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1． 正确认识分类问题中的诱发因素，进行正确的分类解答.体会引起分类讨论原因的多样性.
2. 正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．掌握分类的方法，领会其实质.
二、 精讲点拨
例1AB、AC与⊙Ｏ相切于点B、C，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，求∠BPC的度数.
分析异于B、C的动点P可能在优弧或劣弧上
解连结OB、OC有∠BOC＝130°，
如图1，当点P在优弧BC上时，∠BPC＝65°，
如图2，当点P在劣弧BC上时，∠BPC＝130°.
点评此题没有给出图形，需要自己作图，作图过程中会发现动点P的位置不确定.
例2已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm，它们的公共弦长为6cm，求这两圆的圆心距.
分析两不等圆相交时，应分两圆圆心在公共弦的同侧和异侧两种情况讨论.
解设⊙O1的半径为r1=5cm，⊙O2的半径r2=4cm.
（1） 如图1，当圆心O1、O2在公共弦的异侧时，
易得O1D==4.
O2D==
O1O2=O1D＋O2D=4+（cm）
（2） 如图2，当圆心O1、O2在公共弦AB的同侧时，
同理可求 O1O2=O1D－O2D=4－（cm）
点评除了两圆相切包含内切和外切，两半径不等的圆相交时也有两种情况，这种图形位置的不确定是很值得注意的.
例3如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D.若过A、D、C三点的圆的半径为，则线段BC上是否存在一点P，使得以P、D、B为顶点的三角形与△BCO相似，若存在，求出DP的長；若不存在，请说明理由.
分析题中“以P、D、B为顶点的三角形与△BCO相似”表明两个三角形还没有确定对应关系，这正是解决此题的突破口.
解∵∠BCD=∠ACB－∠ACD=120°－90°=30°，
∴∠BCD=∠B,即DB=DC.
∵在Rt△ACD中，DC=AD=
∴ BD=，
① 过点D作DP1∥OC，则△P1DB∽△COB，有＝，
∵ BO=BD+OD=2， ∴ P1D=×OC=×=.
② 过点D作DP2⊥AB，则△BDP2∽△BCO，有＝.
BC==3， ∴P2D=×OC=×=1
点评此题是在圆中解三角形相似问题，需构造不同的相似情形，再综合运用圆的相关知识解决问题.
例4如图，点A、B在直线MN上，AB的长为11厘米，⊙A、⊙B的半径均为1厘米，⊙A以每秒2厘米的速度沿直线MN自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增长，其半径r （厘米）与时间t（秒）之间的关系为r=1＋t（t≥0）.
（1） 试写出点A、B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式.
（2） 点A出发后多少秒两圆相切？
分析（1） 随着点A运动，A、B之间的距离d先逐渐变小致0，再由0逐渐变大，因此需根据点A相对于点B的位置展开讨论；
（2） 既要考虑内切和外切，还要注意是左切还是右切.
解（1）当0≤t≤5.5时，函数关系式为d=11－2t；当t>5.5时，函数关系为d=2t－11；
（2）①由题意可得，当两圆第一次外切时有11－2t=1＋1＋t，t=3；②当两圆第一次内切，时有11－2t=1＋t－1，t=；③当两圆第二次内切时有2t－11=1＋t－1，t=11；④当两圆第二次外切时有2t－11=1＋t＋1，t=13；综上，点A出发后3秒、秒、11秒、13秒两圆相切.
点评1. 此题由于⊙A的运动以及⊙B半径的变化导致两圆相切的情形非常丰富，既有位置（⊙A）不定，又有形状（⊙B）不定，实属一道好题，要解决好此题，需要我们细致耐心.
2.此题还可进一步延伸为相向运动的两个等圆或不等圆相切的情形，如：
①点A、B在直线MN上，AB=11厘米，⊙A、⊙B的半径均为1厘米，两圆同时以每秒2厘米的速度相向而行，问点A出发多少秒时两圆相切？
②点A、B在直线MN上，AB=11厘米，⊙A、⊙B的半径分别为3厘米、1厘米，两圆同时以每秒2厘米的速度相向而行，问点A出发多少秒时两圆相切？
以上两题可供读者思考.
解决分类讨论型问题的四个步骤：（1）确定分类对象、（2）进行合理分类、（3）逐类讨论，分级进行、（4）归纳并作出结论.当然，要将分类讨论的思想得到真正的广泛的应用，体现其应有的思想价值，还需同学们不断总结和积累.
三、 矫正反馈
1． 若⊙O1、⊙O2的半径分别为1和3，且两圆外切，则平面上半径为4且与⊙O1、⊙O2都相切的圆有（）
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
2．已知∠AOB＝30°，C是射线0B上的一点，且OC＝4．若以C为圆心，r为半径的圆与射线OA只有一个公共点，则r的取值范围是.
3．已知△ABC内接于⊙O，且∠OBC＝35°，求∠A的度数.
4． 已知⊙O1和⊙O2相内切，圆心距d为1cm，⊙O2半径r2为4cm，求⊙O1的半径r1.
5． 在平面直角坐标系中，直线l:y=－2x－8分别与x轴、y轴相交于A、B两点，点P（0，k）是y轴负半轴上一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.问：当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？
参考答案
1． D
2． r=2或r>4
3.解：（1）当点A和圆心O在BC的同侧时，
∵∠OBC＝35°， ∴∠BOC＝110° ，
∴∠BAC＝55° ；（2）当点A和圆心O在BC的异侧时， ∠BAC=180°－55°＝125° ，
∴∠A的度数是55°或125°
4．解：（1）当⊙O2是大圆时，则r1=r2－d＝4－1＝3cm；（2）当⊙O2是小圆时，则r1=r2＋d＝4＋1＝5cm，∴⊙O1的半径r1为3cm或5cm.
5． 解：设⊙P与直线l交于C、D两点，连结PC、PD.（1）当圆心P在线段OB上时，作PE⊥CD于点E.∵ △PCD为正三角形，PD=3，∴DE=CD=，ＰＥ＝.易证△AOB∽△PEB，∴=，可求得PB=，∴Ｐ（０，－８），∴k=－8；
（2） 当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得P（0，－－8），∴k=－-8. ∴当k=-8或k=--8时，以⊙Ｐ与直线l的两个交点和圆心Ｐ为顶点的三角形是正三角形.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
1． 正确认识分类问题中的诱发因素，进行正确的分类解答.体会引起分类讨论原因的多样性.
2. 正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．掌握分类的方法，领会其实质.
二、 精讲点拨
例1AB、AC与⊙Ｏ相切于点B、C，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，求∠BPC的度数.
分析异于B、C的动点P可能在优弧或劣弧上
解连结OB、OC有∠BOC＝130°，
如图1，当点P在优弧BC上时，∠BPC＝65°，
如图2，当点P在劣弧BC上时，∠BPC＝130°.
点评此题没有给出图形，需要自己作图，作图过程中会发现动点P的位置不确定.
例2已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm，它们的公共弦长为6cm，求这两圆的圆心距.
分析两不等圆相交时，应分两圆圆心在公共弦的同侧和异侧两种情况讨论.
解设⊙O1的半径为r1=5cm，⊙O2的半径r2=4cm.
（1） 如图1，当圆心O1、O2在公共弦的异侧时，
易得O1D==4.
O2D==
O1O2=O1D＋O2D=4+（cm）
（2） 如图2，当圆心O1、O2在公共弦AB的同侧时，
同理可求 O1O2=O1D－O2D=4－（cm）
点评除了两圆相切包含内切和外切，两半径不等的圆相交时也有两种情况，这种图形位置的不确定是很值得注意的.
例3如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D.若过A、D、C三点的圆的半径为，则线段BC上是否存在一点P，使得以P、D、B为顶点的三角形与△BCO相似，若存在，求出DP的長；若不存在，请说明理由.
分析题中“以P、D、B为顶点的三角形与△BCO相似”表明两个三角形还没有确定对应关系，这正是解决此题的突破口.
解∵∠BCD=∠ACB－∠ACD=120°－90°=30°，
∴∠BCD=∠B,即DB=DC.
∵在Rt△ACD中，DC=AD=
∴ BD=，
① 过点D作DP1∥OC，则△P1DB∽△COB，有＝，
∵ BO=BD+OD=2， ∴ P1D=×OC=×=.
② 过点D作DP2⊥AB，则△BDP2∽△BCO，有＝.
BC==3， ∴P2D=×OC=×=1
点评此题是在圆中解三角形相似问题，需构造不同的相似情形，再综合运用圆的相关知识解决问题.
例4如图，点A、B在直线MN上，AB的长为11厘米，⊙A、⊙B的半径均为1厘米，⊙A以每秒2厘米的速度沿直线MN自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增长，其半径r （厘米）与时间t（秒）之间的关系为r=1＋t（t≥0）.
（1） 试写出点A、B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式.
（2） 点A出发后多少秒两圆相切？
分析（1） 随着点A运动，A、B之间的距离d先逐渐变小致0，再由0逐渐变大，因此需根据点A相对于点B的位置展开讨论；
（2） 既要考虑内切和外切，还要注意是左切还是右切.
解（1）当0≤t≤5.5时，函数关系式为d=11－2t；当t>5.5时，函数关系为d=2t－11；
（2）①由题意可得，当两圆第一次外切时有11－2t=1＋1＋t，t=3；②当两圆第一次内切，时有11－2t=1＋t－1，t=；③当两圆第二次内切时有2t－11=1＋t－1，t=11；④当两圆第二次外切时有2t－11=1＋t＋1，t=13；综上，点A出发后3秒、秒、11秒、13秒两圆相切.
点评1. 此题由于⊙A的运动以及⊙B半径的变化导致两圆相切的情形非常丰富，既有位置（⊙A）不定，又有形状（⊙B）不定，实属一道好题，要解决好此题，需要我们细致耐心.
2.此题还可进一步延伸为相向运动的两个等圆或不等圆相切的情形，如：
①点A、B在直线MN上，AB=11厘米，⊙A、⊙B的半径均为1厘米，两圆同时以每秒2厘米的速度相向而行，问点A出发多少秒时两圆相切？
②点A、B在直线MN上，AB=11厘米，⊙A、⊙B的半径分别为3厘米、1厘米，两圆同时以每秒2厘米的速度相向而行，问点A出发多少秒时两圆相切？
以上两题可供读者思考.
解决分类讨论型问题的四个步骤：（1）确定分类对象、（2）进行合理分类、（3）逐类讨论，分级进行、（4）归纳并作出结论.当然，要将分类讨论的思想得到真正的广泛的应用，体现其应有的思想价值，还需同学们不断总结和积累.
三、 矫正反馈
1． 若⊙O1、⊙O2的半径分别为1和3，且两圆外切，则平面上半径为4且与⊙O1、⊙O2都相切的圆有（）
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
2．已知∠AOB＝30°，C是射线0B上的一点，且OC＝4．若以C为圆心，r为半径的圆与射线OA只有一个公共点，则r的取值范围是.
3．已知△ABC内接于⊙O，且∠OBC＝35°，求∠A的度数.
4． 已知⊙O1和⊙O2相内切，圆心距d为1cm，⊙O2半径r2为4cm，求⊙O1的半径r1.
5． 在平面直角坐标系中，直线l:y=－2x－8分别与x轴、y轴相交于A、B两点，点P（0，k）是y轴负半轴上一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.问：当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？
参考答案
1． D
2． r=2或r>4
3.解：（1）当点A和圆心O在BC的同侧时，
∵∠OBC＝35°， ∴∠BOC＝110° ，
∴∠BAC＝55° ；（2）当点A和圆心O在BC的异侧时， ∠BAC=180°－55°＝125° ，
∴∠A的度数是55°或125°
4．解：（1）当⊙O2是大圆时，则r1=r2－d＝4－1＝3cm；（2）当⊙O2是小圆时，则r1=r2＋d＝4＋1＝5cm，∴⊙O1的半径r1为3cm或5cm.
5． 解：设⊙P与直线l交于C、D两点，连结PC、PD.（1）当圆心P在线段OB上时，作PE⊥CD于点E.∵ △PCD为正三角形，PD=3，∴DE=CD=，ＰＥ＝.易证△AOB∽△PEB，∴=，可求得PB=，∴Ｐ（０，－８），∴k=－8；
（2） 当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得P（0，－－8），∴k=－-8. ∴当k=-8或k=--8时，以⊙Ｐ与直线l的两个交点和圆心Ｐ为顶点的三角形是正三角形.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文