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【摘要】数学概念的生成要经历直观到抽象，特殊到一般，局部到整体，感性到理性的思维过程，它的形成过程是螺旋式上升、不断深化的，因此提高学生学习数学概念的有效教学尤为重要，有效教学可从引入、生成、类比、应用几个方面开展。
【关键词】数学概念 教学 有效性
【基金项目】甘肃省“十三五”教育科学规划课题，新课标下引导学生学习数学概念有效性途径的研究（课题立项号GS[2017]GHB0968）。
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）04-0130-01
概念是反映对象的特有属性的思维形式。数学概念是对客观事物的数量关系、空间形式或结构形式的概括及其本质属性的反映。一般来说，数学概念要经历认知、理解、升华、巩固和应用等几种心理过程，有效教学可以帮助学生认知、理解、升华、巩固概念，可从以下几个方面开展有效教学。
一、从问题情境中认知概念，重视概念的引入教学
概念的认知是形成概念的前提，每一个概念的产生都有丰富的知识背景，形成准确概念的首要条件是使学生获得十分丰富和合乎实际的感性材料，概念的引入是概念教学的关键，例如以下教学过程：
案例1：“直线与平面平行”的判定概念教学片断
问题1 将书打开平放在桌面上，观察书的边缘所在的直线与桌面所在的平面的位置关系
问题2 在开门的过程中，观察门扇转动的一边和门框所在的平面的位置关系
问题3 安装日光灯，需要让灯管与天花板平行
问题4 跳高裁判，要让横杆与地面平行
从以上四个生活实例中感悟直线与平面平行的判定，形成直线与平面平行的直观认识。教学时通过与概念有明显联系、直观性强的例子，使学生在从具体问题的体验中感知概念，形成感性认识。所以在概念教学中，既应注意从学生的生活经验出发，也应该注意从学生容易接受的问题情境中引入概念，引导他们抽象出相应的数学概念，使学生较好地接受和理解概念。
二、从概念的内涵和外延中理解概念，重视概念的生成教学
概念的生成教学就是让学生参与和经历概念生成的整个思维过程，为帮助学生准确地理解概念，教师在概念的生成教学中，必须引导学生对概念作出辩证分析，用不同的方法揭示概念的外延和内涵，让学生在概念的生成中自主探究，深化对概念的理解，进一步掌握概念的本质。例如以下教学过程：
案例2：“指数函数”概念教学片段
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，3个分裂成8个，……一个这样的细胞分裂x次后，得到细胞分裂的个数y与x之间，构成一个函数关系，能写出x与y之间的函数关系式吗？
y与x之间的关系式，可以表示为y=2x
这个函数中，底数是常数，指数是自变量。可以用字母代替其中的底数，那么上式就可以表示成y=ax的形式。自变量在指数位置，所以把它称作指数函数。
对于底数的分类，①若a<0 会有什么问题？（如a=-2， x=■则在实数范围内相应的函数值不存在）
②若a=0 会有什么问题？（对于x=0，无意义）
③若 a=1又会怎么样？（ 无论a 取何值，它总是1，对它没有研究的必要。）
为了避免上述各种情况的发生，所以规定a >0，且a≠1
这个过程中体现了教改“以学生为主，教师为辅”的思想。加深了学生对指数函数的理解，也培养了学生自主探究的精神。帮助学生深入的理解概念不是上一节课能够解决的，而是一个比较长期的不断深入的教学过程。
三、从概念的对比中升华概念，重视概念的类比教学
类比可以引导学生利用原有知识探索得到新的知识，那是教学技巧的最高境界。所有的数学概念都不是孤立存在的，一个概念我们在已学的其他概念中总能找到与之相类似的特征，已学概念恰好就是新概念学习的基礎。借助这一点可以纵向引导学生进行合理的类比，将已学的数学概念和思想迁移到新概念的学习中来，构建出完整的数学概念系统。
案例3：“对数函数”概念教学片段
在某细胞分裂过程中，细胞个数y是分裂次数x的指数函数即y=2x，相反如果知道了细胞个数y如何求分裂的次数x，这将是我们研究的哪类函数？从指数函数中自然引入对数函数。
但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年 ，J.威廉（1675-1749）在给G.威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《无穷小 分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是指数函数的逆函数。
四、从概念的本质入手巩固概念，加强概念的应用教学
张奠宙先生曾经说过：“数学教学的关键在于对数学本质的把握、揭示和体验”。对数学概念本质的体验只有在应用中才能得到验证，在应用的同时也使得概念学习得到巩固。
例如：在对数函数y=logax中对a的认识，a是不为1的正实数，不同的a代表了不同的函数，但这些函数都是对数函数模型，在人教版高中数学必修一62页的思考中，由例8实际问题产生的函数关系式y=13×1.01x中，问哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿……就是用待定系数法求上式中的x，而待定系数法的本质是对模型和模型思想的认识，模型和模型的思想是数学中最基本的方法之一，以上就是对数模型。
参考文献：
[1]《普通高中数学课程标准》（2004）.
[2]匡继昌.数学教学要重视基本概念的深入理解.数学通报，2008，9.
作者简介：
牟惠兰（1968.12-），汉族，甘肃省西和县人，本科，西和二中数学教研组组长，中学高级教师，研究方向：中学数学。
【关键词】数学概念 教学 有效性
【基金项目】甘肃省“十三五”教育科学规划课题，新课标下引导学生学习数学概念有效性途径的研究（课题立项号GS[2017]GHB0968）。
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）04-0130-01
概念是反映对象的特有属性的思维形式。数学概念是对客观事物的数量关系、空间形式或结构形式的概括及其本质属性的反映。一般来说，数学概念要经历认知、理解、升华、巩固和应用等几种心理过程，有效教学可以帮助学生认知、理解、升华、巩固概念，可从以下几个方面开展有效教学。
一、从问题情境中认知概念，重视概念的引入教学
概念的认知是形成概念的前提，每一个概念的产生都有丰富的知识背景，形成准确概念的首要条件是使学生获得十分丰富和合乎实际的感性材料，概念的引入是概念教学的关键，例如以下教学过程：
案例1：“直线与平面平行”的判定概念教学片断
问题1 将书打开平放在桌面上，观察书的边缘所在的直线与桌面所在的平面的位置关系
问题2 在开门的过程中，观察门扇转动的一边和门框所在的平面的位置关系
问题3 安装日光灯，需要让灯管与天花板平行
问题4 跳高裁判，要让横杆与地面平行
从以上四个生活实例中感悟直线与平面平行的判定，形成直线与平面平行的直观认识。教学时通过与概念有明显联系、直观性强的例子，使学生在从具体问题的体验中感知概念，形成感性认识。所以在概念教学中，既应注意从学生的生活经验出发，也应该注意从学生容易接受的问题情境中引入概念，引导他们抽象出相应的数学概念，使学生较好地接受和理解概念。
二、从概念的内涵和外延中理解概念，重视概念的生成教学
概念的生成教学就是让学生参与和经历概念生成的整个思维过程，为帮助学生准确地理解概念，教师在概念的生成教学中，必须引导学生对概念作出辩证分析，用不同的方法揭示概念的外延和内涵，让学生在概念的生成中自主探究，深化对概念的理解，进一步掌握概念的本质。例如以下教学过程：
案例2：“指数函数”概念教学片段
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，3个分裂成8个，……一个这样的细胞分裂x次后，得到细胞分裂的个数y与x之间，构成一个函数关系，能写出x与y之间的函数关系式吗？
y与x之间的关系式，可以表示为y=2x
这个函数中，底数是常数，指数是自变量。可以用字母代替其中的底数，那么上式就可以表示成y=ax的形式。自变量在指数位置，所以把它称作指数函数。
对于底数的分类，①若a<0 会有什么问题？（如a=-2， x=■则在实数范围内相应的函数值不存在）
②若a=0 会有什么问题？（对于x=0，无意义）
③若 a=1又会怎么样？（ 无论a 取何值，它总是1，对它没有研究的必要。）
为了避免上述各种情况的发生，所以规定a >0，且a≠1
这个过程中体现了教改“以学生为主，教师为辅”的思想。加深了学生对指数函数的理解，也培养了学生自主探究的精神。帮助学生深入的理解概念不是上一节课能够解决的，而是一个比较长期的不断深入的教学过程。
三、从概念的对比中升华概念，重视概念的类比教学
类比可以引导学生利用原有知识探索得到新的知识，那是教学技巧的最高境界。所有的数学概念都不是孤立存在的，一个概念我们在已学的其他概念中总能找到与之相类似的特征，已学概念恰好就是新概念学习的基礎。借助这一点可以纵向引导学生进行合理的类比，将已学的数学概念和思想迁移到新概念的学习中来，构建出完整的数学概念系统。
案例3：“对数函数”概念教学片段
在某细胞分裂过程中，细胞个数y是分裂次数x的指数函数即y=2x，相反如果知道了细胞个数y如何求分裂的次数x，这将是我们研究的哪类函数？从指数函数中自然引入对数函数。
但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年 ，J.威廉（1675-1749）在给G.威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《无穷小 分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是指数函数的逆函数。
四、从概念的本质入手巩固概念，加强概念的应用教学
张奠宙先生曾经说过：“数学教学的关键在于对数学本质的把握、揭示和体验”。对数学概念本质的体验只有在应用中才能得到验证，在应用的同时也使得概念学习得到巩固。
例如：在对数函数y=logax中对a的认识，a是不为1的正实数，不同的a代表了不同的函数，但这些函数都是对数函数模型，在人教版高中数学必修一62页的思考中，由例8实际问题产生的函数关系式y=13×1.01x中，问哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿……就是用待定系数法求上式中的x，而待定系数法的本质是对模型和模型思想的认识，模型和模型的思想是数学中最基本的方法之一，以上就是对数模型。
参考文献：
[1]《普通高中数学课程标准》（2004）.
[2]匡继昌.数学教学要重视基本概念的深入理解.数学通报，2008，9.
作者简介：
牟惠兰（1968.12-），汉族，甘肃省西和县人，本科，西和二中数学教研组组长，中学高级教师，研究方向：中学数学。