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【摘 要】在日常教学中，学生在“给平面图形作高”中会出现各种错误，如画的高与底不垂直、画的高与底不对应等。笔者结合实际情况在教学相关内容时做了一些探索：研究教材，调整“高”的教学路径;联系生活，构建“高”的概念模型;动态演示，理解“高”的概念本质;夯实基础，重视“高”的上位知识;提炼方法，巩固“高”的作图技巧。实践证明，教学中运用上述策略有助于学生理解“高”和正确“作高”。
【关键词】小学数学;平面图形;教学策略
“给平面图形作高”是小学数学“图形和几何”中的重要内容。教师一般通过讲解、演示、示范操作的基本步骤进行教学，再由学生模仿操作并强化练习。这样的教学过程看似完整、扎实，然而最终的结果却是学生“作高”的错误率很高，看似简单的知识和技能变成了教学的难点。通过研究，笔者试图破解“给平面图形作高”这个难题，探索有效的教学策略，最终走出“作高”的困境。
1 洞悉错因
在小学阶段，“给平面图形作高”主要是给平行四边形、梯形、三角形这三种图形作高。在人教版數学教材中，“给平行四边形和梯形作高”是安排在四年级上册第五单元“平行四边形和梯形”中。“给三角形作高”是安排在四年级下册第五单元“三角形”的教学内容中。“给平面图形作高”是在学生理解了直线、射线、线段的相关知识，掌握了垂直、平行等位置关系后开展的作图活动，它是今后学习平行四边形、三角形、梯形等平面图形面积的基础。
为了让学生学会“给平面图形作高”，教师在教学上没少花时间和精力，但学生在“作高”中还是会出现很多的错误。问题究竟出在哪儿？笔者通过错题收集、整理，从教师的教学方法和学生的认知心理做了成因分析。
1.1 画的高与底不垂直
由于三角板的摆放不规范而出现高与底不垂直的错误。（如图1）
错因分析：“垂线段”知识是“给平面图形作高”中的“种子概念”，在教学中如果不重视该部分内容，操作训练不够，学生在“作高”时就会碰到困难。还有一种情况是底边不是水平的，由于受生活经验中“高”的意义的干扰，学生在“给平面图形作高”时总是试图将高与水平线保持垂直关系，而不是与底边保持垂直关系。
1.2 画的高与底不对应
在画指定底边上的高时，部分学生画的却是其他底边上的高，没有搞清楚高与底相对应。（如图2）
错因分析：除了上面所说生活经验中“高”的意义的干扰这个原因，还有一个原因是“平面图形的高”的定义对于小学生来说比较抽象，难于理解。他们错把“邻边”当“对边”，找不到与底相对的对边或顶点，最终导致高与底边不对应。
1.3 画高的起点不明确
画平行四边形（或梯形）的高时，没有从一条边上的一点出发向它的对边作垂线段。画三角形的高时，没有从一个顶点出发向它的对边作垂线段。（如图3）
错因分析：平行四边形的高和三角形的高，在概念上既有相同点又有不同点。平行四边形在“作高”时，可以从对边上的任意一点到底边作垂线段，三角形的高则是从顶点出发向对边所作的垂线段。学会作平行四边形的高，有利于学生学习作三角形的高，但同时也会带来负迁移。
1.4 图中现有高不会找
在直角三角形中，两条直角边互为底和高，学生不会直接找高，非要画一条错误的高。（如图4）
错因分析：锐角三角形的三条高都在三角形的内部，学生可能会产生这样的思维定式——三角形的高和边是两回事，不可能是同一条。
2 探索对策
面对错误，倘若只是机械地纠错，重复地训练，往往收效甚微。如何让学生理解“高”的定义，并能正确“作高”？笔者在教学中做了如下一些探索。
2.1 研究教材，调整“高”的教学路径
将人教版、苏教版、浙教版三个版本的教材进行对比研究，如表1，苏教版、浙教版将“给平面图形作高”的相关知识全部安排在四年级下册，知识之间的联系比较紧密，教学起来也更加连贯。“垂线段”是“作高”的基础知识，所以从逻辑顺序来说，在“作高”教学中应先让学生学习“给三角形作高”，再接着学习“给平行四边形和梯形作高”，这样的教学路径更符合学生认识发展的规律。
2.2 联系生活，构建“高”的概念模型
书本上给出的“平面图形的高”的概念都比较抽象，而小学生的认知规律是从具体到抽象。因此，平面图形中高的定义对于小学生来说比较抽象，在教学中教师应联系生活，重视学生的经验和认知。
（1）联系生活，合理利用“前概念”。在小学生的生活经验中，高是指人或物体距离地面的垂直高度，如“身高”“楼高”等。这与“三角形的高”有共同之处，因此，教师可以尝试着把生活中的“高”作为“前概念”来理解“平面图形的高”，这有助于提高教学效率。
（2）借用常识，努力排除“负迁移”。生活中，测量物体的高，需要与水平地面保持垂直。然而，在底边不是水平的情况下，学生容易受到生活经验的负迁移，画出的高与底边不垂直。怎么办？
a.引入“地心引力”，力排干扰。
小学四年级的学生已经有这样的常识，地球类似一个球体，地球上的万物被地心引力吸着，如果一个人从外太空用望远镜看地球，地球上的高楼看上去就是斜的，地面也是斜着的。但房子与房子所处的地面垂直。借用这个现象，教师可以引导学生把三角形想象成一幢房子，拿出地球，摆在三角形的一条边旁，此时三角形的底就是地面。在教学中，渗透“底就是地平面”的思想能帮助学生排除生活经验的负迁移。
b.通过旋转变化，化“斜”为“正”。
既然“底就是地平面”，那么学生在作图中也可以旋转图形，让斜着摆的底边变成正着摆，那“作高”就变得容易多了。 2.3 动态演示，理解“高”的概念本质
张奠宙教授曾经说过：“理解是技能训练获得高效率的潜在条件。”因此，在教学中要重视让学生理解高的概念本质。
（1）对比过程中理解高的本质属性。动态演示平行四边形、梯形和三角形的高，让学生分辨它们之间的联系与区别。除了让学生感受平行四边形、梯形一条边上“一点”和三角形的“顶点”的不同，也让学生去发现它们的共同点都是“一点到对边所作的垂线段”。通过对比，巧妙地将画高与画垂线相联系，以旧知理解新知，抓住高的概念本质。
（2）變化演示中点破高的特殊位置。为了让学生更直观形象地理解直角三角形直角边互为底和高，笔者尝试用微视频动态演示三角形形状的变化及高的位置的变化过程。用三根小棒和线砣，水平边为底，高线是线砣，如图5。在逐渐变成直角三角形的过程中，高逐渐与右边的直角边重合。这样的动态演示能让学生理解直角三角形的两条直角边互为底和高。
2.4 夯实基础，重视“高”的上位知识
数学教学应顺应知识的内在逻辑关系，重视并预备“作高”的上位基础知识——垂线段。“给平面图形作高”的本质是“一点到对边所作的垂线段”。因此，在学习“给平面图形作高”前，教师要先让学生能熟练地画垂线段，即过直线外一点画已知直线的垂线。除了直接可画的情况外，还可出现直线一端需延长才可画垂线段的情况。只有提供充分的变式练习，学生在操作上才能得心应手。
2.5 提炼方法，巩固“高”的作图技巧
“给平面图形作高”在操作上有比较高的要求。对于小学生来说，由于动手能力差，他们稍不留神就会出现底和高不成直角的现象。为了提高学生“作高”技能，除了加强教师的示范，还可以增加同伴间的互助演示;除了课堂上手把手的操作演示，还可以是课堂外的微视频示范。在加强演示、示范的同时，也要重视方法的提炼。
（1）提炼常规方法。三角形作高的步骤：首先是三角板直角边和三角形底边重合，概括为“重合边”;接着是三角板的另一条直角边穿过三角形的顶点，概括为“重合点”;最后是“画线、标记”。有了操作要点的提醒，在不断规范“作高”的过程中，学生最终养成良好的作图习惯。
（2）学习创新方法。不管教师在教学过程中如何示范、如何提炼方法，总有一部分学生在操作上还是有困难。对于这部分学生，还需另寻他法。如可以向学生推荐“尺板作高法”，用一块三角板辅以直尺协同作高，如图6。直尺与三角形底边重合，直尺不动，三角板的一条直角边紧贴直尺移动，直到另一条直角边到三角形底边所对的顶点，然后作高。
综上所述，通过上述教学策略的改进，学生对高的认识更深刻了，“给平面图形作高”的能力也有了较大的提升，特别是学困生，不再谈“高”色变。
【参考文献】
[1]高卫芳.四招破解三角形作高的难点[J].教苑时空·教例剖析，2013（2）.
[2]于芳.“地心引力”与三角形的高[J].小学数学教师，2014（12）.
【作者简介】
谢锋铭（1977～），汉族，浙江省杭州市人，学历：本科，职称：一级教师，研究方向：小学数学。
【关键词】小学数学;平面图形;教学策略
“给平面图形作高”是小学数学“图形和几何”中的重要内容。教师一般通过讲解、演示、示范操作的基本步骤进行教学，再由学生模仿操作并强化练习。这样的教学过程看似完整、扎实，然而最终的结果却是学生“作高”的错误率很高，看似简单的知识和技能变成了教学的难点。通过研究，笔者试图破解“给平面图形作高”这个难题，探索有效的教学策略，最终走出“作高”的困境。
1 洞悉错因
在小学阶段，“给平面图形作高”主要是给平行四边形、梯形、三角形这三种图形作高。在人教版數学教材中，“给平行四边形和梯形作高”是安排在四年级上册第五单元“平行四边形和梯形”中。“给三角形作高”是安排在四年级下册第五单元“三角形”的教学内容中。“给平面图形作高”是在学生理解了直线、射线、线段的相关知识，掌握了垂直、平行等位置关系后开展的作图活动，它是今后学习平行四边形、三角形、梯形等平面图形面积的基础。
为了让学生学会“给平面图形作高”，教师在教学上没少花时间和精力，但学生在“作高”中还是会出现很多的错误。问题究竟出在哪儿？笔者通过错题收集、整理，从教师的教学方法和学生的认知心理做了成因分析。
1.1 画的高与底不垂直
由于三角板的摆放不规范而出现高与底不垂直的错误。（如图1）
错因分析：“垂线段”知识是“给平面图形作高”中的“种子概念”，在教学中如果不重视该部分内容，操作训练不够，学生在“作高”时就会碰到困难。还有一种情况是底边不是水平的，由于受生活经验中“高”的意义的干扰，学生在“给平面图形作高”时总是试图将高与水平线保持垂直关系，而不是与底边保持垂直关系。
1.2 画的高与底不对应
在画指定底边上的高时，部分学生画的却是其他底边上的高，没有搞清楚高与底相对应。（如图2）
错因分析：除了上面所说生活经验中“高”的意义的干扰这个原因，还有一个原因是“平面图形的高”的定义对于小学生来说比较抽象，难于理解。他们错把“邻边”当“对边”，找不到与底相对的对边或顶点，最终导致高与底边不对应。
1.3 画高的起点不明确
画平行四边形（或梯形）的高时，没有从一条边上的一点出发向它的对边作垂线段。画三角形的高时，没有从一个顶点出发向它的对边作垂线段。（如图3）
错因分析：平行四边形的高和三角形的高，在概念上既有相同点又有不同点。平行四边形在“作高”时，可以从对边上的任意一点到底边作垂线段，三角形的高则是从顶点出发向对边所作的垂线段。学会作平行四边形的高，有利于学生学习作三角形的高，但同时也会带来负迁移。
1.4 图中现有高不会找
在直角三角形中，两条直角边互为底和高，学生不会直接找高，非要画一条错误的高。（如图4）
错因分析：锐角三角形的三条高都在三角形的内部，学生可能会产生这样的思维定式——三角形的高和边是两回事，不可能是同一条。
2 探索对策
面对错误，倘若只是机械地纠错，重复地训练，往往收效甚微。如何让学生理解“高”的定义，并能正确“作高”？笔者在教学中做了如下一些探索。
2.1 研究教材，调整“高”的教学路径
将人教版、苏教版、浙教版三个版本的教材进行对比研究，如表1，苏教版、浙教版将“给平面图形作高”的相关知识全部安排在四年级下册，知识之间的联系比较紧密，教学起来也更加连贯。“垂线段”是“作高”的基础知识，所以从逻辑顺序来说，在“作高”教学中应先让学生学习“给三角形作高”，再接着学习“给平行四边形和梯形作高”，这样的教学路径更符合学生认识发展的规律。
2.2 联系生活，构建“高”的概念模型
书本上给出的“平面图形的高”的概念都比较抽象，而小学生的认知规律是从具体到抽象。因此，平面图形中高的定义对于小学生来说比较抽象，在教学中教师应联系生活，重视学生的经验和认知。
（1）联系生活，合理利用“前概念”。在小学生的生活经验中，高是指人或物体距离地面的垂直高度，如“身高”“楼高”等。这与“三角形的高”有共同之处，因此，教师可以尝试着把生活中的“高”作为“前概念”来理解“平面图形的高”，这有助于提高教学效率。
（2）借用常识，努力排除“负迁移”。生活中，测量物体的高，需要与水平地面保持垂直。然而，在底边不是水平的情况下，学生容易受到生活经验的负迁移，画出的高与底边不垂直。怎么办？
a.引入“地心引力”，力排干扰。
小学四年级的学生已经有这样的常识，地球类似一个球体，地球上的万物被地心引力吸着，如果一个人从外太空用望远镜看地球，地球上的高楼看上去就是斜的，地面也是斜着的。但房子与房子所处的地面垂直。借用这个现象，教师可以引导学生把三角形想象成一幢房子，拿出地球，摆在三角形的一条边旁，此时三角形的底就是地面。在教学中，渗透“底就是地平面”的思想能帮助学生排除生活经验的负迁移。
b.通过旋转变化，化“斜”为“正”。
既然“底就是地平面”，那么学生在作图中也可以旋转图形，让斜着摆的底边变成正着摆，那“作高”就变得容易多了。 2.3 动态演示，理解“高”的概念本质
张奠宙教授曾经说过：“理解是技能训练获得高效率的潜在条件。”因此，在教学中要重视让学生理解高的概念本质。
（1）对比过程中理解高的本质属性。动态演示平行四边形、梯形和三角形的高，让学生分辨它们之间的联系与区别。除了让学生感受平行四边形、梯形一条边上“一点”和三角形的“顶点”的不同，也让学生去发现它们的共同点都是“一点到对边所作的垂线段”。通过对比，巧妙地将画高与画垂线相联系，以旧知理解新知，抓住高的概念本质。
（2）變化演示中点破高的特殊位置。为了让学生更直观形象地理解直角三角形直角边互为底和高，笔者尝试用微视频动态演示三角形形状的变化及高的位置的变化过程。用三根小棒和线砣，水平边为底，高线是线砣，如图5。在逐渐变成直角三角形的过程中，高逐渐与右边的直角边重合。这样的动态演示能让学生理解直角三角形的两条直角边互为底和高。
2.4 夯实基础，重视“高”的上位知识
数学教学应顺应知识的内在逻辑关系，重视并预备“作高”的上位基础知识——垂线段。“给平面图形作高”的本质是“一点到对边所作的垂线段”。因此，在学习“给平面图形作高”前，教师要先让学生能熟练地画垂线段，即过直线外一点画已知直线的垂线。除了直接可画的情况外，还可出现直线一端需延长才可画垂线段的情况。只有提供充分的变式练习，学生在操作上才能得心应手。
2.5 提炼方法，巩固“高”的作图技巧
“给平面图形作高”在操作上有比较高的要求。对于小学生来说，由于动手能力差，他们稍不留神就会出现底和高不成直角的现象。为了提高学生“作高”技能，除了加强教师的示范，还可以增加同伴间的互助演示;除了课堂上手把手的操作演示，还可以是课堂外的微视频示范。在加强演示、示范的同时，也要重视方法的提炼。
（1）提炼常规方法。三角形作高的步骤：首先是三角板直角边和三角形底边重合，概括为“重合边”;接着是三角板的另一条直角边穿过三角形的顶点，概括为“重合点”;最后是“画线、标记”。有了操作要点的提醒，在不断规范“作高”的过程中，学生最终养成良好的作图习惯。
（2）学习创新方法。不管教师在教学过程中如何示范、如何提炼方法，总有一部分学生在操作上还是有困难。对于这部分学生，还需另寻他法。如可以向学生推荐“尺板作高法”，用一块三角板辅以直尺协同作高，如图6。直尺与三角形底边重合，直尺不动，三角板的一条直角边紧贴直尺移动，直到另一条直角边到三角形底边所对的顶点，然后作高。
综上所述，通过上述教学策略的改进，学生对高的认识更深刻了，“给平面图形作高”的能力也有了较大的提升，特别是学困生，不再谈“高”色变。
【参考文献】
[1]高卫芳.四招破解三角形作高的难点[J].教苑时空·教例剖析，2013（2）.
[2]于芳.“地心引力”与三角形的高[J].小学数学教师，2014（12）.
【作者简介】
谢锋铭（1977～），汉族，浙江省杭州市人，学历：本科，职称：一级教师，研究方向：小学数学。