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康托尔(G.Cantor 1845—1918) 是德国著名的数学家,集合论(现代数学的一个分支)的创始人。他肯定了无穷数的存在,并对无穷问题进行了哲学的讨论,最终建立了较完善的集合理论,为现代数学的发展打下了坚实的基础。
尽管康托尔当初提出的数学观点,曾引起数学界保守势力的巨大争议和激烈攻击,以至于敏感脆弱的康托尔患上精神抑郁症,最终病逝于精神病院,但这并不影响康托尔是19世纪最有才气、最具创造性、最有革新精神的数学家之一的地位评价。
从下面的这则小故事中,读者就不难发现“无穷”所蕴含的奇特。
据说,在哈雷大学长期任教的康托尔经常去学校附近的一个酒吧喝啤酒,与朋友们聊聊天。有一次,他的邻居——在商店做出纳的小伙子也到酒吧喝酒,刚巧碰到康托尔教授,便坐在一起海阔天空摆起了“龙门阵”。
也许是酒精作用,也许是职业使然,兴致大发的康托尔眼珠一转话锋陡变,竟然向小伙子问起了一个数学问题:“偶数和自然数你是知道的吧?那你想过没有,这两种数中哪种数的‘个数’更多一些呢?”
“那还用说,偶数是自然数的一部分,肯定是自然数多喽!”小伙子不假思索脱口而出。
“你肯定吗?”康托尔听罢脸上露出了狡黠的笑容。
“当然。”小伙子毫不犹豫回答。
“我看未必。”康托尔说着一仰头喝光了杯中的啤酒,然后放下酒杯对着纳闷不解的小伙子继续发问,“假如有两个水果筐,一个筐中装着苹果,一个筐中装着梨,我们不知道筐中水果的个数,当然也不准清点数目,你怎么知道苹果和梨个数一样多?”
看得出康托尔早有准备。
“这简单。双手每次同时从两只筐中各取一只苹果一只梨,苹果取完时梨也正好取完,就说明两种水果的个数一样多。”小伙子的脑袋挺灵活,所用的方法也得到教授的认同。
康托尔点点头说:“从数学角度来判断,实际上就是一只苹果对应一只梨。简单地形容,就是苹果与梨形成一一对应的话,那么它们的个数就相同。是这意思吧?”
这回轮到小伙子点头了。
康托尔见火候已到,把话题转入到刚刚提及的问题:“那好,现在我们再来看偶数和自然数。自然数应该是1、2、3、4、5……如果把它们都扩大两倍,就得到了2、4、6、8、10……这不就是偶数吗?”小伙子有点糊涂了,教授却趁热打铁:“也就是说,自然数和偶数也可以建立一一对应关系,那不就说明它们的‘个数’相同吗?”
小伙子不知不觉掉落教授设置的“圈套”,他自言自语道:“好像挺有道理,也许你是对的。”
看着小伙子迷惑的眼神和表情,康托尔颇为得意地大笑起来……
教授的解释真的有道理吗?我们不妨来分析一下:在事物“有限”的前提条件下,“部分”肯定小于“全体”,这一点毫无疑问,而一旦前提发生变化,即比较的事物是无限的情况下,那么大家习以为常的结论就可能不再顺理成章地成立。比如上面采用一一对应的方法所得出的荒诞结论,即从表面上看起来,“部分”竟然等于“全体”。这里所谓的“表面上”,实则是指这种说法也不准确。那么,最科学的描述是什么呢?很简单,如果两个集合中的元素是无限的,那么这两个集合中的元素个数无法比较多少。
现在你明白了吗?“部分=全体”的荒谬结论,原来是源于“无限”的前提啊!
编辑/梁宇清
尽管康托尔当初提出的数学观点,曾引起数学界保守势力的巨大争议和激烈攻击,以至于敏感脆弱的康托尔患上精神抑郁症,最终病逝于精神病院,但这并不影响康托尔是19世纪最有才气、最具创造性、最有革新精神的数学家之一的地位评价。
从下面的这则小故事中,读者就不难发现“无穷”所蕴含的奇特。
据说,在哈雷大学长期任教的康托尔经常去学校附近的一个酒吧喝啤酒,与朋友们聊聊天。有一次,他的邻居——在商店做出纳的小伙子也到酒吧喝酒,刚巧碰到康托尔教授,便坐在一起海阔天空摆起了“龙门阵”。
也许是酒精作用,也许是职业使然,兴致大发的康托尔眼珠一转话锋陡变,竟然向小伙子问起了一个数学问题:“偶数和自然数你是知道的吧?那你想过没有,这两种数中哪种数的‘个数’更多一些呢?”
“那还用说,偶数是自然数的一部分,肯定是自然数多喽!”小伙子不假思索脱口而出。
“你肯定吗?”康托尔听罢脸上露出了狡黠的笑容。
“当然。”小伙子毫不犹豫回答。
“我看未必。”康托尔说着一仰头喝光了杯中的啤酒,然后放下酒杯对着纳闷不解的小伙子继续发问,“假如有两个水果筐,一个筐中装着苹果,一个筐中装着梨,我们不知道筐中水果的个数,当然也不准清点数目,你怎么知道苹果和梨个数一样多?”
看得出康托尔早有准备。
“这简单。双手每次同时从两只筐中各取一只苹果一只梨,苹果取完时梨也正好取完,就说明两种水果的个数一样多。”小伙子的脑袋挺灵活,所用的方法也得到教授的认同。
康托尔点点头说:“从数学角度来判断,实际上就是一只苹果对应一只梨。简单地形容,就是苹果与梨形成一一对应的话,那么它们的个数就相同。是这意思吧?”
这回轮到小伙子点头了。
康托尔见火候已到,把话题转入到刚刚提及的问题:“那好,现在我们再来看偶数和自然数。自然数应该是1、2、3、4、5……如果把它们都扩大两倍,就得到了2、4、6、8、10……这不就是偶数吗?”小伙子有点糊涂了,教授却趁热打铁:“也就是说,自然数和偶数也可以建立一一对应关系,那不就说明它们的‘个数’相同吗?”
小伙子不知不觉掉落教授设置的“圈套”,他自言自语道:“好像挺有道理,也许你是对的。”
看着小伙子迷惑的眼神和表情,康托尔颇为得意地大笑起来……
教授的解释真的有道理吗?我们不妨来分析一下:在事物“有限”的前提条件下,“部分”肯定小于“全体”,这一点毫无疑问,而一旦前提发生变化,即比较的事物是无限的情况下,那么大家习以为常的结论就可能不再顺理成章地成立。比如上面采用一一对应的方法所得出的荒诞结论,即从表面上看起来,“部分”竟然等于“全体”。这里所谓的“表面上”,实则是指这种说法也不准确。那么,最科学的描述是什么呢?很简单,如果两个集合中的元素是无限的,那么这两个集合中的元素个数无法比较多少。
现在你明白了吗?“部分=全体”的荒谬结论,原来是源于“无限”的前提啊!
编辑/梁宇清