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[摘要]:数学思想体系是数学知识结构的基础和核心。在数学教学过程中，理所当然地应该给予数学思想的教学以重要的甚至核心的地位。笔者结合实际教学，就复数教学过程中如何做到数学思想的应用，提出了自己的一些看法和建议。
[关键词]:复数教学 数学思想 应用
一、前言
教学过程是一种特殊的认知过程，通过数学教学，学生掌握了数学思想，会有利于完善和发展认知结构，有利于开发智力和发展数学能力，也能促进数学观念的形成，为此，本文将探索“复数教学如何突出数学思想”的问题。
基本数学思想是高度概括得到的，它们的概括性是有层次之分的，中学数学教材中最高层次的基本数学思想是：“公理化思想”、“结构思想”和“集合对应思想”。因此，笔者认为，复数教学突出数学思想可归结为突出“公理化思想”、“结构思想”和“集合对应思想”。
数学思想体系是数学知识结构的基础和核心，于是，在数学教学过程中，理所当然地应该给予数学思想的教学以重要的甚至核心的地位，笔者认为，对复数全章的教学应采取科学的的教学方法，以达到突出数学思想的目的。
二、数学思想在复数教学中的应用
1.通读掌握
通读掌握，是指通读复数全章内容并掌握全章的逻辑演绎过程，经教师启发、引导、总结使学生掌握了该章的大致逻辑演绎过程：由记数的需要建立了自然数，自然数的全体构成自然数集N；为表示相反意义的量满足记数法的要求把N扩充到整数集Z；为解决测量、等分的需要把Z扩充到有理数集Q；为表示“无公度线段”的需要把Q扩充到实数集R；由解方程的需要把R扩充到复数集C，由复数z=a+bi（a,b∈R且a是实部；b是虚部) 用r(cosθ+isinθ)表示复数的三角形式。由复数的代数形式复数的加、减、乘（包括乘方）、除四则运算；由复数的三角形式复数的乘、除、乘方、开方运算解方程。这样，使学生从整体上对全章产生了印象、形象、想象，最后能用语言阐述全章的逻辑演绎过程，不仅为学习复数奠定了基础，而且还重点突出了公理化思想。
2.深刻理解
深刻理解是指深刻理解复数、复数的相等、其轭复数、复平面、向量、复数的模和辐角、二项方程的概念。概念的学习是数学学习的核心，概念的教学过程是“引入、理解、深化、应用”，引入是指引入新概念的必要性及从需要、类化、类比、实例等方法引入新概念；理解是指理解概念的形成过程；深化是指明确概念的内涵和外延，概念在结构中所处的位置及引伸、联系、变化。例如，通过启发、引导使学生掌握复数的引入是解方程的需要，复数的形成是i与实数的线性组合（这里i2=-1,实数与i进行四则运算时保持实数集的加、乘运算律）；复数的内涵是a+bi(a,b∈R)，它的外延是当b=0时就是实数、当b≠0时叫做虚数，复数在数系表中处于最高层次的位置，它有代数、几何（点或向量）、三角三种表现形式；复数成为现代科学技术中普遍使用的一种数学工具，因此，必须重点突出其数学结构思想。
3.分段进行
分段进行，是指将复数的运算分成两段进行教学，第一段是以复数的代数形式来表述复数的概念：先规定了复数的加法和乘法满足实数集的运算律，又规定了复数的加减法是复数加法的逆运算、复数除法是复数乘法的逆运算，从而得出复数的减法和除法运算法则，从复数的四则运算结果得出：任意两个复数的和、差、积、商（除数不为零）仍是复数。第二段是以复数的三角形式来表述复数的概念，由复数（代数形式）的乘法运算法则和运算律及两角和的正、余弦公式推导出复数（三角形式）的乘法运算法则。用数学归纳法可以证明，由两个复数（三角形式）的积推广到N个复数（三角形式）的积，当这N个复数都相等时就得出复数（三角形式）的乘方法则，根据复数除法的定义得出复数（三角形式）的除法的运算法则，根据n次方根的定义和复数（三角形式）相等的条件及正、余弦函数的周期性得出复数（三角形式）的开方运算法则，通过这段教材（法则、例题、习题）的教学，不仅为学习复数抓住了重点，使学生能牢固掌握基础知识和基本技能，并积累解题经验，提高分析问题和解决问题的能力，而且还重点突出了集合间的运算关系思想和数学模型思想。
4.加强联系
加强联系是指通过本章教学，把一个个知识点发展成知识“链”，形成知识网络，研究各知识点之间转化的条件，用联系、运动、变化的观点来研究各知识点之间的转化，展示给学生一个动态的知识“再生产”过程，启发、引导学生去发现复数与代数、平面几何、解析几何、三角函数、反三角函数等的联系。如复数与实数、复数与方程、复数与因式分解、复数的模与实数的绝对值、复数与数学归纳法、复数与向量、点与向量、复数平面与坐标平面、复数的加、减、乘、除、乘方、开方的几何意义、复数与它的模和辐角、复数与两角和的正、余弦及用复数求角、两点间距离、曲线方程、动点轨迹等，这样，不仅使学生思路开阔，善于联想，有助于发展认知结构，提高灵活运用和综合运用数学知识能力，而且还重点突出了变换思想和集合间的关系思想。
5.提炼思想
提炼思想是指启发、引导学生从本章数学知识和数学方法中提炼数学思想。（1）从本章的逻辑演绎过程中可提炼出公理化思想，使学生基本掌握；由“群—环—域”和由“良序—全序—偏序”过程中，可向学生渗透公理化思想。（2）从数的扩充过程中可提炼出整数、有理数、实数、复数的结构思想，使学生掌握，可向学生渗透：自然数集对乘法形成群结构思想，整数集对加、乘法形成环结构思想；自然数集是良序集，整数集、有理数集、实数集、复数集是偏序集，由良序、全序、偏序构成序结构思想；从复数平面中可提炼出二维向量空间思想，使学生掌握。（3）本章中有丰富的数学模型,如N,Z,Q,R,a+bi(a,b∈R),z(a,b), oz,r(cosθ+isinθ),平行四边形法则(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i，d=(x2-x1)2+(y2-y1)2，[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosθ+isinθ)(n∈N)等，从中可提炼出数学模型思想，使学生掌握；从复数的加、减、乘、除、乘方、开方运算中可提炼出集合间运算和复数集、复平面、以原点为始点的二维向量间的一一对应及曲线与方程等可提炼出集合间的等价关系思想；从复数集包含实数集及逻辑演绎等可提炼出序关系思想；从复数与点的互化、复数的运算转化为向量的运算等可提炼数学思想的方法，从而进一步促进学生的数学思想的形成和发展。
三、结束语
通过以上的教学，学生能从整体上较好地掌握全章的内容以及以复数为出发点的有条理地串联全章各个知识点及它们之间的联系，促进学生认知结构的完善和发展，开发学生的智力，提高学生的数学能力，使学生逐渐产生了推理意识、整体意识、抽象意识、化归意识等，这将促进学生数学观念的形成。
参考文献:
[1]陳福平.在排列组合单元进行数学思想方法教学的认识[J].数学通报，2001，(8)：19-21.
[2]刘云章.打开你的数学思路[M].南京：江苏科学技术出版社，1998.
[关键词]:复数教学 数学思想 应用
一、前言
教学过程是一种特殊的认知过程，通过数学教学，学生掌握了数学思想，会有利于完善和发展认知结构，有利于开发智力和发展数学能力，也能促进数学观念的形成，为此，本文将探索“复数教学如何突出数学思想”的问题。
基本数学思想是高度概括得到的，它们的概括性是有层次之分的，中学数学教材中最高层次的基本数学思想是：“公理化思想”、“结构思想”和“集合对应思想”。因此，笔者认为，复数教学突出数学思想可归结为突出“公理化思想”、“结构思想”和“集合对应思想”。
数学思想体系是数学知识结构的基础和核心，于是，在数学教学过程中，理所当然地应该给予数学思想的教学以重要的甚至核心的地位，笔者认为，对复数全章的教学应采取科学的的教学方法，以达到突出数学思想的目的。
二、数学思想在复数教学中的应用
1.通读掌握
通读掌握，是指通读复数全章内容并掌握全章的逻辑演绎过程，经教师启发、引导、总结使学生掌握了该章的大致逻辑演绎过程：由记数的需要建立了自然数，自然数的全体构成自然数集N；为表示相反意义的量满足记数法的要求把N扩充到整数集Z；为解决测量、等分的需要把Z扩充到有理数集Q；为表示“无公度线段”的需要把Q扩充到实数集R；由解方程的需要把R扩充到复数集C，由复数z=a+bi（a,b∈R且a是实部；b是虚部) 用r(cosθ+isinθ)表示复数的三角形式。由复数的代数形式复数的加、减、乘（包括乘方）、除四则运算；由复数的三角形式复数的乘、除、乘方、开方运算解方程。这样，使学生从整体上对全章产生了印象、形象、想象，最后能用语言阐述全章的逻辑演绎过程，不仅为学习复数奠定了基础，而且还重点突出了公理化思想。
2.深刻理解
深刻理解是指深刻理解复数、复数的相等、其轭复数、复平面、向量、复数的模和辐角、二项方程的概念。概念的学习是数学学习的核心，概念的教学过程是“引入、理解、深化、应用”，引入是指引入新概念的必要性及从需要、类化、类比、实例等方法引入新概念；理解是指理解概念的形成过程；深化是指明确概念的内涵和外延，概念在结构中所处的位置及引伸、联系、变化。例如，通过启发、引导使学生掌握复数的引入是解方程的需要，复数的形成是i与实数的线性组合（这里i2=-1,实数与i进行四则运算时保持实数集的加、乘运算律）；复数的内涵是a+bi(a,b∈R)，它的外延是当b=0时就是实数、当b≠0时叫做虚数，复数在数系表中处于最高层次的位置，它有代数、几何（点或向量）、三角三种表现形式；复数成为现代科学技术中普遍使用的一种数学工具，因此，必须重点突出其数学结构思想。
3.分段进行
分段进行，是指将复数的运算分成两段进行教学，第一段是以复数的代数形式来表述复数的概念：先规定了复数的加法和乘法满足实数集的运算律，又规定了复数的加减法是复数加法的逆运算、复数除法是复数乘法的逆运算，从而得出复数的减法和除法运算法则，从复数的四则运算结果得出：任意两个复数的和、差、积、商（除数不为零）仍是复数。第二段是以复数的三角形式来表述复数的概念，由复数（代数形式）的乘法运算法则和运算律及两角和的正、余弦公式推导出复数（三角形式）的乘法运算法则。用数学归纳法可以证明，由两个复数（三角形式）的积推广到N个复数（三角形式）的积，当这N个复数都相等时就得出复数（三角形式）的乘方法则，根据复数除法的定义得出复数（三角形式）的除法的运算法则，根据n次方根的定义和复数（三角形式）相等的条件及正、余弦函数的周期性得出复数（三角形式）的开方运算法则，通过这段教材（法则、例题、习题）的教学，不仅为学习复数抓住了重点，使学生能牢固掌握基础知识和基本技能，并积累解题经验，提高分析问题和解决问题的能力，而且还重点突出了集合间的运算关系思想和数学模型思想。
4.加强联系
加强联系是指通过本章教学，把一个个知识点发展成知识“链”，形成知识网络，研究各知识点之间转化的条件，用联系、运动、变化的观点来研究各知识点之间的转化，展示给学生一个动态的知识“再生产”过程，启发、引导学生去发现复数与代数、平面几何、解析几何、三角函数、反三角函数等的联系。如复数与实数、复数与方程、复数与因式分解、复数的模与实数的绝对值、复数与数学归纳法、复数与向量、点与向量、复数平面与坐标平面、复数的加、减、乘、除、乘方、开方的几何意义、复数与它的模和辐角、复数与两角和的正、余弦及用复数求角、两点间距离、曲线方程、动点轨迹等，这样，不仅使学生思路开阔，善于联想，有助于发展认知结构，提高灵活运用和综合运用数学知识能力，而且还重点突出了变换思想和集合间的关系思想。
5.提炼思想
提炼思想是指启发、引导学生从本章数学知识和数学方法中提炼数学思想。（1）从本章的逻辑演绎过程中可提炼出公理化思想，使学生基本掌握；由“群—环—域”和由“良序—全序—偏序”过程中，可向学生渗透公理化思想。（2）从数的扩充过程中可提炼出整数、有理数、实数、复数的结构思想，使学生掌握，可向学生渗透：自然数集对乘法形成群结构思想，整数集对加、乘法形成环结构思想；自然数集是良序集，整数集、有理数集、实数集、复数集是偏序集，由良序、全序、偏序构成序结构思想；从复数平面中可提炼出二维向量空间思想，使学生掌握。（3）本章中有丰富的数学模型,如N,Z,Q,R,a+bi(a,b∈R),z(a,b), oz,r(cosθ+isinθ),平行四边形法则(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i，d=(x2-x1)2+(y2-y1)2，[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosθ+isinθ)(n∈N)等，从中可提炼出数学模型思想，使学生掌握；从复数的加、减、乘、除、乘方、开方运算中可提炼出集合间运算和复数集、复平面、以原点为始点的二维向量间的一一对应及曲线与方程等可提炼出集合间的等价关系思想；从复数集包含实数集及逻辑演绎等可提炼出序关系思想；从复数与点的互化、复数的运算转化为向量的运算等可提炼数学思想的方法，从而进一步促进学生的数学思想的形成和发展。
三、结束语
通过以上的教学，学生能从整体上较好地掌握全章的内容以及以复数为出发点的有条理地串联全章各个知识点及它们之间的联系，促进学生认知结构的完善和发展，开发学生的智力，提高学生的数学能力，使学生逐渐产生了推理意识、整体意识、抽象意识、化归意识等，这将促进学生数学观念的形成。
参考文献:
[1]陳福平.在排列组合单元进行数学思想方法教学的认识[J].数学通报，2001，(8)：19-21.
[2]刘云章.打开你的数学思路[M].南京：江苏科学技术出版社，1998.