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[摘 要] 数学拓展课在满足学生差异化和个性化发展方面能够起到重要作用。教师要注重学生动手操作，发展学生兴趣特长，调动学生学习积极性，帮助学生全面发展。通过课程内容所承载的文化内涵、生活底蕴和意义空间来延伸、拓展和发展学生的数学思维和数学素养。
[关键词] 初中数学；拓展课；立意分析
浙江省教育厅在《关于深化义务教育课程改革的指导意见》中指出：把义务教育课程分成基础性课程和拓展性课程，要求学校改变育人模式，推进因材施教，开发课程资源，帮助每一位学生全面而有个性的发展.初中数学拓展课程是指以初中课程知识为主要载体，通过课程内容所承载的文化内涵、生活底蕴和意义空间来延伸、拓展和发展学生的数学思维和数学素养.至此，深化义务教育课程改革，全面开设数学拓展性课程在各地市相继拉开序幕。
本课例是浙教版数学八上第二章特殊三角形2.4《等腰三角形的判定定理》一课中基于[探究活动]内容的一个拓展课例，遵循从教材出发开设拓展课程的原则，设计学生动手实践，通过画一画，量一量，归纳猜想，讨论研究，探索发现分割条件、分割方法、分割依据以及其他分割知识的延伸.循序渐进，由浅入深，探究将一个三角形分割成两个等腰三角形所涉及的数学知识、数学思想和数学方法.学生在“做中学”，在“学中悟”，巩固新知，开阔思路，进而达到提高学生逻辑分析能力、实践活动能力及发现创新能力等数学素养的目的。
一、《探索三角形被分割成两个等腰三角形的条件》教学设计
（一）教学目标
1.培养学生动手实践能力、积极主动的探究意识和创新发现能力；
2.学生在动手实践中学会团结协作，体验成功喜悦，从而提高学习数学的兴趣；
3.学生在活动中巩固等腰三角形性质和判定知识，掌握数学思想方法，培养数学核心素养，真正达到“学会学习”的目的。
（二）教学重难点
重点：探索能被分割成两个等腰三角形的三角形所具备的条件，并渗透分类讨论、转化、类比、方程、特殊到一般等数学思想。
难点：总结归纳得出结论及其结论的附加条件。
（三）教学过程
环节一、尝试分割，體验成功
问题1：如图1所示，在ΔABC中，已知[∠]A=50°，
当[∠]B=______°时，ΔABC是等腰三角形
由此，你可以概括等腰三角形成立的条件：____________；通过解题，你还得出讨论等腰三角形问题运用的数学思想有：_______________。
设计意图：复习等腰三角形的判定定理，并渗透分类讨论思想，为分割等腰三角形作知识储备。
问题2：如图1中，[∠]A=50°，[∠]B=70°，尝试过三角形的一个顶点将△ABC分割出一个等腰三角形，试画出分割线并标注角度。
学生通过画一画，分一分，得出以下五种裁剪方案：
设计意图：通过简单的等腰三角形分割，让学生初步体验只分割出一个等腰三角形的方法：只需满足有两个角相等的三角形便是等腰三角形并再次感受分类讨论思想的运用。
环节二、巧设梯度，适时提升
环节1中的两个问题，学生轻松攻克，有助于提高学生的学习兴趣和积极性，适时增加问题的难度，有利于激发学习斗志和启迪学生思维，进而提升学生的数学思维品质和核心素养为此，教师引入浙教版八上教材第63页中的探究活动。
问题3：如图3，有甲，乙两个三角形 甲三角形的内角分别为10°，20°，150°；乙三角形的内角分别为80°，25°，75°你能把每一个三角形分割成两个等腰三角形吗？量一量，画一画，并标出各角的度数。
（1）故设疑点：
学生在经历了问题2的解决后，开始动手分割，主要呈现了以下几种分割方法：
教师展示以上几种分割图，让学生评判是否符合要求，有学生就发现这些分割方法只有一个等腰三角形，不符合要求。由此，教师提醒：“要有大局观，不能只看局部，题意要求裁剪两个等腰三角形噢！”有些同学恍然大悟，知道自己裁剪方法不对，重新再分。
（2）正确解答：见图5。
（3）趁热打铁：
如图6，能对每一个三角形分割成两个等腰三角形吗？试一试！
话音刚落，学生就跃跃欲试，小组交流讨论。此时，教室里已经沸腾了，有激励的争论声，也有成功的笑声。最后，由小组代表上台展示如图7的分割方法：
设计意图：思维从动作开始，人的手脑有着千丝万缕的关系，学生都富有好奇心，只要为他们提供合适的素材，他们一定会乐意去参与、去探索、去思考，如果只有看而没有做，就没有让学生自主探索，发展思维了，这就不利于数学学科的学习。数学实践活动拓展课旨在让学生自己动手操作，促使他们手脑并用，在“做中学、学中悟”。
环节三、深挖细究，追根溯源
教师提问：是否所有三角形都能分成两个等腰三角形呢？如果不是，这样的三角形需具备什么条件？
问题4：如图8所示，设△ABC的两个内角的度数分别为x°、y°，当△ABC能分割成两个等腰三角形时，x、y之间需满足什么条件？
一石激起千层浪，教师抛出这个问题，引起学生激烈争论古人云：“不愤不启，不悱不发”当学生遇到困惑，或有强烈解决问题的意向时，作为教学的引导者，教师就应适时给予提示、引导，帮助学生继续学习。学生经过操作，推理，作如图9分割，若∠ABD=x°，则ΔABD为等腰三角形；要使ΔBCD为等腰三角形，则分三种情况讨论：
（1）∠DBC=∠BDC，则y-x=2x，得y=3x即3倍角关系
（2）∠DBC=∠DCB，则180-x-y=y-x，得y=90即三角形是直角三角形 （3）∠BDC=∠DCB，则180-x-y=2x， ∠C=2∠A即2倍角关系
综上所述，满足分割条件的三角形需满足的内角关系及其对应分割方法归纳如下：
①结论1：如图10-1所示，三角形两内角度数成2倍关系，分法：分第三角为其中一角等于一倍角
②结论2：如图10-2所示，三角形两内角度数成3倍关系，分法：分三倍角成一倍角和二倍角
③结论3：如图10-3所示，三角形是直角三角形时，分法：分直角等于其中一个锐角（或沿斜边中线所在直线分割）
设计意图：数学是一门专门研究数学本身内部规律的学科，所以，我们研究数学不能停留在认知的表象上，更应研究其本质，发现其内部规律同时，数学实践拓展课不仅需要学生动手操作，更需要学生通过运用所学数学知识，建立数学模型（方程、不等式、函数等），由数学运算或逻辑推理得出相应结论，进而理解数学的本质，获得系统、完整的知识结构。
环节四、大胆质疑，小心求证
问题5：在△ABC中，若∠A=36°，∠B=96°，∠C=48°，过三角形顶点能分割成两个等腰三角形吗？
思路分析：发现三角形的∠B与∠C度数成2倍关系，根据前面总结的规律，分割线应该经过第三个角∠A的顶点，但实际上，该三角形却又无法分割成两个等腰三角形，原因何在呢？
根据图11可知：△ABC中，若∠A=x，∠C=2x，∠ABC=180-3x，若要能分割出两个等腰三角形，则必须满足∠ABC>∠ABD，即180-3x>x，解得x<45°，180-3x>45°由此可知第三个角∠ABC必须大于45°才能完成分割，而问题5的∠A=36°却小于45°，不满足条件，故不能分割.为此，结论1要成立需添加条件：第三个角大于45°。
设计意图：数学是非常严谨的学科，知识严谨，解题严谨。环节三总结的规律是否天衣无缝，毫无纰漏呢？以一个具体的实例论证，引发学生的认知冲突，让学生感受“眼见不一定为实”，结论值得怀疑，从而培养学生思维的深刻性，激发学生进一步探究思考的欲望和积极性。
环节五、总结归纳，提炼结论
通过上述几个环节的讨论探究得出能被分割成两个等腰三角形的三角形应具备的条件及分割方法如下：
设计意图：从结论的探索到结论的提炼是数学思维的完善过程，也是知识结构和知识系统的完善过程。让学生深刻认识到数学問题的解决，仅仅是解决了一半，更重要的是解题后的回顾与反思。
环节六、课堂小结，分享收获
设计意图：本课通过教材中的一个[探究活动]内容，开设拓展性课程，源于教材，高于教材，又活于教材，学生容易接受，积极性高，拓宽了学生眼界，又深化了教材知识，既发展了学生思维，又培养了核心素养。
二、教学立意的进一步阐释
（一）立足教材，生发问题
教材是学生学习知识的重要载体，也是教学要求、教学目标和教学理念的集中体现，是课程资源的重要组成部分，倘若抛开教材设计课程，那么课程将成为“无米之炊”。因此，立足教材，生发问题是拓展性课程的重要依据所在.教师要能从整体上认识教材，研究教材，并用联系的观点分析教材，通过反复阅读教材并查阅有关资料，了解每个专题的编排意图、主要特点以及其中所蕴含的数学知识，从探究性、文化性、趣味性、应用性等方面入手，基于教材又超越教材，从多元的角度及观念中去思变，将教材重新激活、拓展、超越、再创造，以生成丰富、多元的课程内容，为每个学生提供充分表达自己的感受与展示才能的机会。
（二）实践操作，发展思维
苏霍姆林斯基说过：“手和脑之间有着千丝万缕的联系，手使脑得到发展，使它更加明智；脑使手得到发展，使它变成思维的工具和镜子。”手与脑的这种联系，就告诉我们在学生拓展课中利用实践操作这一特点，以“动”促“思”，以“思”引“动”，将操作与思维活动联系起来，表面上是在玩操作，其实玩的是数学计算与严密推理等，通过实践操作形式最终提升学生的思维。例如本课例通过学生动手实践，想一想，画一画，分一分，算一算，从简单到复杂，从浅显到深入，从特殊到一般，从表象到实质，逐步将学生的思维活动推向高潮。这样，让学生在操作中发现、思索、领悟、概括，促使学生参与学习，既提高学生的参与热情，又促进了思维的发展。
（三）思想方法，渗透无形
数学拓展课教学也为概括和提炼数学思想方法提供了极好的机会，学会数学思想方法是数学教育的重要内涵之一。数学思想方法也是数学课堂的灵魂，学生在活动中通过重复操作积累经验，获得方法。离开数学活动过程，思想方法教学就无从谈起。只有组织学生积极参与数学活动过程，通过对数学概念的抽象、概括，通过对解题思路的分析、归纳，才能使学生体验到数学知识得以产生的基础，以及获得这一知识的程度与技巧，逐步领悟并最终形成数学思想方法。本课例旨在通过实践操作，引导学生建立数学模型，完善思维认知，渗透分类、转化、类比、方程、特殊到一般等数学思想。
（四）学生主体，唱响主角
数学拓展课教学，更关注转变教师角色，突出学生的主体地位.学生是学习的主体，是活动的主体，拓展课学习要求教师把学习的主动权和个性发展权还给学生，让学生唱主角.教师要由知识的传授者转变为活动的组织者、指导者和参与者。教师要更多地关注活动目标的导向、动机的激发、情景的创设、方法的指导、疑难的解答等。反之，如果教师限制得过多，将失去其拓展课价值。本课例教师始终将主动权让位于学生，从始至终，学生没有停止实践操作、探索交流、归纳思考。
总之，数学拓展性课程作为基础教育的补充，在发展和完善人的思维、形成人们认识世界的态度和方法、满足差异化和个性化的发展等方面起着重要的作用。同时《数学课程标准》（实验稿）也提出：“实践活动是培养学生进行主动探索与合作交流的重要途径。”开设数学拓展课时，教师要注重学生动手操作，注重数学逻辑推理，注重数学方法的提炼概括，真正着眼于发展学生的兴趣特长，调动每一位学生的学习积极性，满足学生个性化需求，这也是我们开发数学拓展性课程的终极目标。
[参 考 文 献]
[1]许芬英.浙江省中小学学科教学建议案例解读[M].杭州：浙江教育出版社，2015.
[2]张国定.数学文化从幕后到前台[J].中国数学教育，2016（1）.
（责任编辑：张华伟）
[关键词] 初中数学；拓展课；立意分析
浙江省教育厅在《关于深化义务教育课程改革的指导意见》中指出：把义务教育课程分成基础性课程和拓展性课程，要求学校改变育人模式，推进因材施教，开发课程资源，帮助每一位学生全面而有个性的发展.初中数学拓展课程是指以初中课程知识为主要载体，通过课程内容所承载的文化内涵、生活底蕴和意义空间来延伸、拓展和发展学生的数学思维和数学素养.至此，深化义务教育课程改革，全面开设数学拓展性课程在各地市相继拉开序幕。
本课例是浙教版数学八上第二章特殊三角形2.4《等腰三角形的判定定理》一课中基于[探究活动]内容的一个拓展课例，遵循从教材出发开设拓展课程的原则，设计学生动手实践，通过画一画，量一量，归纳猜想，讨论研究，探索发现分割条件、分割方法、分割依据以及其他分割知识的延伸.循序渐进，由浅入深，探究将一个三角形分割成两个等腰三角形所涉及的数学知识、数学思想和数学方法.学生在“做中学”，在“学中悟”，巩固新知，开阔思路，进而达到提高学生逻辑分析能力、实践活动能力及发现创新能力等数学素养的目的。
一、《探索三角形被分割成两个等腰三角形的条件》教学设计
（一）教学目标
1.培养学生动手实践能力、积极主动的探究意识和创新发现能力；
2.学生在动手实践中学会团结协作，体验成功喜悦，从而提高学习数学的兴趣；
3.学生在活动中巩固等腰三角形性质和判定知识，掌握数学思想方法，培养数学核心素养，真正达到“学会学习”的目的。
（二）教学重难点
重点：探索能被分割成两个等腰三角形的三角形所具备的条件，并渗透分类讨论、转化、类比、方程、特殊到一般等数学思想。
难点：总结归纳得出结论及其结论的附加条件。
（三）教学过程
环节一、尝试分割，體验成功
问题1：如图1所示，在ΔABC中，已知[∠]A=50°，
当[∠]B=______°时，ΔABC是等腰三角形
由此，你可以概括等腰三角形成立的条件：____________；通过解题，你还得出讨论等腰三角形问题运用的数学思想有：_______________。
设计意图：复习等腰三角形的判定定理，并渗透分类讨论思想，为分割等腰三角形作知识储备。
问题2：如图1中，[∠]A=50°，[∠]B=70°，尝试过三角形的一个顶点将△ABC分割出一个等腰三角形，试画出分割线并标注角度。
学生通过画一画，分一分，得出以下五种裁剪方案：
设计意图：通过简单的等腰三角形分割，让学生初步体验只分割出一个等腰三角形的方法：只需满足有两个角相等的三角形便是等腰三角形并再次感受分类讨论思想的运用。
环节二、巧设梯度，适时提升
环节1中的两个问题，学生轻松攻克，有助于提高学生的学习兴趣和积极性，适时增加问题的难度，有利于激发学习斗志和启迪学生思维，进而提升学生的数学思维品质和核心素养为此，教师引入浙教版八上教材第63页中的探究活动。
问题3：如图3，有甲，乙两个三角形 甲三角形的内角分别为10°，20°，150°；乙三角形的内角分别为80°，25°，75°你能把每一个三角形分割成两个等腰三角形吗？量一量，画一画，并标出各角的度数。
（1）故设疑点：
学生在经历了问题2的解决后，开始动手分割，主要呈现了以下几种分割方法：
教师展示以上几种分割图，让学生评判是否符合要求，有学生就发现这些分割方法只有一个等腰三角形，不符合要求。由此，教师提醒：“要有大局观，不能只看局部，题意要求裁剪两个等腰三角形噢！”有些同学恍然大悟，知道自己裁剪方法不对，重新再分。
（2）正确解答：见图5。
（3）趁热打铁：
如图6，能对每一个三角形分割成两个等腰三角形吗？试一试！
话音刚落，学生就跃跃欲试，小组交流讨论。此时，教室里已经沸腾了，有激励的争论声，也有成功的笑声。最后，由小组代表上台展示如图7的分割方法：
设计意图：思维从动作开始，人的手脑有着千丝万缕的关系，学生都富有好奇心，只要为他们提供合适的素材，他们一定会乐意去参与、去探索、去思考，如果只有看而没有做，就没有让学生自主探索，发展思维了，这就不利于数学学科的学习。数学实践活动拓展课旨在让学生自己动手操作，促使他们手脑并用，在“做中学、学中悟”。
环节三、深挖细究，追根溯源
教师提问：是否所有三角形都能分成两个等腰三角形呢？如果不是，这样的三角形需具备什么条件？
问题4：如图8所示，设△ABC的两个内角的度数分别为x°、y°，当△ABC能分割成两个等腰三角形时，x、y之间需满足什么条件？
一石激起千层浪，教师抛出这个问题，引起学生激烈争论古人云：“不愤不启，不悱不发”当学生遇到困惑，或有强烈解决问题的意向时，作为教学的引导者，教师就应适时给予提示、引导，帮助学生继续学习。学生经过操作，推理，作如图9分割，若∠ABD=x°，则ΔABD为等腰三角形；要使ΔBCD为等腰三角形，则分三种情况讨论：
（1）∠DBC=∠BDC，则y-x=2x，得y=3x即3倍角关系
（2）∠DBC=∠DCB，则180-x-y=y-x，得y=90即三角形是直角三角形 （3）∠BDC=∠DCB，则180-x-y=2x， ∠C=2∠A即2倍角关系
综上所述，满足分割条件的三角形需满足的内角关系及其对应分割方法归纳如下：
①结论1：如图10-1所示，三角形两内角度数成2倍关系，分法：分第三角为其中一角等于一倍角
②结论2：如图10-2所示，三角形两内角度数成3倍关系，分法：分三倍角成一倍角和二倍角
③结论3：如图10-3所示，三角形是直角三角形时，分法：分直角等于其中一个锐角（或沿斜边中线所在直线分割）
设计意图：数学是一门专门研究数学本身内部规律的学科，所以，我们研究数学不能停留在认知的表象上，更应研究其本质，发现其内部规律同时，数学实践拓展课不仅需要学生动手操作，更需要学生通过运用所学数学知识，建立数学模型（方程、不等式、函数等），由数学运算或逻辑推理得出相应结论，进而理解数学的本质，获得系统、完整的知识结构。
环节四、大胆质疑，小心求证
问题5：在△ABC中，若∠A=36°，∠B=96°，∠C=48°，过三角形顶点能分割成两个等腰三角形吗？
思路分析：发现三角形的∠B与∠C度数成2倍关系，根据前面总结的规律，分割线应该经过第三个角∠A的顶点，但实际上，该三角形却又无法分割成两个等腰三角形，原因何在呢？
根据图11可知：△ABC中，若∠A=x，∠C=2x，∠ABC=180-3x，若要能分割出两个等腰三角形，则必须满足∠ABC>∠ABD，即180-3x>x，解得x<45°，180-3x>45°由此可知第三个角∠ABC必须大于45°才能完成分割，而问题5的∠A=36°却小于45°，不满足条件，故不能分割.为此，结论1要成立需添加条件：第三个角大于45°。
设计意图：数学是非常严谨的学科，知识严谨，解题严谨。环节三总结的规律是否天衣无缝，毫无纰漏呢？以一个具体的实例论证，引发学生的认知冲突，让学生感受“眼见不一定为实”，结论值得怀疑，从而培养学生思维的深刻性，激发学生进一步探究思考的欲望和积极性。
环节五、总结归纳，提炼结论
通过上述几个环节的讨论探究得出能被分割成两个等腰三角形的三角形应具备的条件及分割方法如下：
设计意图：从结论的探索到结论的提炼是数学思维的完善过程，也是知识结构和知识系统的完善过程。让学生深刻认识到数学問题的解决，仅仅是解决了一半，更重要的是解题后的回顾与反思。
环节六、课堂小结，分享收获
设计意图：本课通过教材中的一个[探究活动]内容，开设拓展性课程，源于教材，高于教材，又活于教材，学生容易接受，积极性高，拓宽了学生眼界，又深化了教材知识，既发展了学生思维，又培养了核心素养。
二、教学立意的进一步阐释
（一）立足教材，生发问题
教材是学生学习知识的重要载体，也是教学要求、教学目标和教学理念的集中体现，是课程资源的重要组成部分，倘若抛开教材设计课程，那么课程将成为“无米之炊”。因此，立足教材，生发问题是拓展性课程的重要依据所在.教师要能从整体上认识教材，研究教材，并用联系的观点分析教材，通过反复阅读教材并查阅有关资料，了解每个专题的编排意图、主要特点以及其中所蕴含的数学知识，从探究性、文化性、趣味性、应用性等方面入手，基于教材又超越教材，从多元的角度及观念中去思变，将教材重新激活、拓展、超越、再创造，以生成丰富、多元的课程内容，为每个学生提供充分表达自己的感受与展示才能的机会。
（二）实践操作，发展思维
苏霍姆林斯基说过：“手和脑之间有着千丝万缕的联系，手使脑得到发展，使它更加明智；脑使手得到发展，使它变成思维的工具和镜子。”手与脑的这种联系，就告诉我们在学生拓展课中利用实践操作这一特点，以“动”促“思”，以“思”引“动”，将操作与思维活动联系起来，表面上是在玩操作，其实玩的是数学计算与严密推理等，通过实践操作形式最终提升学生的思维。例如本课例通过学生动手实践，想一想，画一画，分一分，算一算，从简单到复杂，从浅显到深入，从特殊到一般，从表象到实质，逐步将学生的思维活动推向高潮。这样，让学生在操作中发现、思索、领悟、概括，促使学生参与学习，既提高学生的参与热情，又促进了思维的发展。
（三）思想方法，渗透无形
数学拓展课教学也为概括和提炼数学思想方法提供了极好的机会，学会数学思想方法是数学教育的重要内涵之一。数学思想方法也是数学课堂的灵魂，学生在活动中通过重复操作积累经验，获得方法。离开数学活动过程，思想方法教学就无从谈起。只有组织学生积极参与数学活动过程，通过对数学概念的抽象、概括，通过对解题思路的分析、归纳，才能使学生体验到数学知识得以产生的基础，以及获得这一知识的程度与技巧，逐步领悟并最终形成数学思想方法。本课例旨在通过实践操作，引导学生建立数学模型，完善思维认知，渗透分类、转化、类比、方程、特殊到一般等数学思想。
（四）学生主体，唱响主角
数学拓展课教学，更关注转变教师角色，突出学生的主体地位.学生是学习的主体，是活动的主体，拓展课学习要求教师把学习的主动权和个性发展权还给学生，让学生唱主角.教师要由知识的传授者转变为活动的组织者、指导者和参与者。教师要更多地关注活动目标的导向、动机的激发、情景的创设、方法的指导、疑难的解答等。反之，如果教师限制得过多，将失去其拓展课价值。本课例教师始终将主动权让位于学生，从始至终，学生没有停止实践操作、探索交流、归纳思考。
总之，数学拓展性课程作为基础教育的补充，在发展和完善人的思维、形成人们认识世界的态度和方法、满足差异化和个性化的发展等方面起着重要的作用。同时《数学课程标准》（实验稿）也提出：“实践活动是培养学生进行主动探索与合作交流的重要途径。”开设数学拓展课时，教师要注重学生动手操作，注重数学逻辑推理，注重数学方法的提炼概括，真正着眼于发展学生的兴趣特长，调动每一位学生的学习积极性，满足学生个性化需求，这也是我们开发数学拓展性课程的终极目标。
[参 考 文 献]
[1]许芬英.浙江省中小学学科教学建议案例解读[M].杭州：浙江教育出版社，2015.
[2]张国定.数学文化从幕后到前台[J].中国数学教育，2016（1）.
（责任编辑：张华伟）