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江苏苏州工业园区青剑湖学校 215122
[摘 要] 笔者一直想在图形变换问题上再有所突破，在变换的基础上对图形进行深入挖掘，把不变的量应用到其他知识中，本文通过对两道原创试题的研究，希望能给读者的解题技能和技巧提供一点帮助.
[关键词] 二级台阶；图形变换；圆与圆；最值
波利亚认为，教师最重要的任务之一是帮助学生，以使学生获得尽可能多的独立工作经验. 如今，新课改所提倡的动手实践、自主探究学习方式不正暗合了这一思想吗？但是，波利亚也提出了有关帮助的“度”的问题，即不能少，学生完全没有方向就根本不会有提高；也不宜多，学生没有思考的空间同样不会有进步. 最好的办法是，教师把自己放在学生的位置，根据学生的情况，努力理解学生的想法，然后提出一个问题或指出一个步骤. “图形的变换与圆”是“空间与图形”的重要组成部分，其中包括了轴对称、平移、旋转、全等、相似和丰富的与圆有关的知识，这些内容具有广泛的创新空间，例如利用图形变换进行折叠与操作，创新画图以及与圆的综合探究等，这些命题思路都可以设计成开放性、综合性问题，或者说具有较高意义的探究价值. 某些题目虽承载的知识有所不同，但蕴涵的思想方法是相同或相似的，基于此想法，可以把不同情景链接在一起，通过比较做到异中求同，寻求本质. 圆是几何图形中最规范、简单的一种基本图形，通过图形变换渗透圆的思想，能引导学生发现“变中不变”的现象. 所谓变中不变，如在翻折变化、旋转变化、平移变化等简单变化中不变的一些角度或长度，或者是复杂的若干个角度或者长度之间的关系不变. 在图形的轴对称变换、旋转变换、平移变换过程中，保持的是图形的全等，它与全等三角形的性质、判定有着密切的联系. 本文就重点研究一下图形变换与圆的有效结合.
■ 问题一：从图形变换的角度看
待圆
引例？摇 如图所示，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C的坐标为（-6，0），三角形的腰长为2，将三角形绕着直角顶点C旋转，分别过点A、点B向x轴作垂线，垂足分别为O1和O2 .
（1）？摇试说明图1和图2中，△ACO1与△BCO2是否全等.
（2）？摇当点A，B在 x轴同侧时，以O1为圆心、O1A的长为半径的圆与以O2为圆心、O2B的长为半径的圆之间的位置关系为______；当点A，B在 x轴异侧时，以O1为圆心、O1A的长为半径的圆与以O2为圆心、O2B的长为半径的圆之间的位置关系为______.
（3）？摇当点B运动到x轴上时，点O1与点C重合，得到如图3所示的⊙C，我们易知点B就是⊙C与x轴的交点. 在⊙C上有一个运动的点P（点P不在x轴上），过点P作⊙C的切线与y轴交于点Q，过点P与点B的直线交y轴于点M.
■
①如图3所示，当点Q在y轴正半轴上时，你认为线段QP与线段QM之间存在怎样的数量关系？（写出说理过程）
②随着点P的运动，①中的两条线段之间的数量关系会改变吗？若变，请说明理由；若不变，请求出线段QM的最小值.（直接写出答案）
解析 （1）△ACO1≌△CBO2，理由如下：
图1中，在△ACO1 和△CBO2 中，因为∠ACO1 ∠BCO2=90°，∠CBO2 ∠BCO2=90°，所以∠ACO1=∠CBO2 . 又因为AC=BC，∠AO1C=∠BO2C=90°，所以△ACO1≌△CBO2 .
同理可证图2.
（2）外切（如图4所示）；内切（如图5所示）.
■
■
（3）①QP=QM，理由如下：连结CP，因为CP=CB，所以∠CPB=∠CBP. 又因为∠CPB ∠MPQ=90°，∠OBM ∠BMO=90°，所以∠QPM=∠QMP. 所以QP=QM.
②QP=QM不会变. 在△PQC中，直角边PC的长度不变，要想让直角边QP最短，即QC最短，如图6所示，当点Q在x轴上时，QC最短. 在Rt△PQC中，因为PC=2，QC=6，所以QP=■=4■.
■
分析？摇 本题是以三角形旋转为基本框架，通过研究旋转过程中的数量关系，分析圆与圆的位置关系. 学生对图形变化过程中线段数量的变化应该很熟悉，运用发现的数量关系来解决圆的位置关系，显得很陌生. 对于第（3）问中线段QM的最小值，要求学生能先猜出可能的位置在哪里，说白了，也就是会利用图形进行分类讨论. 在图形变化的基础上研究线段的数量关系，通过构造圆，在圆中研究切线长的最值变化，主要考查学生对图形变换、三角形全等、圆与圆的位置关系、线段最值的融会贯通. 如果直接研究圆与圆的位置关系可能显得难解决，所以学生要从第（1）问的全等中寻求相关信息，为解决第（2）问的位置关系搭好“二级台阶”. 学生应该思考，在全等的基础上我们能得到哪些结论，第（2）问中圆与圆的位置关系又需要什么条件来说明，二者有效整合以后，我们就会发现线段的数量关系是二者的共同之处，此处，“二级台阶”已经搭建完成. 对于第（3）问中的最值，我们应考虑既然是运动问题，那有没有特殊的位置呢？在几个特殊的位置画出对应的图形进行计算，是隐含的“二级台阶”.
■ 问题二：利用圆解决图形变换
问题中的计算问题
引例？摇 在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆O1和半圆O2，其中O1和O2分别为两个半圆的圆心. F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点.
■
（1）如图7所示，连结O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，证明：△DO1F≌△FO2E.
（2）过点A分别作半圆O1和半圆O2的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连结PQ. ①如图8所示，若∠ACB=90°，DB=5，CE=3，求线段PQ的长；
■
②如图9所示，若连结FA，猜想PQ与FA的位置关系，并说明你的结论.
■
证明？摇 （1）因为O1，O2，F分别是AB，AC，BC边的中点，所以O1F∥AC且O1F=AO2，O2F∥AB且O2F=AO1. 所以∠BO1F=∠BAC，∠CO2F=∠BAC. 所以∠BO1F=∠CO2F. 因为点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点，所以O1F=AO2=O2E，O2F=AO1=O1D，∠BO1D=90°，∠CO2E=90°. 所以∠BO1D=∠CO2E. 所以∠DO1F=∠FO2E. 所以△DO1F≌△FO2E.
（2）①如图8所示，延长CA至点G，使AG=AQ，连结BG，AE. 因为点E是半圆O2圆弧的中点，所以AE=CE=3. 因为AC为圆O2的直径，所以∠AEC=90°. 所以∠ACE=∠EAC=45°，AC=■=3■. 因为AQ是半圆O2的切线，所以CA⊥AQ. 所以∠CAQ=90°. 所以∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90°. 所以AQ=AC=AG=3■. 同理，∠BAP=90°，AB=AP=5■，所以CG=6■，∠GAB=∠QAP. 所以△AQP≌△AGB. 所以PQ=BG. 因为∠ACB=90°，所以BC=■=4■，BG=■=2■. 所以PQ=2■.
②PQ⊥AF，理由略.
分析？摇 本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质. 运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连结圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题. 图形在变化，但证明的方法是相通的.
前苏联数学教育家斯托利亚认为，“数学教学既可以理解为思维活动的结果，又可以理解为思维活动的过程. ”数学是思维的工具、数学是思维的体操、数学是进行思维训练的载体. 事实上，提高了学生的数学思维能力也就提高了数学教学质量；同时，能引导学生形成良好的思维品质. 对于图形运动型试题，要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变的量、不变的关系或特殊关系，善于化动为静，以静制动，由特殊逐步过渡到一般情形，找到特殊的点、特殊的值、特殊的位置、特殊的图形等. 在几何图形中，由于运动而引起图形的形状、位置发生变化，会导致数量关系变化，而这种数量关系的变化，恰好需要研究讨论的内容. 由此可见，解决图形变换型问题需要我们用运动与变化的眼光去观察和研究图形，识别静态中的动态、动态中的静态，抓住变化过程中的特殊情形，建立模型求解. 在变化中找到不变的性质是解决数学“动态”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质. 在平时的教学中，有许多数学问题值得我们研究，教师要有问题意识，对原问题进行广泛联想，运用合情推理、特殊化、一般化等方法追寻问题本源，运用“联系”“迁移”“拓展”“创新”等策略摒弃题海战术，加强对课本典型例题、习题内涵的挖掘，通过一题多变、一题多解，把问题弄透，达到触类旁通、举一反三的效果，从而培养学生的数学素养和解决问题的能力. 如果直接说这种思路行不通或很难突破或很麻烦，这对促进学生的系统思考并无多大益处. 因此，教师应尊重学生的自我认识，尊重学生独特的感受和经验，深入追问，从学生的受阻思路中寻找合理成分，从学生的典型思路或典型错误中捕捉珍贵资源，串联“行异质同”题，整合“形似质异”题，再引领学生去思考、去发现、去探究，集思广益、对症下药. 同时，应促进学生养成严谨的学风和缜密的思维习惯，培养敢于质疑、敢于发问、向权威挑战的勇气，优化学习方法和习惯. 解决探索，应根据学生已有的知识结构构建新的知识系统，要想让学生成为数学教学过程中的积极参与者，不仅应该做到解题策略层面上的宏观把握与解法探索上的微观分析相结合，更要建立在策略层面上的解法探索，才能方法明确，抓住主要问题进行分析，从问题的分析与解决的过程中熔炼、分离出数学思想方法，帮助学生有效实现知识的整合、方法的迁移，为学生的长远发展烙上一个实实在在的脚印. 在练习中，教师应不失时机地抓住学生已获得的经验、探究的收获、规律的形成，应及时推广、应用，起到复习巩固已知、指导探究未知，既有发散方法、激活思维，又有提出问题、发散思维，既有学以致用、迁移思维，又有拓展成果、升华思维，使数学教学达到“既见树木，又见森林”的效果.
“学而不思则罔，思而不学则殆. ”思考问题的过程其实就是我们提高个人能力的过程. 无论是教师还是学生，都应勤思考、勤动脑，更应对不同板块的知识进行有机整合，这样才能更好地发现问题、探索问题、分析问题、解决问题.
[摘 要] 笔者一直想在图形变换问题上再有所突破，在变换的基础上对图形进行深入挖掘，把不变的量应用到其他知识中，本文通过对两道原创试题的研究，希望能给读者的解题技能和技巧提供一点帮助.
[关键词] 二级台阶；图形变换；圆与圆；最值
波利亚认为，教师最重要的任务之一是帮助学生，以使学生获得尽可能多的独立工作经验. 如今，新课改所提倡的动手实践、自主探究学习方式不正暗合了这一思想吗？但是，波利亚也提出了有关帮助的“度”的问题，即不能少，学生完全没有方向就根本不会有提高；也不宜多，学生没有思考的空间同样不会有进步. 最好的办法是，教师把自己放在学生的位置，根据学生的情况，努力理解学生的想法，然后提出一个问题或指出一个步骤. “图形的变换与圆”是“空间与图形”的重要组成部分，其中包括了轴对称、平移、旋转、全等、相似和丰富的与圆有关的知识，这些内容具有广泛的创新空间，例如利用图形变换进行折叠与操作，创新画图以及与圆的综合探究等，这些命题思路都可以设计成开放性、综合性问题，或者说具有较高意义的探究价值. 某些题目虽承载的知识有所不同，但蕴涵的思想方法是相同或相似的，基于此想法，可以把不同情景链接在一起，通过比较做到异中求同，寻求本质. 圆是几何图形中最规范、简单的一种基本图形，通过图形变换渗透圆的思想，能引导学生发现“变中不变”的现象. 所谓变中不变，如在翻折变化、旋转变化、平移变化等简单变化中不变的一些角度或长度，或者是复杂的若干个角度或者长度之间的关系不变. 在图形的轴对称变换、旋转变换、平移变换过程中，保持的是图形的全等，它与全等三角形的性质、判定有着密切的联系. 本文就重点研究一下图形变换与圆的有效结合.
■ 问题一：从图形变换的角度看
待圆
引例？摇 如图所示，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C的坐标为（-6，0），三角形的腰长为2，将三角形绕着直角顶点C旋转，分别过点A、点B向x轴作垂线，垂足分别为O1和O2 .
（1）？摇试说明图1和图2中，△ACO1与△BCO2是否全等.
（2）？摇当点A，B在 x轴同侧时，以O1为圆心、O1A的长为半径的圆与以O2为圆心、O2B的长为半径的圆之间的位置关系为______；当点A，B在 x轴异侧时，以O1为圆心、O1A的长为半径的圆与以O2为圆心、O2B的长为半径的圆之间的位置关系为______.
（3）？摇当点B运动到x轴上时，点O1与点C重合，得到如图3所示的⊙C，我们易知点B就是⊙C与x轴的交点. 在⊙C上有一个运动的点P（点P不在x轴上），过点P作⊙C的切线与y轴交于点Q，过点P与点B的直线交y轴于点M.
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①如图3所示，当点Q在y轴正半轴上时，你认为线段QP与线段QM之间存在怎样的数量关系？（写出说理过程）
②随着点P的运动，①中的两条线段之间的数量关系会改变吗？若变，请说明理由；若不变，请求出线段QM的最小值.（直接写出答案）
解析 （1）△ACO1≌△CBO2，理由如下：
图1中，在△ACO1 和△CBO2 中，因为∠ACO1 ∠BCO2=90°，∠CBO2 ∠BCO2=90°，所以∠ACO1=∠CBO2 . 又因为AC=BC，∠AO1C=∠BO2C=90°，所以△ACO1≌△CBO2 .
同理可证图2.
（2）外切（如图4所示）；内切（如图5所示）.
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（3）①QP=QM，理由如下：连结CP，因为CP=CB，所以∠CPB=∠CBP. 又因为∠CPB ∠MPQ=90°，∠OBM ∠BMO=90°，所以∠QPM=∠QMP. 所以QP=QM.
②QP=QM不会变. 在△PQC中，直角边PC的长度不变，要想让直角边QP最短，即QC最短，如图6所示，当点Q在x轴上时，QC最短. 在Rt△PQC中，因为PC=2，QC=6，所以QP=■=4■.
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分析？摇 本题是以三角形旋转为基本框架，通过研究旋转过程中的数量关系，分析圆与圆的位置关系. 学生对图形变化过程中线段数量的变化应该很熟悉，运用发现的数量关系来解决圆的位置关系，显得很陌生. 对于第（3）问中线段QM的最小值，要求学生能先猜出可能的位置在哪里，说白了，也就是会利用图形进行分类讨论. 在图形变化的基础上研究线段的数量关系，通过构造圆，在圆中研究切线长的最值变化，主要考查学生对图形变换、三角形全等、圆与圆的位置关系、线段最值的融会贯通. 如果直接研究圆与圆的位置关系可能显得难解决，所以学生要从第（1）问的全等中寻求相关信息，为解决第（2）问的位置关系搭好“二级台阶”. 学生应该思考，在全等的基础上我们能得到哪些结论，第（2）问中圆与圆的位置关系又需要什么条件来说明，二者有效整合以后，我们就会发现线段的数量关系是二者的共同之处，此处，“二级台阶”已经搭建完成. 对于第（3）问中的最值，我们应考虑既然是运动问题，那有没有特殊的位置呢？在几个特殊的位置画出对应的图形进行计算，是隐含的“二级台阶”.
■ 问题二：利用圆解决图形变换
问题中的计算问题
引例？摇 在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆O1和半圆O2，其中O1和O2分别为两个半圆的圆心. F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点.
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（1）如图7所示，连结O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，证明：△DO1F≌△FO2E.
（2）过点A分别作半圆O1和半圆O2的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连结PQ. ①如图8所示，若∠ACB=90°，DB=5，CE=3，求线段PQ的长；
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②如图9所示，若连结FA，猜想PQ与FA的位置关系，并说明你的结论.
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证明？摇 （1）因为O1，O2，F分别是AB，AC，BC边的中点，所以O1F∥AC且O1F=AO2，O2F∥AB且O2F=AO1. 所以∠BO1F=∠BAC，∠CO2F=∠BAC. 所以∠BO1F=∠CO2F. 因为点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点，所以O1F=AO2=O2E，O2F=AO1=O1D，∠BO1D=90°，∠CO2E=90°. 所以∠BO1D=∠CO2E. 所以∠DO1F=∠FO2E. 所以△DO1F≌△FO2E.
（2）①如图8所示，延长CA至点G，使AG=AQ，连结BG，AE. 因为点E是半圆O2圆弧的中点，所以AE=CE=3. 因为AC为圆O2的直径，所以∠AEC=90°. 所以∠ACE=∠EAC=45°，AC=■=3■. 因为AQ是半圆O2的切线，所以CA⊥AQ. 所以∠CAQ=90°. 所以∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90°. 所以AQ=AC=AG=3■. 同理，∠BAP=90°，AB=AP=5■，所以CG=6■，∠GAB=∠QAP. 所以△AQP≌△AGB. 所以PQ=BG. 因为∠ACB=90°，所以BC=■=4■，BG=■=2■. 所以PQ=2■.
②PQ⊥AF，理由略.
分析？摇 本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质. 运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连结圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题. 图形在变化，但证明的方法是相通的.
前苏联数学教育家斯托利亚认为，“数学教学既可以理解为思维活动的结果，又可以理解为思维活动的过程. ”数学是思维的工具、数学是思维的体操、数学是进行思维训练的载体. 事实上，提高了学生的数学思维能力也就提高了数学教学质量；同时，能引导学生形成良好的思维品质. 对于图形运动型试题，要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变的量、不变的关系或特殊关系，善于化动为静，以静制动，由特殊逐步过渡到一般情形，找到特殊的点、特殊的值、特殊的位置、特殊的图形等. 在几何图形中，由于运动而引起图形的形状、位置发生变化，会导致数量关系变化，而这种数量关系的变化，恰好需要研究讨论的内容. 由此可见，解决图形变换型问题需要我们用运动与变化的眼光去观察和研究图形，识别静态中的动态、动态中的静态，抓住变化过程中的特殊情形，建立模型求解. 在变化中找到不变的性质是解决数学“动态”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质. 在平时的教学中，有许多数学问题值得我们研究，教师要有问题意识，对原问题进行广泛联想，运用合情推理、特殊化、一般化等方法追寻问题本源，运用“联系”“迁移”“拓展”“创新”等策略摒弃题海战术，加强对课本典型例题、习题内涵的挖掘，通过一题多变、一题多解，把问题弄透，达到触类旁通、举一反三的效果，从而培养学生的数学素养和解决问题的能力. 如果直接说这种思路行不通或很难突破或很麻烦，这对促进学生的系统思考并无多大益处. 因此，教师应尊重学生的自我认识，尊重学生独特的感受和经验，深入追问，从学生的受阻思路中寻找合理成分，从学生的典型思路或典型错误中捕捉珍贵资源，串联“行异质同”题，整合“形似质异”题，再引领学生去思考、去发现、去探究，集思广益、对症下药. 同时，应促进学生养成严谨的学风和缜密的思维习惯，培养敢于质疑、敢于发问、向权威挑战的勇气，优化学习方法和习惯. 解决探索，应根据学生已有的知识结构构建新的知识系统，要想让学生成为数学教学过程中的积极参与者，不仅应该做到解题策略层面上的宏观把握与解法探索上的微观分析相结合，更要建立在策略层面上的解法探索，才能方法明确，抓住主要问题进行分析，从问题的分析与解决的过程中熔炼、分离出数学思想方法，帮助学生有效实现知识的整合、方法的迁移，为学生的长远发展烙上一个实实在在的脚印. 在练习中，教师应不失时机地抓住学生已获得的经验、探究的收获、规律的形成，应及时推广、应用，起到复习巩固已知、指导探究未知，既有发散方法、激活思维，又有提出问题、发散思维，既有学以致用、迁移思维，又有拓展成果、升华思维，使数学教学达到“既见树木，又见森林”的效果.
“学而不思则罔，思而不学则殆. ”思考问题的过程其实就是我们提高个人能力的过程. 无论是教师还是学生，都应勤思考、勤动脑，更应对不同板块的知识进行有机整合，这样才能更好地发现问题、探索问题、分析问题、解决问题.