【摘要】探究性教学是培养学生探究性学习能力的基础和手段，又要打破思维定式，因势利导，探究创新.通过学生的独立思考，探求出新颖简捷的解题方法，这样不仅巩固基础知识，激发学生的学习兴趣，更重要的是锻炼学生探索创新的能力.
　　【关键词】探究；思维品质；基本不等式
　　
　　探究性学习是一种适应时代要求的全新的学习方式.在数学教学中，教师应抓住一些典型的习题错解，引导学生去思考去探究，掌握从隐蔽的教学关系中寻找问题实质的能力，训练学生发散思维，培养学生的思维品质.苏教版数学必修5课本中有这样一道习题：已知正数x，y满足x+2y=1，求1x+1y的最小值.
　　对这道题可作如下探究：
　　一、寻找错误原因，消除误区
　　错解 由已知，得1=x+2y≥22xy.
　　①
　　即2xy≤12，有12xy≥2.
　　②
　　故1x+1y≥21xy=2xy≥42.
　　③
　　从而知道1x+1y的最小值为42.
　　分析 ①与③两处都运用了基本不等式，要考虑到“等号”成立的条件是否同时满足：在①处等号成立的条件是x+2y=1且x=2y，即x=12，y=14，而③处等号成立的条件是1x=1y且x+2y=1，即x=13，y=13.这样两处等号不能同时取得，故基本不等式中等号不能传递，故有1x+1y＞42，因而42不是最小值而应比42大.
　　二、整体思想
　　考虑到错解中两次使用基本不等式，导致等号不能同时取得错误，于是考虑减少使用基本不等式的次数，具体求解如下：
　　1x+1y=x+2yx+x+2yy=1+2yx+2+xy
　　=3+2yx+xy≥3+22，
　　当且仅当xy=2yx与x+2y=1时，
　　即x=2-1与y=2-22时，取得最小值为3+22.
　　三、巧设变量
　　由于x，y均为正数和x+y=1中数字“1”而联想到三角恒等式，于是可进行如下换元，解法是：设x=sin2A ，2y=cos2A，于是1x+1y=1sin2A+2cos2A=3+1tan2A+2tan2A≥3+22.
　　四、巧消元
　　考虑到已知条件与所求结论中的x,y两个变量，采用消元法消去一个变量如y=1-x2，以达到简化未知数的目的.如：
　　1x+1y=1x+21-x=1-x+xx+2(1-x)+2x1-x
　　=3+1-xx+2x1-x≥3+22，
　　当且仅当1-xx=2x1-x，即x=2-1时，等式成立.
　　五、一题多变，细心领会
　　变式 ①已知0　　解析 令1y=21-x，则该变式就是课本上的原题了.
　　②已知a，b是两个不相等的正常数，正数x，y满足ax+by=1.求x+y的最小值.
　　解析 可仿前面整体思想的解法，将“1”进行代换.
　　x+y=1•(x+y)=ax+by(x+y)
　　=(a+b)+ayx+bxy≥a+b+2ayx•bxy
　　=(a+b)2，
　　则x+y的最小值为（a+b）2.
　　③已知两个正数x，y满足x+y=4，求不等式1x+4y≥m恒成立的实数m的取值范围.
　　解 设1x+4y的最小值为P，即
　　P=414x+1y=(x+y)14x+1y
　　=14+1+y4x+xy≥54+1=94，
　　即P≥94.
　　又 ∵1x+4y≥m，即P≥m恒成立，∴m≤94.
　　利用基本不等式求最小值是一种常用的方法.在解题时为满足“一正”、“二定”、“三相等”三个条件，需要因题而异进行“拆”、“拼”、“凑”等变换，转化为“基本不等式”，从而提高思维的灵活性和简约性.