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【摘要】 讨论了混凝土中骨料分布模拟及界面体积百分数的计算。运用一种简单的模拟算法，分析混凝土骨料分布的边界效应。提出了混凝土界面百分数的计算方法。界面体积百分数的计算表明：在骨料体积百分数给定时，界面体积百分数随着骨料最小直径的减小而增大；在骨料最小直径给定时，界面体积百分数随着骨料体积百分数的增大而增大。
【关键词】混凝土；界面；模拟分布；体积百分数
本文应用一种简单实用的计算机模拟方法模拟边界效应下混凝土中的骨料分布，结合蒙特卡罗方法计算界面体积百分数【1】，与特殊情况下的解析解比较以验证该方法的有效性，定量分析影响界面体积百分数的各因素。通过对混凝土骨料分布模拟和界面体积百分数的计算,进一步了解混凝土的微观结构特性,为微观结构特性和宏观物理性能定量关系提供理论依据,并运用到实际领域,实现混凝土的优化设计。
骨料分布的模拟
在骨料颗粒分布的研究中,通常将混凝土中的骨料,例如砾石等假设为球体。混凝土中分布的球形骨料颗粒的尺寸可以由筛选分析获得，即各骨料级配。本文主要集中于按推测结果为密实的富勒级配进行讨论。要承认的是在实际情况下混凝土是不可能达到富勒级配的，而且骨料颗粒也不会是完美的球体。
设混凝土单元为立方体，边长a=50mm。骨料级配在模拟分布中以等体积骨料级配和富勒骨料级配，因为他们分别代表混凝土骨料级配的上，下限。两种骨料级配对应的骨料颗粒累计分布函数如下【2】
（1） 富勒骨料级配（fuller）
（1）
为最小骨料直径, 为最大骨料直径
对于二维分布，可参考如下公式：
(1-1)
其中为最小骨料直径, 为最大骨料直径；表达式如下:
,,,
,定义为:
其中E(),F()为标准椭圆积分。
(2) 等体积骨料级配（evf）
(2)
對于二维分布，可参考如下公式：
(2-1)
根据公式（1）（2），就可以得出P(d)与d 的关系曲线，见图1。从该图中可以看出，当〈〈，等体积骨料级配的P(d)值总大于富勒级骨料级配的P(d)，符合等体积骨料继配和富勒骨料级配分别代表混凝土骨料级配的上，下限。同时也表明等体积骨料级配的混凝土中含有更多的小直径骨料，在相同的骨料浓度下有更多的骨料颗粒。
图1P(d)与d关系曲线图2第i个骨料的形成
对于给定的骨料体积分数，在三维骨料分布中可以用如下方法生成符合骨料累计分布函数P(d)的球形骨料：
生成一个随机数（图2）。为区间上的随机变量；
求方程
解得（3）
得到一个直径为的球形骨料；
计算所生成的所有球形骨料的总体积
（4）
比较和，如果，停止生成骨料，并计算所生成的骨料总数;否则重复步骤（1）-（3），直到满足条件。
为了验证使用这种方法产生骨料的有效性，将mm，时分别为0.5,2.0,5.0mm的模拟结果和与公式（1）的计算结果进行比较。如图3所示（从左到右三条曲线的最小骨料直径分别为0.5mm,1.0mm,5.0mm）
图3模拟结果与公式（1）的比较
骨料生成后按如下步骤将骨料分布在正方形空间内：
按直径大小排列所生成的骨料颗粒；
确定第个骨料的球心位置。，，是区间上均匀分布的随机变量；
如果第个骨料不与前面已分布的个骨料重叠（既与已生成的各个骨料之间的球心距离大于两者之间的半径之和），则对个骨料重复步骤（1）（2），直到所有个球形骨料都分布在空间内，否则，返回步骤（2），从新产生第个球形骨料的球心坐标；
当将所有个骨料分布在该立方体空间内时，就完成了骨料分布的一次模拟。次重复（2）-（4），就可以得到次球形骨料分布的图形。
为了更直观的显示模拟结果，同时也节省模拟时间，本文将直径为5-16mm的粗骨料作为考虑对象。一般粗骨料的为35%-75%，模拟范围也在于此。以下给出富勒骨料级配下为35%和60%时圆形骨料分布图，如图4
时的骨料分布 时的去料分布
图4 骨料分布图
从图4中可以看出, =60%时的骨料分布密度明显高于=60%时的骨料分布密度。
3．界面体积百分数的计算
界面是由水泥颗粒在骨料间分布时受到骨料表面影响所形成的特殊结构，正如前文所述，界面对混凝土的混凝土诸多性能都有所影响，其中一项既为界面的体积百分比。如界面体积百分比的增加将导致混凝土弹性模量的急剧降低，而当界面体积百分比不变时，改变基体弹性模量对混凝土弹性模量改变最大。细观结构试验表明，界面的厚度与骨料直径基本无关，其数值为一般为0.02-0.05mm左右，文中以界面厚度为0.5mm进行模拟计算。当将所有骨料分布到混凝土构件中后，知道了界面厚度，只要在每个骨料做一个半径为原骨料半径加界面厚度之和的同心圆，原骨料和这些圆所围成的区域便可视为界面层。由以上骨料产生和分布可以看出，骨料是不会重叠的，但当相邻骨料的表面距离小于2倍的界面厚度时，相邻骨料的界面层将相互重叠，这使得界面百分数的计算十分困难。事实上正是因为骨料分布的随机性和相邻骨料界面层的叠加效应，使得无法真确计算界面的体积百分比。基于前面的计算机模拟，我们可以利用如下的蒙特卡罗数值积分技术计算界面的百分比。
由区间上均匀分布随机变量，和，组成N个点；
对每个点进行判断，然后统计落入界面的总点数；
根据蒙特卡罗数值积分算法，界面的体积百分比为
（5）
不难看出，上述方法的正确性与产生的随机点的个数有关,产生的点数越多,越可能分布到整个正方体空间,所得到的界面体积百分比也就越接近实际值。图5为mm，mm，mm，时界面体积百分比和模拟点数之间的关系。图中可以看出，模拟值的波动随着模拟点数的增多而减小，当N>150000时，几乎成一直线，因此在后述界面百分数计算中取点数N=150000。
图5界面体积百分比与模拟点数的关系
如上所述，由于骨料间不会相互重叠，因而骨料体积分数与骨料分布无关。但是界面有所不同，当相邻骨料表面的距离大于2倍的界面厚度时，界面将不会发生重叠，否则将会重叠。因此，界面体积百分数与骨料分布有关。从理论上讲，对于每一次骨料分布，只要模拟点数足够多，就可以获得比较准确的界面体积百分比。但是对于不同的骨料分布而言，由于骨料分布不同，相邻骨料界面的重叠情况不大一样，导致不同的界面百分比。在这种情况下将界面体积百分比定义为各次骨料分布时界面体积百分比的平均值比较合理。为此，将所形成的骨料分布k次，每次求得一个界面体积百分比，对所求得的k个界面体积百分比取平均，得到界面体积百分比的均值。取=5mm, =16mm, =50%，界面体积百分比与随机次数k的关系如图6所示。由图可以看出，随着k值的增大，界面体积百分比趋于稳定，这也证明了界面体积百分比的收敛性。
图6界面体积百分比与模拟次数的关系
4．模拟结果和分析
利用上述模拟方法，可以算出不同骨料直径和体积百分比时界面的体积百分比。计算时取界面厚度为0.05mm，=16mm，分别取5.0,2.0 ,1.0,0.5mm，对给定的最小骨料直径，界面体积百分比随骨料体积百分比的变化如图7所示。图7中，自下而上各曲线对应的分别取5.0,2.0,1.0,0.5,0.25,0.15mm。图中表示，在骨料体积百分数给定时（在同一横坐标下），界面体积百分数随着骨料最小直径的减小而增大；在骨料最小直径给定时（在同一曲线中），界面体积百分数随着骨料体积百分数的增大而增大。这种现象大致可以解释为：界面的厚度为一定值，而界面又产生于骨料表面，显然，界面体积百分比随骨料表面积的增大而增大。因此，在给定骨料体积百分比时，骨料最小直径越小，骨料的总表面积越大；在给定最小骨料直径时，骨料体积百分比越大，骨料总表面积越大。
图7不同对应的和之间的关系
由Zheng【3】提出关于界面百分数的理论公式：
（6）
式中
其中在0，2，3中被平均取值，取决与理论的准确性。
运用界面体积百分比理论公式，计算最小骨料直径分别为0.5，1.0，2.0，5.0mm时界面体积百分比随骨料百分比的变化，如图7中曲线所示。图中模拟结果和计算曲线的对比，可以得到较好的吻合，同时计算mm，mm，mm，时界面体积百分数为0.017,与图5的模拟结果相同。因此，此方法可以用来计算界面的体积分数。
5. 结论
本文通过计算机模拟技术，模拟了混凝土中骨料的分布，在其基础上，结合蒙特卡罗数值积分方法，提出了界面百分比的计算方法。模拟结果表示：界面体积百分比于混凝土的骨料体积分数和骨料直径有关。在骨料体积百分数给定时，界面体积百分数随着骨料最小直径的减小而增大；在骨料最小直径给定时，界面体积百分数随着骨料体积百分数的增大而增大。根据界面百分数的模拟结果，验证了界面体积百分比的计算公式。
注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。
【关键词】混凝土；界面；模拟分布；体积百分数
本文应用一种简单实用的计算机模拟方法模拟边界效应下混凝土中的骨料分布，结合蒙特卡罗方法计算界面体积百分数【1】，与特殊情况下的解析解比较以验证该方法的有效性，定量分析影响界面体积百分数的各因素。通过对混凝土骨料分布模拟和界面体积百分数的计算,进一步了解混凝土的微观结构特性,为微观结构特性和宏观物理性能定量关系提供理论依据,并运用到实际领域,实现混凝土的优化设计。
骨料分布的模拟
在骨料颗粒分布的研究中,通常将混凝土中的骨料,例如砾石等假设为球体。混凝土中分布的球形骨料颗粒的尺寸可以由筛选分析获得，即各骨料级配。本文主要集中于按推测结果为密实的富勒级配进行讨论。要承认的是在实际情况下混凝土是不可能达到富勒级配的，而且骨料颗粒也不会是完美的球体。
设混凝土单元为立方体，边长a=50mm。骨料级配在模拟分布中以等体积骨料级配和富勒骨料级配，因为他们分别代表混凝土骨料级配的上，下限。两种骨料级配对应的骨料颗粒累计分布函数如下【2】
（1） 富勒骨料级配（fuller）
（1）
为最小骨料直径, 为最大骨料直径
对于二维分布，可参考如下公式：
(1-1)
其中为最小骨料直径, 为最大骨料直径；表达式如下:
,,,
,定义为:
其中E(),F()为标准椭圆积分。
(2) 等体积骨料级配（evf）
(2)
對于二维分布，可参考如下公式：
(2-1)
根据公式（1）（2），就可以得出P(d)与d 的关系曲线，见图1。从该图中可以看出，当〈〈，等体积骨料级配的P(d)值总大于富勒级骨料级配的P(d)，符合等体积骨料继配和富勒骨料级配分别代表混凝土骨料级配的上，下限。同时也表明等体积骨料级配的混凝土中含有更多的小直径骨料，在相同的骨料浓度下有更多的骨料颗粒。
图1P(d)与d关系曲线图2第i个骨料的形成
对于给定的骨料体积分数，在三维骨料分布中可以用如下方法生成符合骨料累计分布函数P(d)的球形骨料：
生成一个随机数（图2）。为区间上的随机变量；
求方程
解得（3）
得到一个直径为的球形骨料；
计算所生成的所有球形骨料的总体积
（4）
比较和，如果，停止生成骨料，并计算所生成的骨料总数;否则重复步骤（1）-（3），直到满足条件。
为了验证使用这种方法产生骨料的有效性，将mm，时分别为0.5,2.0,5.0mm的模拟结果和与公式（1）的计算结果进行比较。如图3所示（从左到右三条曲线的最小骨料直径分别为0.5mm,1.0mm,5.0mm）
图3模拟结果与公式（1）的比较
骨料生成后按如下步骤将骨料分布在正方形空间内：
按直径大小排列所生成的骨料颗粒；
确定第个骨料的球心位置。，，是区间上均匀分布的随机变量；
如果第个骨料不与前面已分布的个骨料重叠（既与已生成的各个骨料之间的球心距离大于两者之间的半径之和），则对个骨料重复步骤（1）（2），直到所有个球形骨料都分布在空间内，否则，返回步骤（2），从新产生第个球形骨料的球心坐标；
当将所有个骨料分布在该立方体空间内时，就完成了骨料分布的一次模拟。次重复（2）-（4），就可以得到次球形骨料分布的图形。
为了更直观的显示模拟结果，同时也节省模拟时间，本文将直径为5-16mm的粗骨料作为考虑对象。一般粗骨料的为35%-75%，模拟范围也在于此。以下给出富勒骨料级配下为35%和60%时圆形骨料分布图，如图4
时的骨料分布 时的去料分布
图4 骨料分布图
从图4中可以看出, =60%时的骨料分布密度明显高于=60%时的骨料分布密度。
3．界面体积百分数的计算
界面是由水泥颗粒在骨料间分布时受到骨料表面影响所形成的特殊结构，正如前文所述，界面对混凝土的混凝土诸多性能都有所影响，其中一项既为界面的体积百分比。如界面体积百分比的增加将导致混凝土弹性模量的急剧降低，而当界面体积百分比不变时，改变基体弹性模量对混凝土弹性模量改变最大。细观结构试验表明，界面的厚度与骨料直径基本无关，其数值为一般为0.02-0.05mm左右，文中以界面厚度为0.5mm进行模拟计算。当将所有骨料分布到混凝土构件中后，知道了界面厚度，只要在每个骨料做一个半径为原骨料半径加界面厚度之和的同心圆，原骨料和这些圆所围成的区域便可视为界面层。由以上骨料产生和分布可以看出，骨料是不会重叠的，但当相邻骨料的表面距离小于2倍的界面厚度时，相邻骨料的界面层将相互重叠，这使得界面百分数的计算十分困难。事实上正是因为骨料分布的随机性和相邻骨料界面层的叠加效应，使得无法真确计算界面的体积百分比。基于前面的计算机模拟，我们可以利用如下的蒙特卡罗数值积分技术计算界面的百分比。
由区间上均匀分布随机变量，和，组成N个点；
对每个点进行判断，然后统计落入界面的总点数；
根据蒙特卡罗数值积分算法，界面的体积百分比为
（5）
不难看出，上述方法的正确性与产生的随机点的个数有关,产生的点数越多,越可能分布到整个正方体空间,所得到的界面体积百分比也就越接近实际值。图5为mm，mm，mm，时界面体积百分比和模拟点数之间的关系。图中可以看出，模拟值的波动随着模拟点数的增多而减小，当N>150000时，几乎成一直线，因此在后述界面百分数计算中取点数N=150000。
图5界面体积百分比与模拟点数的关系
如上所述，由于骨料间不会相互重叠，因而骨料体积分数与骨料分布无关。但是界面有所不同，当相邻骨料表面的距离大于2倍的界面厚度时，界面将不会发生重叠，否则将会重叠。因此，界面体积百分数与骨料分布有关。从理论上讲，对于每一次骨料分布，只要模拟点数足够多，就可以获得比较准确的界面体积百分比。但是对于不同的骨料分布而言，由于骨料分布不同，相邻骨料界面的重叠情况不大一样，导致不同的界面百分比。在这种情况下将界面体积百分比定义为各次骨料分布时界面体积百分比的平均值比较合理。为此，将所形成的骨料分布k次，每次求得一个界面体积百分比，对所求得的k个界面体积百分比取平均，得到界面体积百分比的均值。取=5mm, =16mm, =50%，界面体积百分比与随机次数k的关系如图6所示。由图可以看出，随着k值的增大，界面体积百分比趋于稳定，这也证明了界面体积百分比的收敛性。
图6界面体积百分比与模拟次数的关系
4．模拟结果和分析
利用上述模拟方法，可以算出不同骨料直径和体积百分比时界面的体积百分比。计算时取界面厚度为0.05mm，=16mm，分别取5.0,2.0 ,1.0,0.5mm，对给定的最小骨料直径，界面体积百分比随骨料体积百分比的变化如图7所示。图7中，自下而上各曲线对应的分别取5.0,2.0,1.0,0.5,0.25,0.15mm。图中表示，在骨料体积百分数给定时（在同一横坐标下），界面体积百分数随着骨料最小直径的减小而增大；在骨料最小直径给定时（在同一曲线中），界面体积百分数随着骨料体积百分数的增大而增大。这种现象大致可以解释为：界面的厚度为一定值，而界面又产生于骨料表面，显然，界面体积百分比随骨料表面积的增大而增大。因此，在给定骨料体积百分比时，骨料最小直径越小，骨料的总表面积越大；在给定最小骨料直径时，骨料体积百分比越大，骨料总表面积越大。
图7不同对应的和之间的关系
由Zheng【3】提出关于界面百分数的理论公式：
（6）
式中
其中在0，2，3中被平均取值，取决与理论的准确性。
运用界面体积百分比理论公式，计算最小骨料直径分别为0.5，1.0，2.0，5.0mm时界面体积百分比随骨料百分比的变化，如图7中曲线所示。图中模拟结果和计算曲线的对比，可以得到较好的吻合，同时计算mm，mm，mm，时界面体积百分数为0.017,与图5的模拟结果相同。因此，此方法可以用来计算界面的体积分数。
5. 结论
本文通过计算机模拟技术，模拟了混凝土中骨料的分布，在其基础上，结合蒙特卡罗数值积分方法，提出了界面百分比的计算方法。模拟结果表示：界面体积百分比于混凝土的骨料体积分数和骨料直径有关。在骨料体积百分数给定时，界面体积百分数随着骨料最小直径的减小而增大；在骨料最小直径给定时，界面体积百分数随着骨料体积百分数的增大而增大。根据界面百分数的模拟结果，验证了界面体积百分比的计算公式。
注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。