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一、 图形认识
例1 如图1，已知∠1=∠2=∠3=59°，则∠4=_______.
【考点与要求】会找出同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角，掌握平行线的判定和性质.
【解析】因为∠1=∠3，所以图中l1与l2平行，所以∠2=∠5=59°，因为∠4+∠5=180°，得∠4=121°.
例2 等腰三角形的两边长是3和5，它的周长是 _______.
【考点与要求】理解等腰三角形的概念和三角形的三边关系，会用分类讨论解答问题.
【解析】题中给出了等腰三角形的两边长，因没给出具体哪边是底，故需分类讨论：① 当3是底边长时，周长为5+5+3=13；② 当5是底边长时，周长为3+3+5=11.本题难点是求出答案后要用“三角形的任意两边和大于第三边”作检查看是否符合题意.如果将条件中的两边长改为2和5，答案又是多少呢？
例3 如图2，在△ABC中，已知∠A=80°，∠B=60°，DE∥BC，那么∠CED的大小是_______.
【考点与要求】会用三角形内角和定理、平行线的性质，并体会转化的思想.
【解析】要求∠CED的大小先求出∠C的度数，即∠C=180°-∠A-∠B=40°.再利用“两直线平行，同旁内角互补”求出∠CED=180°-40°=140°. 思考的重点是确定∠CED与哪一个角有数量上的关系.
例4 如图3，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D. 若ED=5，则CE的长为_______.
【考点与要求】会用线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质，能熟练找相等线段作代换.
【解析】根据线段垂直平分线性质得出BE=CE，再根据“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”求出BE的长（BE=2DE=10），即求出CE的长.当然也可以证出∠DCE=30°后，在△DCE中直接求CE的长.
例5 已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=_______.
【考点与要求】要掌握平行四边形的性质和平行线的性质，也要熟练运用等量代换的方法.
【解析】根据平行四边形性质求出∠C=∠A，BC∥AD，推出∠A+∠B=180°，求出∠A的度数，即可求出∠C. ∴∠C=∠A=36°.
例6 如图4，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点.若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于_______.
【考点与要求】能灵活运用三角形中位线定理、勾股定理逆定理； 熟悉锐角三角函数的定义，能用几何直观的思想去探索问题.
【解析】要求tanC就需获得∠C所在的三角形（如果直接得到直角三角形那就更好），同时使用三角形中位线定理需要一个三角形，基于以上两点思考，可作辅助线连接BD. 在例7 如图5，在△ABC中，EF∥BC，交AB、AC于点E、F，AE ∶ EB=3∶2，则AF ∶ FC=_______；S△AEF ∶ S△ABC=_______.
【考点与要求】会用平行线分线段成比例性质；掌握相似三角形的判定、性质.
【解析】∵EF∥BC，直接可推得AF∶FC=AE∶EB=3∶2.∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴AF∶AC=AE∶AB. ∵AE∶EB=3∶2，∴AE∶AB=3∶5.又∵相似三角形面积的比等于相似比的平方，∴S△AEF ∶S△ABC=AE2∶AB2=9∶25.
例8 如图6，当宽为3 cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为_______cm.
【考点与要求】能灵活运用垂径定理、勾股定理；会建方程模型去解决问题.
例9 如图7，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为_______.
【考点与要求】能熟练运用圆周角定理的推论、直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余，并能用转化的思想解题.
【解析】连接AC，得∠ACD =∠ABD=55°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCD=90°-∠ACD=35°.
例10 ⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）.
A. 相切 B. 相离 C. 相离或相切 D. 相切或相交
【考点与要求】会利用圆心到直线距离d与圆半径大小关系判定直线与圆的3种位置关系，能用分类讨论的思想解题.
【解析】分OP垂直于直线l、OP不垂直直线l两种情况讨论.
当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l相切；
当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d 故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交.故选D.难点是理解“PO”不一定是垂线段.
例11 如图8，⊙O中，半径OA=4，∠AOB=120°，用阴影部分的扇形围成的圆锥底面圆的半径长为_______.
【考点与要求】掌握扇形弧长公式，理解阴影部分的扇形弧长等于围成圆锥底面圆的周长，能用列方程的思想求出半径长.
二、 图形证明
例12 如图9，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，请在下列4个等式中，① AB=DE，② ∠ACB=∠F，③ ∠A=∠D，④ AC=DF选出两个作为条件，推出△ABC≌△DEF.并予以证明.（写出一种即可）
已知：_______，_______.求证：△ABC≌△DEF. 【考点与要求】掌握各种判定全等三角形的方法，会举适当的反例判定一个命题为假命题.
【解析】①④或②③或②④（选一种情况自己完成证明过程）.难点是对条件进行组合时不能遗漏.
例13 如图10，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC. 求证：AB=AC.
【考点与要求】 能灵活运用全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，并会利用中间等量解答问题.
【解析】要证AB=AC，只要证∠B=∠C，由于∠E=∠B，而∠C和∠E是△AED和△ACD的对应角（易证△AED≌△ACD），经过代换得∠B=∠C，∴AB=AC.
例14 如图11，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上.（1） 求证：CE=CF；（2） 若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长.
【考点与要求】能灵活运用正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质和勾股定理，能选择适当的未知数x，列出方程解决问题，体会如何借“数”来解决“形”的问题.
【解析】（1） 要证CE=CF，需证出∠CEF =∠CFE，再用“等角对等边”证出，或先证明BE=DF，后利用等式性质证出.
∵Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∠AEB =∠AFD，接下去可以选择两条思路去解决问题.
第一种思路：∵BC=CD ，利用等式性质得CE=CF；
第二种思路：∵∠AEB =∠AFD，又∠AEF =∠AFE=60°，∴∠CEF =∠CFE，利用等角对等边得CE=CF.
（2） 要求正方形ABCD的周长，只要求出它的边长.
第（2）小题的难点在于选择好未知量以后，如何用含x的代数式表示其他线段的长.（如果设BE为x，那么你又该如何去解答？）
例15 如图12，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF.
求证：AE=AF.
【考点与要求】本题以常用的2种证明方法解说考点和要求：
（1） 在三角形中，掌握等腰三角形的判定和“三线合一”性质；
（2） 在四边形中掌握平行四边形的判定及菱形的判定和性质，在三角形中掌握全等三角形的判定和性质，学会从不同的角度去思考论证，体会证明方法的灵活性.
【解析】（1） 如果在△AEF中证明AE=AF，那么只要证出∠AEF =∠AFE，再利用等角对等边就可证出结论.∵AD∥BC，∴∠AEF=∠CFE.又∵EF垂直平分线段AC，∴ AF=FC.
∵EF⊥AC，∴∠AFE=∠CFE（三线合一）.∴∠AEF=∠AFE，∴ AE=AF.
（2） 如果在四边形AECF中证出AE=AF，那么只要证明四边形AECF是菱形.
连接CE，∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO.
又∵AO=CO，∴△AEO≌△CFO（AAS）.
∴AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形.
又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形.∴AE=AF.
本题的难点是对“过点O作AC的垂直平分线”这句话的理解，只表示EF垂直平分线AC，不表示AC平分线EF，垂直一定是互相的，平分不一定是互相的.
例16 如图13，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G.
（1） 求证：△BDG∽△DEG；
（2） 若EG·BG=4，求BE的长.
【考点与要求】掌握相似三角形的判定及性质，理解图形旋转的性质，能运用转化思想.
【解析】（1） 由旋转得BE=DF，∠EBC=∠CDF，∠DGE=90°.
因为∠DGE为公共角，BE平分∠DBC，所以∠CBG=∠DBG，代换得∠DBG=∠CDF. 所以△BDG∽△DEG.
（2） 用第（1） 小题的结论可得DG2=EG·BG，得DG=2.又因为∠DGE=90°，BE平分∠DBC，可得DF=2DG=4，所以BE=4.本题难点是将要求的BE长转化到DF长.
例17 如图14，在△ABC中，点D是AC边上一点，AD=10，DC=4.以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB=BE.
（1） 求证：AB是⊙O的切线；
（2） 过D点作DF∥BC交⊙O与点F ，求线段DF的长.
【考点与要求】能灵活运用切线的判定和性质，勾股定理，垂径定理，全等、相似三角形的判定和性质；会通过连线构造全等三角形，同时能熟练运用求弦长的基本图形（由半弦、半径、弦心距构成的直角三角形）.
【解析】（1） 要证AB是⊙O的切线，只需证明∠BAO=90°.又BC切⊙O于点E，连接OE，得∠BEO=90°.所以如何将∠BEO的90°转给要求的∠BAO.即探索如何去证明∠BAO=∠BEO.连接OB，通过△ABO≌△EBO就可以得到∠BAO和∠BEO相等.
例1 如图1，已知∠1=∠2=∠3=59°，则∠4=_______.
【考点与要求】会找出同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角，掌握平行线的判定和性质.
【解析】因为∠1=∠3，所以图中l1与l2平行，所以∠2=∠5=59°，因为∠4+∠5=180°，得∠4=121°.
例2 等腰三角形的两边长是3和5，它的周长是 _______.
【考点与要求】理解等腰三角形的概念和三角形的三边关系，会用分类讨论解答问题.
【解析】题中给出了等腰三角形的两边长，因没给出具体哪边是底，故需分类讨论：① 当3是底边长时，周长为5+5+3=13；② 当5是底边长时，周长为3+3+5=11.本题难点是求出答案后要用“三角形的任意两边和大于第三边”作检查看是否符合题意.如果将条件中的两边长改为2和5，答案又是多少呢？
例3 如图2，在△ABC中，已知∠A=80°，∠B=60°，DE∥BC，那么∠CED的大小是_______.
【考点与要求】会用三角形内角和定理、平行线的性质，并体会转化的思想.
【解析】要求∠CED的大小先求出∠C的度数，即∠C=180°-∠A-∠B=40°.再利用“两直线平行，同旁内角互补”求出∠CED=180°-40°=140°. 思考的重点是确定∠CED与哪一个角有数量上的关系.
例4 如图3，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D. 若ED=5，则CE的长为_______.
【考点与要求】会用线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质，能熟练找相等线段作代换.
【解析】根据线段垂直平分线性质得出BE=CE，再根据“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”求出BE的长（BE=2DE=10），即求出CE的长.当然也可以证出∠DCE=30°后，在△DCE中直接求CE的长.
例5 已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=_______.
【考点与要求】要掌握平行四边形的性质和平行线的性质，也要熟练运用等量代换的方法.
【解析】根据平行四边形性质求出∠C=∠A，BC∥AD，推出∠A+∠B=180°，求出∠A的度数，即可求出∠C. ∴∠C=∠A=36°.
例6 如图4，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点.若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于_______.
【考点与要求】能灵活运用三角形中位线定理、勾股定理逆定理； 熟悉锐角三角函数的定义，能用几何直观的思想去探索问题.
【解析】要求tanC就需获得∠C所在的三角形（如果直接得到直角三角形那就更好），同时使用三角形中位线定理需要一个三角形，基于以上两点思考，可作辅助线连接BD. 在例7 如图5，在△ABC中，EF∥BC，交AB、AC于点E、F，AE ∶ EB=3∶2，则AF ∶ FC=_______；S△AEF ∶ S△ABC=_______.
【考点与要求】会用平行线分线段成比例性质；掌握相似三角形的判定、性质.
【解析】∵EF∥BC，直接可推得AF∶FC=AE∶EB=3∶2.∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴AF∶AC=AE∶AB. ∵AE∶EB=3∶2，∴AE∶AB=3∶5.又∵相似三角形面积的比等于相似比的平方，∴S△AEF ∶S△ABC=AE2∶AB2=9∶25.
例8 如图6，当宽为3 cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为_______cm.
【考点与要求】能灵活运用垂径定理、勾股定理；会建方程模型去解决问题.
例9 如图7，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为_______.
【考点与要求】能熟练运用圆周角定理的推论、直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余，并能用转化的思想解题.
【解析】连接AC，得∠ACD =∠ABD=55°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCD=90°-∠ACD=35°.
例10 ⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）.
A. 相切 B. 相离 C. 相离或相切 D. 相切或相交
【考点与要求】会利用圆心到直线距离d与圆半径大小关系判定直线与圆的3种位置关系，能用分类讨论的思想解题.
【解析】分OP垂直于直线l、OP不垂直直线l两种情况讨论.
当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l相切；
当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d
例11 如图8，⊙O中，半径OA=4，∠AOB=120°，用阴影部分的扇形围成的圆锥底面圆的半径长为_______.
【考点与要求】掌握扇形弧长公式，理解阴影部分的扇形弧长等于围成圆锥底面圆的周长，能用列方程的思想求出半径长.
二、 图形证明
例12 如图9，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，请在下列4个等式中，① AB=DE，② ∠ACB=∠F，③ ∠A=∠D，④ AC=DF选出两个作为条件，推出△ABC≌△DEF.并予以证明.（写出一种即可）
已知：_______，_______.求证：△ABC≌△DEF. 【考点与要求】掌握各种判定全等三角形的方法，会举适当的反例判定一个命题为假命题.
【解析】①④或②③或②④（选一种情况自己完成证明过程）.难点是对条件进行组合时不能遗漏.
例13 如图10，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC. 求证：AB=AC.
【考点与要求】 能灵活运用全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，并会利用中间等量解答问题.
【解析】要证AB=AC，只要证∠B=∠C，由于∠E=∠B，而∠C和∠E是△AED和△ACD的对应角（易证△AED≌△ACD），经过代换得∠B=∠C，∴AB=AC.
例14 如图11，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上.（1） 求证：CE=CF；（2） 若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长.
【考点与要求】能灵活运用正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质和勾股定理，能选择适当的未知数x，列出方程解决问题，体会如何借“数”来解决“形”的问题.
【解析】（1） 要证CE=CF，需证出∠CEF =∠CFE，再用“等角对等边”证出，或先证明BE=DF，后利用等式性质证出.
∵Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∠AEB =∠AFD，接下去可以选择两条思路去解决问题.
第一种思路：∵BC=CD ，利用等式性质得CE=CF；
第二种思路：∵∠AEB =∠AFD，又∠AEF =∠AFE=60°，∴∠CEF =∠CFE，利用等角对等边得CE=CF.
（2） 要求正方形ABCD的周长，只要求出它的边长.
第（2）小题的难点在于选择好未知量以后，如何用含x的代数式表示其他线段的长.（如果设BE为x，那么你又该如何去解答？）
例15 如图12，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF.
求证：AE=AF.
【考点与要求】本题以常用的2种证明方法解说考点和要求：
（1） 在三角形中，掌握等腰三角形的判定和“三线合一”性质；
（2） 在四边形中掌握平行四边形的判定及菱形的判定和性质，在三角形中掌握全等三角形的判定和性质，学会从不同的角度去思考论证，体会证明方法的灵活性.
【解析】（1） 如果在△AEF中证明AE=AF，那么只要证出∠AEF =∠AFE，再利用等角对等边就可证出结论.∵AD∥BC，∴∠AEF=∠CFE.又∵EF垂直平分线段AC，∴ AF=FC.
∵EF⊥AC，∴∠AFE=∠CFE（三线合一）.∴∠AEF=∠AFE，∴ AE=AF.
（2） 如果在四边形AECF中证出AE=AF，那么只要证明四边形AECF是菱形.
连接CE，∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO.
又∵AO=CO，∴△AEO≌△CFO（AAS）.
∴AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形.
又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形.∴AE=AF.
本题的难点是对“过点O作AC的垂直平分线”这句话的理解，只表示EF垂直平分线AC，不表示AC平分线EF，垂直一定是互相的，平分不一定是互相的.
例16 如图13，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G.
（1） 求证：△BDG∽△DEG；
（2） 若EG·BG=4，求BE的长.
【考点与要求】掌握相似三角形的判定及性质，理解图形旋转的性质，能运用转化思想.
【解析】（1） 由旋转得BE=DF，∠EBC=∠CDF，∠DGE=90°.
因为∠DGE为公共角，BE平分∠DBC，所以∠CBG=∠DBG，代换得∠DBG=∠CDF. 所以△BDG∽△DEG.
（2） 用第（1） 小题的结论可得DG2=EG·BG，得DG=2.又因为∠DGE=90°，BE平分∠DBC，可得DF=2DG=4，所以BE=4.本题难点是将要求的BE长转化到DF长.
例17 如图14，在△ABC中，点D是AC边上一点，AD=10，DC=4.以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB=BE.
（1） 求证：AB是⊙O的切线；
（2） 过D点作DF∥BC交⊙O与点F ，求线段DF的长.
【考点与要求】能灵活运用切线的判定和性质，勾股定理，垂径定理，全等、相似三角形的判定和性质；会通过连线构造全等三角形，同时能熟练运用求弦长的基本图形（由半弦、半径、弦心距构成的直角三角形）.
【解析】（1） 要证AB是⊙O的切线，只需证明∠BAO=90°.又BC切⊙O于点E，连接OE，得∠BEO=90°.所以如何将∠BEO的90°转给要求的∠BAO.即探索如何去证明∠BAO=∠BEO.连接OB，通过△ABO≌△EBO就可以得到∠BAO和∠BEO相等.