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[摘 要]探索一般经历“合情”和“演绎”两个推理阶段。以“有趣的乘法计算”的教学为例，以形式概括为主的过程浸润合情推理，通过例子多类型、比较多角度和联系多层次，自主建构规律的外在形式;以实质把握点睛的过程浸润演绎推理，通过表征梯度化、反思体系化和迁移立体化，刻画规律的内在道理。“合情”和“演绎”两者相辅相成和辩证统一，共同服务学生的素养培养和未来发展。
[关键词]过程经历;计算教学;探索规律
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）11-0004-03
计算教学需要紧扣两大任务，即“算法掌握”和“算理把握”。其中，算法指向运算的操作程序，主要解决“可以怎样算”的问题，这个过程注重计算顺序的有效识记和迁移运用，主要培养学生的运算能力，“熟能生巧”是其理念支撑;算理聚焦运算的数学道理，主要解决“为什么可以这样算”的问题，这个过程注重计算规则的透视解构和合理重构，主要培养学生的推理能力，“熟能生智”是其教学诉求。显然，计算教学需要引导学生既经历由表及里的深度学习过程，也经历由内而外的生长拓展过程。
“有趣的乘法计算”是苏教版教材三年级下册“探索规律”的专题活动，它的知识基础是两位数乘两位数，属于计算教学的范畴。从探索规律的角度看，教学的流程一般是固化的，分为“识别计算对象”“发现计算规律”“表达计算规律”“验证计算规律”四个环节，它们环环相扣、封闭自洽和自成一体;从计算教学的角度看，一般注重观察、比较、归纳和验证，往往缺失算理的融入、思维的卷入和情感的投入，看似“有趣”，毕竟“不实”。那么，怎样做才能让探索过程不再流于形式？怎样做才能让探索活动保质增效？怎样做才能让学生的探索能力得到可持续发展？显然，要处理好这些问题，必须紧扣算法和算理，厘清探索的形式与实质，并做好形式向实质的必要跨越，实现两者从“汤水分离”走向融合共生。
一、形式概括为主，经历合情推理
形式概括一般遵循“所见”即“所得”的原则，这种推理过程以观察为起点，以联系为纽带，以典型案例的分析和对比为重点，然后在变化中确定不变的因素，并将不变的内容用简洁的语言记录下来。简而言之，眼见为实，规律再现，合乎情理。但是，这种推理的结果未必为真，只是一种或然的结论而已。
1.例子多类型
好的例子有利于分门别类地探索问题，有助于知识的逻辑建构和思维的有序生长。从教的层面看，适合探索的例子要有代表性和典型性，要能反映研究内容的不同层次。比如，在“两位数乘11”的板块中，教材先后出现两组探索对象，分别是24×11、53×11、62×11和23×11、64×11、59×11。在这6道算式中，前4道为同一类，属于“两头一拉，中间相加”的类型;后2道略有变化，除了满足基本类型的要求外，还增加了“满十进一”的特殊情况。其实，这两组例子并没有列举出“两位数乘11”的所有情况，如果学生学有余力，教师还可以顺势给出形如“95×11”的例子，引导学生体验“连续进位”的复杂情况。在“同头尾合十”的板块中，“同头”所在的十位上，数字1～9都出现了，“尾补”所在的个位上，数字组合1和9、2和8、3和7、4和6、5和5也都出现了。从学的层面看，学生举例验证的时候，也需要考虑所选例子的适切性和覆盖面。显然，无论是举例教学，还是举例验证，这项技能都不是与生俱来的，需要不断修炼、调整和磨合，直至学会全面考虑问题。
2.比较多角度
相对于“善于举例”而言，“善于比较”更能体现数学学习的本质。对于小学生而言，比较一般是在教师的指导下完成的，并且指向思维的不断优化。一方面，比较发生在思维的横向扩展中，如“两位数乘11”的学习，先从不进位的情况开始探索，通过反复观察和比较异同，发现不同竖式中存在相同的对应关系，即积的个位上的数等于“两位数”个位上的数，积的百位上的数等于“两位数”十位上的数，积的十位上的数恰好等于“两位数”个位和十位上的数字和，形象概括成“两头一拉，中间相加”。不过，规律在“64×11、59×11”这样的算式中并不起作用，思维冲突引发继续对比的需求，对比后发现“两位数”十位上与个位上的和发生了变化：原来小于10，现在等于或者大于10，根据“十进制”的计数规则，“满十就要进一”。显然，有梯度的横向扩展，更有助于思维的有序递进。另一方面，比较发生在思维的纵向发展中，如“同头尾合十”的学习，一是看着比，比出“两个乘数十位上的数相同”“两个乘数个位上的数相加都等于10”;二是算着比，比出“积的末两位等于两个乘数个位上的数相乘”;三是联着比，在运用探索规律直接写出得数的情况下，比出“形如（a-1）（a 1）与a×a的乘法算式结果相差1”。显然，有深度的纵向发展，更有助于思维的螺旋上升。
3.联系多层次
多层次的联系有助于数学知识的系统化、结构化和模型化，使探索活动服务于学生思维。首先，联系程序性知识进行计算，“有趣的乘法计算”源自“两位数乘两位数”，因此“两位数乘两位数”的计算过程是否合理，计算结果是否正确，是探索这类计算现象的前提，具有“一票否决”的地位;其次，联系概念性知识进行猜想，通过“一个两位数与11相乘的得数有什么共同特点？先用竖式计算，再分别把积的每一位上的数和原来的两位数比较。”“积的末两位是怎样算出来的？末两位前面的数呢？”等的追问，激发学生调用“数的组成”“表内乘法”“簡单加减”等先拥概念进行一系列的猜想，有效避免了表达时“言之无物”;最后，联系价值性知识进行反思，学生体会到“可以通过仔细观察和比较发现规律”的探索艰辛，也体验到“发现规律后，要通过计算进行验证”的严谨追求，还品味到“用发现的规律进行计算，能够算得又对又快”的成功喜悦。显然，多层次的联系使得探索活动从低阶迈上高阶。
可以看出，多类型的举例能够较为全面地表征数学问题，不重复、不遗漏，探索结论就能避免以偏概全，实现以少胜多的高效学习。多角度的比较能够为学生思考问题铺路架桥，探索活动变得有方向、有方法，学生的思维质量也就有了保障。多层次的联系能够做到基于数学问题，又超越具体问题，并最终使学生获得一般意义上的良性发展。 二、实质把握点睛，经历演绎算理
从探索的历程来看，合情推理是探索活动的重要环节和必经之路。考虑到学生的年龄特征、认知规律和知识特点，举例、比较、联系等方法的运用和内化，在一定程度上仍能丰富和提升学生的数学素养。问题是，学习不能只有合情推理，还需要适时添加演绎推理，引导学生经历从“是什么”到“为什么”的思维跨越，逐步渗透理性精神。
1.表征梯度化
斯诺格拉斯的多水平模型认为，在不同的认知阶段有不同层次的表征。首先，在知觉阶段中，借助分类、列举等活动，在初步感知表面特征的基础上，锁定“两位数乘两位数”计算中的特殊现象。其次，在工作记忆阶段中，一方面借助言语表象表征，如用“两头一拉，中间相加”“满十进一”描述“两位数乘11”的计算规律，用“乘数个位上的数相乘的结果写在积的末两位（不足两位的，用“0”在积的十位上占位），乘数十位上的数相乘的结果写在积的末两位前面”描述“同头尾合十”的计算规律，等等;另一方面借助视觉表象表征，将所思所想用合适的图式“可视化”，如“24×11”的计算过程如图1所示，其中，4×1等于4，4就写在积的个位上，4×10和20×1合起来等于60，6就写在积的十位上，20×10等于200，2就写在积的百位上，三部分合起来就是264;“28×22”的计算过程如图2所示，将“20个8相加”看成“8个20相加”，并与“2个20相加”合并成“10个20相加”（如图3），最后“8×2”的乘积16，恰好落在积的末两位，“20×30”的乘积600，6就写在百位上，两部分合起来就是616（如图4）。其实，还可以借助直观图形将“20×30”动态解构成“2×（2 1）×100”的形式，并逐步抽象成“形如a（a 1）×100”的数学模型，有效消融学习的难点、盲点和困惑点。最后，在长时记忆阶段中，虽然规律没有用命题形式表征，但是有了前面的丰富经历，与探索相关的知识方法、过程体验和情感态度逐渐变得明朗化，学习变得有滋有味、难以忘记。显然，梯度化的表征相辅相成、相得益彰，为探明规律实质奠定基础。
2.反思体系化
反思不仅可以发生在板块知识之内，而且可以发生在板块知识之间，甚至是超越知识本身获得探索过程的深度理解。首先，从知识层面来反思，联系上面的直观图形，先以“24×11”为例，可以清楚地发现“两头一拉，中间相加”的实质，就是个位上的两个数相乘的结果对应记录在积的个位上，十位上的两个数相乘的结果对应记录在百位上，积的十位上记录的内容是两部分的和：一部分是个位上的数乘十位上的数的结果，另一部分是十位上的数乘个位上的数的结果;再以“28×22”为例，与“24×11”不同的主要是在十位上，2×20 8×20=（2 8）×20=10×20，与百位上的20×20合并成10×20 20×20=（10 20）×20=30×20=600，这就是百位上记录为“同头的数×（同头的数 1）”的真实原因，顺着这样的思路，十位空缺了，所以积的末两位记录的就是乘数个位上的数相乘的结果（不足两位，用“0”占位）。换个角度来说，“两位数乘两位数”都必然发生四种运算：几个×几个=几个（或十几），几个×几十=几十，几十×几个=几十，几十×几十=几百。其次，从方法层面来反思，无论是哪个版块，都无一例外地经历了识别、发现、表达、验证的过程，每一个过程都是探索的必要环节，比如“为什么要验证？”，因为不完全归纳得到的结论不确定，以此需要“再多找一些例子试一试”或者“尝试找出一些反例推翻猜想”，这样的反思行为，使得每一个活动都“有理有据”，规定动作变为内在需求。显然，体系化的反思使得看似不相关的知识得到整体建构，看似规定的过程价值得以内化，为探明规律实质保驾护航。
3.迁移立体化
迁移是在把握规律实质过程中的一种思维演练，既考查学生对规律本质的理解情况，也检验学生运用规律的灵活程度。首先，基于知识类型和规律本身的迁移，比如“□5×□5=3025，3□×3□=1224，□□×□□=4209”，就是“同头尾合十”的针对性训练，这里特别强调积“24”的乘数组成、选择和辨析，突出“尾合十”的实质内涵是“乘数个位上的数相加等于10”。其次，基于知识融合和规律交叉的迁移，比如“19×11”，既可以运用“两位数乘11”的规律，也可以运用“同头尾合十”的规律。接着，基于知识翻转和规律变式的迁移，比如“34×74，25×85，41×61”，就是“同头尾合十”的形式变换，即为“尾同头合十”，鼓励学生继续探索并发现：尾乘尾，占两位，放末尾;头乘头，再加尾，放前面。最后，基于知识延伸和规律同构的迁移，比如“204×206”，探索内容从两位数走向三位数，数位虽然变多了，情况相对复杂了，但是探索规律的方法照旧，是知识解构后的重构。显然，立体化的迁移不只是简单机械地练习，还要更多地考虑探索方法的延续和内化，考量知识的纵横生长和发展，为探明規律实质保值增效。
可以看出，探索过程中的经历是一种别样美的风景线。教学就是要引导学生接触、感知和理解规律美的存在，通过浸润“是什么”的合情推理，自主建构规律美的外在形式;还要能够激发学生反思、剖析和把握规律美的内在，通过浸润“为什么”的演绎推理，共性刻画规律美的内在道理。显然，合情合理的过程经历，能够助推探索体验“看得见”“说得通”和“带得走”。
[本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点课题“基于问题链驱动的小学生数学化学习的研究”阶段性成果（课题批准文号：C-b/2020/02/26）。]
（责编 金 铃）
[关键词]过程经历;计算教学;探索规律
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）11-0004-03
计算教学需要紧扣两大任务，即“算法掌握”和“算理把握”。其中，算法指向运算的操作程序，主要解决“可以怎样算”的问题，这个过程注重计算顺序的有效识记和迁移运用，主要培养学生的运算能力，“熟能生巧”是其理念支撑;算理聚焦运算的数学道理，主要解决“为什么可以这样算”的问题，这个过程注重计算规则的透视解构和合理重构，主要培养学生的推理能力，“熟能生智”是其教学诉求。显然，计算教学需要引导学生既经历由表及里的深度学习过程，也经历由内而外的生长拓展过程。
“有趣的乘法计算”是苏教版教材三年级下册“探索规律”的专题活动，它的知识基础是两位数乘两位数，属于计算教学的范畴。从探索规律的角度看，教学的流程一般是固化的，分为“识别计算对象”“发现计算规律”“表达计算规律”“验证计算规律”四个环节，它们环环相扣、封闭自洽和自成一体;从计算教学的角度看，一般注重观察、比较、归纳和验证，往往缺失算理的融入、思维的卷入和情感的投入，看似“有趣”，毕竟“不实”。那么，怎样做才能让探索过程不再流于形式？怎样做才能让探索活动保质增效？怎样做才能让学生的探索能力得到可持续发展？显然，要处理好这些问题，必须紧扣算法和算理，厘清探索的形式与实质，并做好形式向实质的必要跨越，实现两者从“汤水分离”走向融合共生。
一、形式概括为主，经历合情推理
形式概括一般遵循“所见”即“所得”的原则，这种推理过程以观察为起点，以联系为纽带，以典型案例的分析和对比为重点，然后在变化中确定不变的因素，并将不变的内容用简洁的语言记录下来。简而言之，眼见为实，规律再现，合乎情理。但是，这种推理的结果未必为真，只是一种或然的结论而已。
1.例子多类型
好的例子有利于分门别类地探索问题，有助于知识的逻辑建构和思维的有序生长。从教的层面看，适合探索的例子要有代表性和典型性，要能反映研究内容的不同层次。比如，在“两位数乘11”的板块中，教材先后出现两组探索对象，分别是24×11、53×11、62×11和23×11、64×11、59×11。在这6道算式中，前4道为同一类，属于“两头一拉，中间相加”的类型;后2道略有变化，除了满足基本类型的要求外，还增加了“满十进一”的特殊情况。其实，这两组例子并没有列举出“两位数乘11”的所有情况，如果学生学有余力，教师还可以顺势给出形如“95×11”的例子，引导学生体验“连续进位”的复杂情况。在“同头尾合十”的板块中，“同头”所在的十位上，数字1～9都出现了，“尾补”所在的个位上，数字组合1和9、2和8、3和7、4和6、5和5也都出现了。从学的层面看，学生举例验证的时候，也需要考虑所选例子的适切性和覆盖面。显然，无论是举例教学，还是举例验证，这项技能都不是与生俱来的，需要不断修炼、调整和磨合，直至学会全面考虑问题。
2.比较多角度
相对于“善于举例”而言，“善于比较”更能体现数学学习的本质。对于小学生而言，比较一般是在教师的指导下完成的，并且指向思维的不断优化。一方面，比较发生在思维的横向扩展中，如“两位数乘11”的学习，先从不进位的情况开始探索，通过反复观察和比较异同，发现不同竖式中存在相同的对应关系，即积的个位上的数等于“两位数”个位上的数，积的百位上的数等于“两位数”十位上的数，积的十位上的数恰好等于“两位数”个位和十位上的数字和，形象概括成“两头一拉，中间相加”。不过，规律在“64×11、59×11”这样的算式中并不起作用，思维冲突引发继续对比的需求，对比后发现“两位数”十位上与个位上的和发生了变化：原来小于10，现在等于或者大于10，根据“十进制”的计数规则，“满十就要进一”。显然，有梯度的横向扩展，更有助于思维的有序递进。另一方面，比较发生在思维的纵向发展中，如“同头尾合十”的学习，一是看着比，比出“两个乘数十位上的数相同”“两个乘数个位上的数相加都等于10”;二是算着比，比出“积的末两位等于两个乘数个位上的数相乘”;三是联着比，在运用探索规律直接写出得数的情况下，比出“形如（a-1）（a 1）与a×a的乘法算式结果相差1”。显然，有深度的纵向发展，更有助于思维的螺旋上升。
3.联系多层次
多层次的联系有助于数学知识的系统化、结构化和模型化，使探索活动服务于学生思维。首先，联系程序性知识进行计算，“有趣的乘法计算”源自“两位数乘两位数”，因此“两位数乘两位数”的计算过程是否合理，计算结果是否正确，是探索这类计算现象的前提，具有“一票否决”的地位;其次，联系概念性知识进行猜想，通过“一个两位数与11相乘的得数有什么共同特点？先用竖式计算，再分别把积的每一位上的数和原来的两位数比较。”“积的末两位是怎样算出来的？末两位前面的数呢？”等的追问，激发学生调用“数的组成”“表内乘法”“簡单加减”等先拥概念进行一系列的猜想，有效避免了表达时“言之无物”;最后，联系价值性知识进行反思，学生体会到“可以通过仔细观察和比较发现规律”的探索艰辛，也体验到“发现规律后，要通过计算进行验证”的严谨追求，还品味到“用发现的规律进行计算，能够算得又对又快”的成功喜悦。显然，多层次的联系使得探索活动从低阶迈上高阶。
可以看出，多类型的举例能够较为全面地表征数学问题，不重复、不遗漏，探索结论就能避免以偏概全，实现以少胜多的高效学习。多角度的比较能够为学生思考问题铺路架桥，探索活动变得有方向、有方法，学生的思维质量也就有了保障。多层次的联系能够做到基于数学问题，又超越具体问题，并最终使学生获得一般意义上的良性发展。 二、实质把握点睛，经历演绎算理
从探索的历程来看，合情推理是探索活动的重要环节和必经之路。考虑到学生的年龄特征、认知规律和知识特点，举例、比较、联系等方法的运用和内化，在一定程度上仍能丰富和提升学生的数学素养。问题是，学习不能只有合情推理，还需要适时添加演绎推理，引导学生经历从“是什么”到“为什么”的思维跨越，逐步渗透理性精神。
1.表征梯度化
斯诺格拉斯的多水平模型认为，在不同的认知阶段有不同层次的表征。首先，在知觉阶段中，借助分类、列举等活动，在初步感知表面特征的基础上，锁定“两位数乘两位数”计算中的特殊现象。其次，在工作记忆阶段中，一方面借助言语表象表征，如用“两头一拉，中间相加”“满十进一”描述“两位数乘11”的计算规律，用“乘数个位上的数相乘的结果写在积的末两位（不足两位的，用“0”在积的十位上占位），乘数十位上的数相乘的结果写在积的末两位前面”描述“同头尾合十”的计算规律，等等;另一方面借助视觉表象表征，将所思所想用合适的图式“可视化”，如“24×11”的计算过程如图1所示，其中，4×1等于4，4就写在积的个位上，4×10和20×1合起来等于60，6就写在积的十位上，20×10等于200，2就写在积的百位上，三部分合起来就是264;“28×22”的计算过程如图2所示，将“20个8相加”看成“8个20相加”，并与“2个20相加”合并成“10个20相加”（如图3），最后“8×2”的乘积16，恰好落在积的末两位，“20×30”的乘积600，6就写在百位上，两部分合起来就是616（如图4）。其实，还可以借助直观图形将“20×30”动态解构成“2×（2 1）×100”的形式，并逐步抽象成“形如a（a 1）×100”的数学模型，有效消融学习的难点、盲点和困惑点。最后，在长时记忆阶段中，虽然规律没有用命题形式表征，但是有了前面的丰富经历，与探索相关的知识方法、过程体验和情感态度逐渐变得明朗化，学习变得有滋有味、难以忘记。显然，梯度化的表征相辅相成、相得益彰，为探明规律实质奠定基础。
2.反思体系化
反思不仅可以发生在板块知识之内，而且可以发生在板块知识之间，甚至是超越知识本身获得探索过程的深度理解。首先，从知识层面来反思，联系上面的直观图形，先以“24×11”为例，可以清楚地发现“两头一拉，中间相加”的实质，就是个位上的两个数相乘的结果对应记录在积的个位上，十位上的两个数相乘的结果对应记录在百位上，积的十位上记录的内容是两部分的和：一部分是个位上的数乘十位上的数的结果，另一部分是十位上的数乘个位上的数的结果;再以“28×22”为例，与“24×11”不同的主要是在十位上，2×20 8×20=（2 8）×20=10×20，与百位上的20×20合并成10×20 20×20=（10 20）×20=30×20=600，这就是百位上记录为“同头的数×（同头的数 1）”的真实原因，顺着这样的思路，十位空缺了，所以积的末两位记录的就是乘数个位上的数相乘的结果（不足两位，用“0”占位）。换个角度来说，“两位数乘两位数”都必然发生四种运算：几个×几个=几个（或十几），几个×几十=几十，几十×几个=几十，几十×几十=几百。其次，从方法层面来反思，无论是哪个版块，都无一例外地经历了识别、发现、表达、验证的过程，每一个过程都是探索的必要环节，比如“为什么要验证？”，因为不完全归纳得到的结论不确定，以此需要“再多找一些例子试一试”或者“尝试找出一些反例推翻猜想”，这样的反思行为，使得每一个活动都“有理有据”，规定动作变为内在需求。显然，体系化的反思使得看似不相关的知识得到整体建构，看似规定的过程价值得以内化，为探明规律实质保驾护航。
3.迁移立体化
迁移是在把握规律实质过程中的一种思维演练，既考查学生对规律本质的理解情况，也检验学生运用规律的灵活程度。首先，基于知识类型和规律本身的迁移，比如“□5×□5=3025，3□×3□=1224，□□×□□=4209”，就是“同头尾合十”的针对性训练，这里特别强调积“24”的乘数组成、选择和辨析，突出“尾合十”的实质内涵是“乘数个位上的数相加等于10”。其次，基于知识融合和规律交叉的迁移，比如“19×11”，既可以运用“两位数乘11”的规律，也可以运用“同头尾合十”的规律。接着，基于知识翻转和规律变式的迁移，比如“34×74，25×85，41×61”，就是“同头尾合十”的形式变换，即为“尾同头合十”，鼓励学生继续探索并发现：尾乘尾，占两位，放末尾;头乘头，再加尾，放前面。最后，基于知识延伸和规律同构的迁移，比如“204×206”，探索内容从两位数走向三位数，数位虽然变多了，情况相对复杂了，但是探索规律的方法照旧，是知识解构后的重构。显然，立体化的迁移不只是简单机械地练习，还要更多地考虑探索方法的延续和内化，考量知识的纵横生长和发展，为探明規律实质保值增效。
可以看出，探索过程中的经历是一种别样美的风景线。教学就是要引导学生接触、感知和理解规律美的存在，通过浸润“是什么”的合情推理，自主建构规律美的外在形式;还要能够激发学生反思、剖析和把握规律美的内在，通过浸润“为什么”的演绎推理，共性刻画规律美的内在道理。显然，合情合理的过程经历，能够助推探索体验“看得见”“说得通”和“带得走”。
[本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点课题“基于问题链驱动的小学生数学化学习的研究”阶段性成果（课题批准文号：C-b/2020/02/26）。]
（责编 金 铃）