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笔者近日拜读了王云峰老师的《浅谈动曲线过定点问题》一文。文章中所采用的“特殊到一般”的数学思想将解析几何中繁难的动曲线过定点问题简化为猜想证明，从而快速解决问题。笔者经过反复研读，认为这种解题思想大有触类旁通的作用，再联想以往教学中出现的几个典型问题，来浅谈一下“抛物线中一类过定点问题”。
先来看一个经典的问题：
问题1：O是直角笔者近日拜读了王云峰老师的《浅谈动曲线过定点问题》一文。文章中所采用的“特殊到一般”的数学思想将解析几何中繁难的动曲线过定点问题简化为猜想证明，从而快速解决问题。笔者经过反复研读，认为这种解题思想大有触类旁通的作用，再联想以往教学中出现的几个典型问题，来浅谈一下“抛物线中一类过定点问题”。
先来看一个经典的问题：
问题1：O是直角坐标原点，A、B是抛物线y2=2px（p>0）上不同两点，且OA⊥OB，求证：動直线AB过定点。
我们先找到定点的位置，然后再验证。设直线OA、OB的斜率分别为k1、k2。
①当k1→+∞时，则k2→0（k1· k2=-1），此时点A趋于原点O，点B趋于无穷远处，直线AB的极限位置就是x轴（也可由对称性得出），这样我们有理由认为定点就在x轴上；② 取直线OA的斜率k1=1，则直线OB的斜率k2=-1，此时直线AB的方程为x=2p。这样可以猜测直线AB所过定点为M（2p，0）。下面再来验证。
将直线OA的方程y=k1x与抛物线y2=2px联立易得，
，
同理
∴与共线，即直线AB过定点为M（2p，0）。
探究：问题1中的条件OA⊥OB是从斜率角度考虑（k1k2=-1），那么如改成k1k2=1，其他它条件不变，直线AB是否也过定点呢？我们可取k1=k2=1，此时直线AB就是在点（2p，2p）处的切线，对抛物线方程y2=2px求导得：，所以切线斜率为，切线方程为：，令y=0得x=-2p，
此时猜测直线AB过定点M（-2p，0），（验证同上略）。
条件直线OA和OB的斜率之积是特定的常数，那么我们大胆的猜想“当OA和OB的斜率之积是任意的常数时，直线AB也过x轴上一个定点”。
问题2.：A、B是抛物线y2=2px上不同两点，O是抛物线的顶点，直线OA、OB的斜率分别为k1、k2，当k1·k2=λ（不为零的常数）时，直线AB是否过定点。
可取k1=1、k2=λ，由问题1可知A（2p，2p）、，
此时，
直线AB的方程为
令y=0得：，猜测直线AB过定点。验证如下：
，
同理
∴与共线，即直线AB过定点为。
上面问题是把抛物线上的定点放在特殊位置——坐标原点，那么我们猜测抛物线上任意一定点是否也有此类特性呢？这样提出以下问题。
问题3：A、B是抛物线y2=2px上不同两点，P是抛物线上的定点，直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，当k1·k2=λ（不为零的常数）时，直线AB是否过定点。
我们仍用上面的思考方法进行探究，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）
当k1→+∞时，则k2→0（k1·k2=λ），
此时点A趋于点P′（x0，-y0），点B趋于无穷远处，
此时AB的极限位置就是y=-y0轴，这样我们有理由认
为直线AB如过定点，那么就该在直线y=-y0上。然后再取一组特殊位置（比如k1=1，k2=λ）就可以确定定点位置，但也可以验证动直线与直线y=-y0的交点横坐标是否是一个定值。将直线PA的方程y-y0=k1（x-x0）与抛物线y2=2px联立得：。
由韦达定理得：
，
同理。
，
∴直线AB的方程为，令y=-y0得：
故直线AB是否过定点
经过对问题3的探究得到结论“A、B是抛物线y2=2px上不同两点，P（x0，y0）是抛物线上的定点，直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，当k1·k2=λ（不为零的常数）时，直线AB过定点”。
上述在探究问题的过程中，我尝试运用的《浅谈动曲线过定点问题》一文的思想方法，沿着“特殊到一般”的思考路径，寻求问题的关键点，最终使问题得到解决。坐标原点，A、B是抛物线y2=2px（p>0）上不同两点，且OA⊥OB，求证：动直线AB过定点。
我们先找到定点的位置，然后再验证。设直线OA、OB的斜率分别为k1、k2。
①当k1→+∞时，则k2→0（k1· k2=-1），此时点A趋于原点O，点B趋于无穷远处，直线AB的极限位置就是x轴（也可由对称性得出），这样我们有理由认为定点就在x轴上；② 取直线OA的斜率k1=1，则直线OB的斜率k2=-1，此时直线AB的方程为x=2p。这样可以猜测直线AB所过定点为M（2p，0）。下面再来验证。
将直线OA的方程y=k1x与抛物线y2=2px联立易得，
，
同理
∴与共线，即直线AB过定点为M（2p，0）。
探究：问题1中的条件OA⊥OB是从斜率角度考虑（k1k2=-1），那么如改成k1k2=1，其他它条件不变，直线AB是否也过定点呢？我们可取k1=k2=1，此时直线AB就是在点（2p，2p）处的切线，对抛物线方程y2=2px求导得：，所以切线斜率为，切线方程为：，令y=0得x=-2p，
此时猜测直线AB过定点M（-2p，0），（验证同上略）。
条件直线OA和OB的斜率之积是特定的常数，那么我们大胆的猜想“当OA和OB的斜率之积是任意的常数时，直线AB也过x轴上一个定点”。
问题2.：A、B是抛物线y2=2px上不同两点，O是抛物线的顶点，直线OA、OB的斜率分别为k1、k2，当k1·k2=λ（不为零的常数）时，直线AB是否过定点。
可取k1=1、k2=λ，由问题1可知A（2p，2p）、，
此时，
直线AB的方程为
令y=0得：，猜测直线AB过定点。验证如下：
，
同理
∴与共线，即直线AB过定点为。
上面问题是把抛物线上的定点放在特殊位置——坐标原点，那么我们猜测抛物线上任意一定点是否也有此类特性呢？这样提出以下问题。
问题3：A、B是抛物线y2=2px上不同两点，P是抛物线上的定点，直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，当k1·k2=λ（不为零的常数）时，直线AB是否过定点。
我们仍用上面的思考方法进行探究，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）
当k1→+∞时，则k2→0（k1·k2=λ），
此時点A趋于点P′（x0，-y0），点B趋于无穷远处，
此时AB的极限位置就是y=-y0轴，这样我们有理由认
为直线AB如过定点，那么就该在直线y=-y0上。然后再取一组特殊位置（比如k1=1，k2=λ）就可以确定定点位置，但也可以验证动直线与直线y=-y0的交点横坐标是否是一个定值。将直线PA的方程y-y0=k1（x-x0）与抛物线y2=2px联立得：。
由韦达定理得：
，
同理。
，
∴直线AB的方程为，令y=-y0得：
故直线AB是否过定点
经过对问题3的探究得到结论“A、B是抛物线y2=2px上不同两点，P（x0，y0）是抛物线上的定点，直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，当k1·k2=λ（不为零的常数）时，直线AB过定点”。
上述在探究问题的过程中，我尝试运用的《浅谈动曲线过定点问题》一文的思想方法，沿着“特殊到一般”的思考路径，寻求问题的关键点，最终使问题得到解决。
先来看一个经典的问题：
问题1：O是直角笔者近日拜读了王云峰老师的《浅谈动曲线过定点问题》一文。文章中所采用的“特殊到一般”的数学思想将解析几何中繁难的动曲线过定点问题简化为猜想证明，从而快速解决问题。笔者经过反复研读，认为这种解题思想大有触类旁通的作用，再联想以往教学中出现的几个典型问题，来浅谈一下“抛物线中一类过定点问题”。
先来看一个经典的问题：
问题1：O是直角坐标原点，A、B是抛物线y2=2px（p>0）上不同两点，且OA⊥OB，求证：動直线AB过定点。
我们先找到定点的位置，然后再验证。设直线OA、OB的斜率分别为k1、k2。
①当k1→+∞时，则k2→0（k1· k2=-1），此时点A趋于原点O，点B趋于无穷远处，直线AB的极限位置就是x轴（也可由对称性得出），这样我们有理由认为定点就在x轴上；② 取直线OA的斜率k1=1，则直线OB的斜率k2=-1，此时直线AB的方程为x=2p。这样可以猜测直线AB所过定点为M（2p，0）。下面再来验证。
将直线OA的方程y=k1x与抛物线y2=2px联立易得，
，
同理
∴与共线，即直线AB过定点为M（2p，0）。
探究：问题1中的条件OA⊥OB是从斜率角度考虑（k1k2=-1），那么如改成k1k2=1，其他它条件不变，直线AB是否也过定点呢？我们可取k1=k2=1，此时直线AB就是在点（2p，2p）处的切线，对抛物线方程y2=2px求导得：，所以切线斜率为，切线方程为：，令y=0得x=-2p，
此时猜测直线AB过定点M（-2p，0），（验证同上略）。
条件直线OA和OB的斜率之积是特定的常数，那么我们大胆的猜想“当OA和OB的斜率之积是任意的常数时，直线AB也过x轴上一个定点”。
问题2.：A、B是抛物线y2=2px上不同两点，O是抛物线的顶点，直线OA、OB的斜率分别为k1、k2，当k1·k2=λ（不为零的常数）时，直线AB是否过定点。
可取k1=1、k2=λ，由问题1可知A（2p，2p）、，
此时，
直线AB的方程为
令y=0得：，猜测直线AB过定点。验证如下：
，
同理
∴与共线，即直线AB过定点为。
上面问题是把抛物线上的定点放在特殊位置——坐标原点，那么我们猜测抛物线上任意一定点是否也有此类特性呢？这样提出以下问题。
问题3：A、B是抛物线y2=2px上不同两点，P是抛物线上的定点，直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，当k1·k2=λ（不为零的常数）时，直线AB是否过定点。
我们仍用上面的思考方法进行探究，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）
当k1→+∞时，则k2→0（k1·k2=λ），
此时点A趋于点P′（x0，-y0），点B趋于无穷远处，
此时AB的极限位置就是y=-y0轴，这样我们有理由认
为直线AB如过定点，那么就该在直线y=-y0上。然后再取一组特殊位置（比如k1=1，k2=λ）就可以确定定点位置，但也可以验证动直线与直线y=-y0的交点横坐标是否是一个定值。将直线PA的方程y-y0=k1（x-x0）与抛物线y2=2px联立得：。
由韦达定理得：
，
同理。
，
∴直线AB的方程为，令y=-y0得：
故直线AB是否过定点
经过对问题3的探究得到结论“A、B是抛物线y2=2px上不同两点，P（x0，y0）是抛物线上的定点，直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，当k1·k2=λ（不为零的常数）时，直线AB过定点”。
上述在探究问题的过程中，我尝试运用的《浅谈动曲线过定点问题》一文的思想方法，沿着“特殊到一般”的思考路径，寻求问题的关键点，最终使问题得到解决。坐标原点，A、B是抛物线y2=2px（p>0）上不同两点，且OA⊥OB，求证：动直线AB过定点。
我们先找到定点的位置，然后再验证。设直线OA、OB的斜率分别为k1、k2。
①当k1→+∞时，则k2→0（k1· k2=-1），此时点A趋于原点O，点B趋于无穷远处，直线AB的极限位置就是x轴（也可由对称性得出），这样我们有理由认为定点就在x轴上；② 取直线OA的斜率k1=1，则直线OB的斜率k2=-1，此时直线AB的方程为x=2p。这样可以猜测直线AB所过定点为M（2p，0）。下面再来验证。
将直线OA的方程y=k1x与抛物线y2=2px联立易得，
，
同理
∴与共线，即直线AB过定点为M（2p，0）。
探究：问题1中的条件OA⊥OB是从斜率角度考虑（k1k2=-1），那么如改成k1k2=1，其他它条件不变，直线AB是否也过定点呢？我们可取k1=k2=1，此时直线AB就是在点（2p，2p）处的切线，对抛物线方程y2=2px求导得：，所以切线斜率为，切线方程为：，令y=0得x=-2p，
此时猜测直线AB过定点M（-2p，0），（验证同上略）。
条件直线OA和OB的斜率之积是特定的常数，那么我们大胆的猜想“当OA和OB的斜率之积是任意的常数时，直线AB也过x轴上一个定点”。
问题2.：A、B是抛物线y2=2px上不同两点，O是抛物线的顶点，直线OA、OB的斜率分别为k1、k2，当k1·k2=λ（不为零的常数）时，直线AB是否过定点。
可取k1=1、k2=λ，由问题1可知A（2p，2p）、，
此时，
直线AB的方程为
令y=0得：，猜测直线AB过定点。验证如下：
，
同理
∴与共线，即直线AB过定点为。
上面问题是把抛物线上的定点放在特殊位置——坐标原点，那么我们猜测抛物线上任意一定点是否也有此类特性呢？这样提出以下问题。
问题3：A、B是抛物线y2=2px上不同两点，P是抛物线上的定点，直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，当k1·k2=λ（不为零的常数）时，直线AB是否过定点。
我们仍用上面的思考方法进行探究，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）
当k1→+∞时，则k2→0（k1·k2=λ），
此時点A趋于点P′（x0，-y0），点B趋于无穷远处，
此时AB的极限位置就是y=-y0轴，这样我们有理由认
为直线AB如过定点，那么就该在直线y=-y0上。然后再取一组特殊位置（比如k1=1，k2=λ）就可以确定定点位置，但也可以验证动直线与直线y=-y0的交点横坐标是否是一个定值。将直线PA的方程y-y0=k1（x-x0）与抛物线y2=2px联立得：。
由韦达定理得：
，
同理。
，
∴直线AB的方程为，令y=-y0得：
故直线AB是否过定点
经过对问题3的探究得到结论“A、B是抛物线y2=2px上不同两点，P（x0，y0）是抛物线上的定点，直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，当k1·k2=λ（不为零的常数）时，直线AB过定点”。
上述在探究问题的过程中，我尝试运用的《浅谈动曲线过定点问题》一文的思想方法，沿着“特殊到一般”的思考路径，寻求问题的关键点，最终使问题得到解决。