摘要：数学作为一门抽象化学科，以形象思维为主的几何，具有较强的直观效果，初中几何证题法千变万化，考虑的角度不同，所添加的辅助线也不相同，因此所选的证明方法也不相同，当然书写过程也截然不同。下面以一个几何证明题来与大家共同分享。
　　关键词：几何证题法；辅助线；一题多解
　　学生练习中有很多值得特别研究的几何证明题，通过添加不同辅助线而采用不同的方法来解答，这对于学生来说，可以提高他们学习几何的积极性，增强其形象直观的观察能力。下面以此题以飨读者。
　　例题：已知：平行四边形ABCD，∠ADF=45°，∠N=∠ACD，AG⊥CD，AD⊥AC
　　求证：AC=CB+AN
　　第一种：过点A作AY⊥DF交CD于点H
　　∵四边形ABCD是平行四边形
　　∴AD∥CB
　　∵∠DAC=90°，∠ADF=45°
　　∴AD=AE=CB
　　∠DYH=90°，∠AGH=90°
　　∴∠YDH+∠DHY=90°
　　∠GAH+∠DHY=90°
　　∴∠HDY=∠GAH
　　∵∠ADY=∠EAY=45°
　　∴∠ADY+∠HDY=∠EAY+∠GAH
　　∠HDY=∠MAE
　　∵∠AYE=90°
　　∴∠EAY=∠DAH=45°
　　在△DAH和△AEM中
　　{∠ADH=∠EAM AD=EA ∠DAH=∠AEM}
　　∴△DAH≌△AEM（ASA）
　　∴AH=ME
　　在△NEM和△CAH中
　　{∠N=∠ACH ∠NEM=∠CAH ME=HA}
　　∴△NEM≌△CAH（AAS）
　　∴NE=CA ∵AN+AE=CE+AE ∴AN=CE
　　∵AC=AE+CE
　　∴AC=CB+AN
　　第二种：过点A作AY⊥DF，交CD于点H，在连接HE
　　∵四边形ABCD是平行四边形
　　∴AD=CB
　　∵AD⊥AC，∠ADE=45°
　　∴AD=AE=CB
　　∵AH⊥DF，∠AED=∠EAY=45°
　　∴AY=YE
　　∵∠YDA=∠DAY=45° ∴YD=YA=YE
　　∵∠DYH=90° ∠AGH=90°
　　∴∠YDH+∠DHY=90° ∠GAH+∠DHY=90°
　　∴∠HDY=∠GAH
　　∵∠DAH=∠EAH=45°
　　∴DH=EH ∠HDY=∠HEY=∠GAH
　　∴∠HAE+∠GAH=∠AEY+∠HED
　　∠MAE=∠HEA
　　在△MAE和△HEA中
　　{∠MAE=∠HEA AE=EA ∠MEA=∠HAE}
　　∴△MAE≌△HEA（ASA）
　　∴ME=AH
　　在△NME和△CHA中
　　{∠N=∠ACH ∠NEM=∠CAH ME=HA}
　　∴△NME≌△CHA（AAS）
　　∴NE=AC
　　∵AN+AE=CE+AE
　　∴AN=CE
　　∵AC=AE+CE
　　∴AC=CB+AN
　　第三種：解：延长CN至点H，使AC=AH，连接HD，过点D作DR⊥NM，过点N作IN⊥HD
　　∵四边形ABCD是平行四边形
　　∴AD平行且等于CB
　　∵AD⊥AC ∠ADE=45°
　　∴AD=AE=CB
　　△HAD≌△CAD（SAS）∴∠H=∠ACD=∠MNE∴HD∥NM
　　∵IN⊥NM DK⊥NM∴四边形INKD是矩形
　　所以IN平行且等于DK∵AD⊥AC AG⊥CD
　　∴∠ACD+∠ADC=∠DAG+∠ADC=90°∴∠DAG=ADC=∠ANM=∠H∵∠NKD=∠DAH=90°
　　∠DYK=∠AYN ∴∠ADK=∠MNE=∠ACD
　　∵∠AED=∠CEF=45°∵∠CDE+∠ACD=45°∴∠CDE=∠MDK
　　在△DKM和△DGM中
　　{∠KDM=∠GDM ∠DKM=∠DGM DM=DM}∴△DKM=△DGM（AAS）∴DG=DK=IN
　　在Rt△HIN和Rt△AGD中
　　{∠H=∠DAG ∠HIN=∠AGD IN=GD}
　　∴△HIN≌△AGD（AAS）∴HN=AD=AE=CB
　　∵AH=AC
　　AC=AE+CE AH=AN+HN
　　∴AC=CB+AN
　　第四种：解：延长CN至点H，使HN=CB，连接HD作DR⊥MN，IN⊥HD
　　∵△DKM≌△DGM（AAS）
　　∴DG=DK=IN
　　∵∠DKN=∠DIN=∠90° ∴四边形INKD为矩形 ∴HD∥NM ∴∠H=∠ANM=∠ACD
　　在△HAD和△CAD中
　　{∠H=∠ACD ∠HAD=∠CAD AD=AD}
　　∴△HAD≌△CAD（AAS）∴AH=AC
　　∵AH=HN+AN HN=CB ∴AC=CB+AN
　　当然这个题目还有另外的证明方法，比如分别过AC作平行线也能解答，等等，这里就不一一列举。
　　参考文献：
　　[1] 栗竹林。几何系列题研究及证法M 沈阳：东北工学院出版社，1988
　　[2] 王家铧 沈文选等。几何课程研究M 北京：科学出版社，2006
　　（作者单位：重庆市武隆区平桥中学校）