　所以AB∶FA＝BE∶AB，
　　AB2＝AF•BE.
　　性质6 切点三角形两直角边的平方比等于所在圆的半径之比（如图3）.（即PA2∶PB2＝R：r）
　　略证设⊙O、⊙O′的半径分别为R、r.
　　由△ABP∽△FAP，得 AB∶FA＝PB∶PA……①
　　由△ABP∽△BEP，得BE∶AB＝PB∶PA……②
　　①×②，得
　　BE∶FA＝PB2∶PA2
　　PA2∶PB2=AF∶BE=2R∶2r=R∶r.
　　性质7以两圆连心线为直径的圆与切点三角形的斜边相切（如图4）.即AB与OO′为直径的圆相切.
　　略证取OO′的中點C，作CD⊥AB于D，连OA、O′B，则
　　OA∥CD∥O′B，得 AD＝BD.
　　∴ CD＝（OA+O′B）=OO′.
　　又∵ CD⊥AB，
　　∴ AB与OO′为直径的圆相切.
　　扩展 设连心线OO′交两圆于C、D，连结AC、BD，
　　求证：（1）AC∥PB；（2）AC⊥BD（如图5）.
　　略证（1） ∵∠PAC＝90°，∠APB＝90°，
　　∴ AC∥PB.
　　（2） 同理（1），AP∥BD，
　　∴ AC∥BD.
　　延伸如图6所示，已知⊙O与⊙O′相切于点P，过P点的任一直线分别交⊙O与⊙O′相C、D两点，AB分别切⊙O、⊙O′于A、B，CA、DB的延长线交于点E.求证：AC⊥BD.
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文