论文部分内容阅读
《数学课程标准》关于高中数学学习的教学目标之一：学会自主进行学习，独立探究问题；对知识进行系统整理；会对已有的知识经验进行反思、质疑，有发散思维和求异思维的积极心向，能提出自己的独立见解.提出问题不仅有利于促进学生对数学知识的理解，提高他们的学习兴趣，而且有助于培养学生发现问题的创造潜能，为终身学习和毕生的发展奠定基础.众所周知，高三数学总复习内容多，范围广，既要狠抓基础，系统整理知识的脉络结构，查漏补缺，又得兼顾提高，融会贯通，面对千头万绪，如何有条不紊地帮助学生通过观察，搜索，整理积累，抽象概括，创造性地进行复习，提高学生的数学素养，是每一个高三教师面临的重要课题.我们认为在实际教学中，应摒弃题海战术，积极采用变式教学，串点成线，精心选编复习内容，将有利于提高高三数学复习教学效率.
在一次温州市乐清与龙湾跨区域的高三数学教学联谊研讨活动中，其中“导数的应用（一）”（利用导数研究函数的单调性）这节公开课让与会人员感悟至深，课堂教学中不仅考查学生的解题能力，还考查学生提出问题的能力，执教者从问题情景的设置、师生互动的和谐、恰时恰点的提问、激活思维的变式、扎实有效的功底给观课老师留下了深刻印象.同时也给评课带来了许多不同的着力点，给联谊研讨活动留下了很大的反思与探讨的空间，与会教师都觉得收获颇丰.下面是“导数的应用（一）”的教学案例.
一、奠 基
问题 判断函数f(x)＝x-ln(x+2)，x∈(0,＋∞)的单调性.
师：判断函数的单调性有哪些方法？
生1：图像法、定义法、利用已知函数单调性法（如复合函数、单调函数的加、乘等）、导数法.
生2：此题用前三种方法都不合适，应用导数法.
师：导数法的理论依据是什么？
生3：f(x)在(a,b)内可导，若f′(x)>0(f′(x)<0),则f(x)在(a,b)上为增（减）函数.
略解 ∵f′(x)＝12x-12-1x+2=(x-1)2+12x(x+2)>0，
∴f(x)在x∈(0,+∞)是增函数.
二、变式与探究
1.信息变迁
变式一 题中“2”改为“1”，即判断函数f(x)＝x-ln(x+1)，x∈(0,＋∞)的单调性.
生4：做法类似，即f′(x)＝…=(x-1)22x(x+1)≥0，∴f(x)在x∈(0,+∞)是增函数.
生５：不对，因为f(x)在(a,b)内可导，若f′(x)>0，则f(x)在(a,b)上为增函数；若f′(x)＝0，则f(x)在(a,b)上为常函数.所以应区别对待.
生６：没有关系，只有x＝１时f′(x)＝0.
生７：在某点f′(x)＝0，又f(x)在该点连续（可导必连续），不影响结果.
生８：多几点也没关系.
师：f(x)在(a,b)内可导，有限多个点处f′(x)＝0，而其余各点处f′(x)同为正（或同为负），则f(x)在这个区间仍是增（减）函数.
总结 f(x)在(a,b)内可导.
①当f′(x)>0时，f(x)在(a,b)上为增函数；
当f′(x)<0时，f(x)在(a,b)上为减函数；
当f′(x)＝0时，f(x)在(a,b)上为常函数.
②若f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且有限多个点处f′(x)＝0，则f(x)在(a,b)上仍为增（减）函数.
③f(x)在(a,b)上为增（减）函数，f′(x)≥0(f′(x)≤0).
练习1
①设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图像如图所示，则导函数y=f′(x)的图像可能是().
②判断函数y=x3的单调区间.
③已知函数y=12x3+2x2+x+2，则它的单调递增区间是().
A.(-2,+∞)
B.-1,-13
C.(-∞,-1)与-13,+∞
D.R
学生解后口答：①D；②（-∞，+∞)；③B.
师：有了导数这个工具，函数的单调性很容易判断，下面继续用这个工具研究函数的单调性.
2.条件变迁
变式二 变式一中“１”改为“a”,题目改为：已知a>0时，函数f(x)=x-ln(x＋a)，x∈（0，+∞)的单调区间恰有三个，求a的取值范围.
师：其实也需求f(x)的单调区间.
生9：f′(x)＝…=(x-1)2+(a-1)2x(x+a).
当a>1时，f′(x)>0，∴f(x)在x∈(0,+∞)是增函数.
当a=1时，f′(x)≥0，其中x=1时f′(x)=0，x≠1时f′(x)>0，∴f(x)在x∈(0,+∞)仍是增函数.∴a≥1时不合题意.
当0 综上所述：0＜a＜1.
师：若将题目改为：当a>0时，判断函数f(x)＝x-ln(x+a)，x∈(0,＋∞)的单调性.
生10：与上题类似.
师：这就是高考的一道解答题，此题蕴涵着数学中重要的思想方法：分类讨论.你看，我们在不知不觉中解决了一道高考题.咦，高考题其实也不难嘛！高考真的离我们越来越近了.（学生会心地笑了）
练习2
①如果f(x)=ax3-x2+x-5在x∈(-∞,+∞)上单调递增，则a的取值范围是.
②研究函数f(x)=ax3+bx2-1ax+1的单调性，其中a≠0.
解 ①由题意，得f′(x)=3ax2-2x+1≥0恒成立.
当a=0时，不合题意；
当a≠0时，a>0，Δ≤0，即a≥13.
②∵f′(x)=3ax2+2bx-1a，
当a＞0时,f′(x)＞0,则f(x)在-∞,-b-b2+33a，-b+b2+33a，+∞上单调递增，在-b-b2+33a，-b+b2+33a上单调递减.
当a＜0时,则f(x)在-b-b2+33a，-b+b2+33a上单调递增，在-∞,-b-b2+33a，-b+b2+33a，+∞上单调递减.
3.拓展信息
变式三 求证：x≥lnx+1.
生11：可用图像法，在同一坐标系中画出y=x，y=lnx+1的图像，图y=x在图y=lnx+1的上方即可.
生12：图像法只能初步判断，不能作为严格证明的依据.
师：可否由变式一得到启发？（停顿片刻）
生13：构造函数f(x)＝x-ln(x+1).
∵f′(x)＝…=(x-1)22x(x+1)≥0，
∴f(x)在x∈(0,+∞)是增函数.
又 f(x)在x=0处右连续，
∴f(x)在x∈［0,+∞)是增函数.
∴当x≥0时，f(x)≥f(0)=0，∴x≥lnx+1.
师：此题用初等方法较难解决，而通过构造函数，用导数法轻松地解决了，这充分体现了导数的优越性.
4.存在性变迁
变式四 求证：方程x=lnx+1只有一个实根x=0.
师：此题应分两步：先证有，再证只有.
生14：方程中必须满足x≥0.
当x=0时，左=0，右=0，
∴方程x=lnx+1有一个实根x=0.
构造函数f(x)＝x-ln(x+1).
∵当x＞0时，f′(x)＝…=(x-1)22x(x+1)≥0，
∴f(x)在x∈(0,+∞)是增函数，
∴f(x)＞f(0)=0，即x＞lnx+1，
∴方程x=lnx+1只有一个实根x=0.
师：通过利用导数判断函数的单调性，不仅能证明不等式，而且能证明方程根的问题.
练习3 已知0＜x＜π2,求证：tanx＞x.
证明 设f(x)=tanx-x，∵0＜x＜π2，
∴f′(x)=sinxcosx′-1=sin2x+cos2xcos2x-1
=sec2x-1=tan2x＞0.
∴f(x)在0，π2是增函数，
∴f(x)＞f(0)=0，∴tanx＞x.
师：用导数这个工具研究函数的单调性有很大的优越性，多用工具，用好工具，你将受益匪浅.
5.反思性思考
变式五 在函数f(x)的连续区间内，如果在有限多个点处f′(x)＝０或f′(x)不存在，而在其余各点处导数均为正（负），那么函数f(x)在这个区间上仍是单调递增（减）吗？（提示：借助函数y＝x3,y=x13可说明）
三、案例反思
1.本设计中一道题和五种变式是渐进的、有层次的，每一变式都是在上一变式的基础上进行的，每一变式都为下一变式的解决搭桥铺路，使得整堂课从浅到深，从易到难，融会贯通，一气呵成，符合学生的认知规律.
2.从变式一中f′(x)≥0的讨论、变式二分类讨论思想的渗透、变式三的思维拓展、变式四函数的构造、变式五反思性思考，串成了本节课的一个链条，这样的设计有利于分散难点，达到突破难点的作用，同时也突出了重点.
3.对于高三复习，教师设计例子的时间花得多一点，学生练习的时间就会少一点；设计的例题精一点，学生就会学得活一点、轻松一点.在实际教学中我们应摒弃题海战术，积极采用变式教学，将题目串点成线，“变”既可以变内容，也可以变形式，还可以变问题的情景，等等，对于同一个规则可以设计出各种不同的形式.
由此案例，通过多方位、多角度地对问题研究到问题提出的过程加以变式、改造和拓展，运用数学研究的思想方法，感悟问题研究的基本策略，进一步提升了学生思维的品质，发展了他们的创造性思维.高三数学教学中，我们要改变学生单纯地接受性学习方式，改变“死”做题的学习方式，要让学生融入探索和研究的情景，要不断提高学生的数学知识水平，培养问题意识、敏锐的观察能力、丰富的想象能力、发散的思维能力和深刻的洞察能力等技能要素，使变式教学真正成为激活学生思维的钥匙.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
在一次温州市乐清与龙湾跨区域的高三数学教学联谊研讨活动中，其中“导数的应用（一）”（利用导数研究函数的单调性）这节公开课让与会人员感悟至深，课堂教学中不仅考查学生的解题能力，还考查学生提出问题的能力，执教者从问题情景的设置、师生互动的和谐、恰时恰点的提问、激活思维的变式、扎实有效的功底给观课老师留下了深刻印象.同时也给评课带来了许多不同的着力点，给联谊研讨活动留下了很大的反思与探讨的空间，与会教师都觉得收获颇丰.下面是“导数的应用（一）”的教学案例.
一、奠 基
问题 判断函数f(x)＝x-ln(x+2)，x∈(0,＋∞)的单调性.
师：判断函数的单调性有哪些方法？
生1：图像法、定义法、利用已知函数单调性法（如复合函数、单调函数的加、乘等）、导数法.
生2：此题用前三种方法都不合适，应用导数法.
师：导数法的理论依据是什么？
生3：f(x)在(a,b)内可导，若f′(x)>0(f′(x)<0),则f(x)在(a,b)上为增（减）函数.
略解 ∵f′(x)＝12x-12-1x+2=(x-1)2+12x(x+2)>0，
∴f(x)在x∈(0,+∞)是增函数.
二、变式与探究
1.信息变迁
变式一 题中“2”改为“1”，即判断函数f(x)＝x-ln(x+1)，x∈(0,＋∞)的单调性.
生4：做法类似，即f′(x)＝…=(x-1)22x(x+1)≥0，∴f(x)在x∈(0,+∞)是增函数.
生５：不对，因为f(x)在(a,b)内可导，若f′(x)>0，则f(x)在(a,b)上为增函数；若f′(x)＝0，则f(x)在(a,b)上为常函数.所以应区别对待.
生６：没有关系，只有x＝１时f′(x)＝0.
生７：在某点f′(x)＝0，又f(x)在该点连续（可导必连续），不影响结果.
生８：多几点也没关系.
师：f(x)在(a,b)内可导，有限多个点处f′(x)＝0，而其余各点处f′(x)同为正（或同为负），则f(x)在这个区间仍是增（减）函数.
总结 f(x)在(a,b)内可导.
①当f′(x)>0时，f(x)在(a,b)上为增函数；
当f′(x)<0时，f(x)在(a,b)上为减函数；
当f′(x)＝0时，f(x)在(a,b)上为常函数.
②若f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且有限多个点处f′(x)＝0，则f(x)在(a,b)上仍为增（减）函数.
③f(x)在(a,b)上为增（减）函数，f′(x)≥0(f′(x)≤0).
练习1
①设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图像如图所示，则导函数y=f′(x)的图像可能是().
②判断函数y=x3的单调区间.
③已知函数y=12x3+2x2+x+2，则它的单调递增区间是().
A.(-2,+∞)
B.-1,-13
C.(-∞,-1)与-13,+∞
D.R
学生解后口答：①D；②（-∞，+∞)；③B.
师：有了导数这个工具，函数的单调性很容易判断，下面继续用这个工具研究函数的单调性.
2.条件变迁
变式二 变式一中“１”改为“a”,题目改为：已知a>0时，函数f(x)=x-ln(x＋a)，x∈（0，+∞)的单调区间恰有三个，求a的取值范围.
师：其实也需求f(x)的单调区间.
生9：f′(x)＝…=(x-1)2+(a-1)2x(x+a).
当a>1时，f′(x)>0，∴f(x)在x∈(0,+∞)是增函数.
当a=1时，f′(x)≥0，其中x=1时f′(x)=0，x≠1时f′(x)>0，∴f(x)在x∈(0,+∞)仍是增函数.∴a≥1时不合题意.
当0
师：若将题目改为：当a>0时，判断函数f(x)＝x-ln(x+a)，x∈(0,＋∞)的单调性.
生10：与上题类似.
师：这就是高考的一道解答题，此题蕴涵着数学中重要的思想方法：分类讨论.你看，我们在不知不觉中解决了一道高考题.咦，高考题其实也不难嘛！高考真的离我们越来越近了.（学生会心地笑了）
练习2
①如果f(x)=ax3-x2+x-5在x∈(-∞,+∞)上单调递增，则a的取值范围是.
②研究函数f(x)=ax3+bx2-1ax+1的单调性，其中a≠0.
解 ①由题意，得f′(x)=3ax2-2x+1≥0恒成立.
当a=0时，不合题意；
当a≠0时，a>0，Δ≤0，即a≥13.
②∵f′(x)=3ax2+2bx-1a，
当a＞0时,f′(x)＞0,则f(x)在-∞,-b-b2+33a，-b+b2+33a，+∞上单调递增，在-b-b2+33a，-b+b2+33a上单调递减.
当a＜0时,则f(x)在-b-b2+33a，-b+b2+33a上单调递增，在-∞,-b-b2+33a，-b+b2+33a，+∞上单调递减.
3.拓展信息
变式三 求证：x≥lnx+1.
生11：可用图像法，在同一坐标系中画出y=x，y=lnx+1的图像，图y=x在图y=lnx+1的上方即可.
生12：图像法只能初步判断，不能作为严格证明的依据.
师：可否由变式一得到启发？（停顿片刻）
生13：构造函数f(x)＝x-ln(x+1).
∵f′(x)＝…=(x-1)22x(x+1)≥0，
∴f(x)在x∈(0,+∞)是增函数.
又 f(x)在x=0处右连续，
∴f(x)在x∈［0,+∞)是增函数.
∴当x≥0时，f(x)≥f(0)=0，∴x≥lnx+1.
师：此题用初等方法较难解决，而通过构造函数，用导数法轻松地解决了，这充分体现了导数的优越性.
4.存在性变迁
变式四 求证：方程x=lnx+1只有一个实根x=0.
师：此题应分两步：先证有，再证只有.
生14：方程中必须满足x≥0.
当x=0时，左=0，右=0，
∴方程x=lnx+1有一个实根x=0.
构造函数f(x)＝x-ln(x+1).
∵当x＞0时，f′(x)＝…=(x-1)22x(x+1)≥0，
∴f(x)在x∈(0,+∞)是增函数，
∴f(x)＞f(0)=0，即x＞lnx+1，
∴方程x=lnx+1只有一个实根x=0.
师：通过利用导数判断函数的单调性，不仅能证明不等式，而且能证明方程根的问题.
练习3 已知0＜x＜π2,求证：tanx＞x.
证明 设f(x)=tanx-x，∵0＜x＜π2，
∴f′(x)=sinxcosx′-1=sin2x+cos2xcos2x-1
=sec2x-1=tan2x＞0.
∴f(x)在0，π2是增函数，
∴f(x)＞f(0)=0，∴tanx＞x.
师：用导数这个工具研究函数的单调性有很大的优越性，多用工具，用好工具，你将受益匪浅.
5.反思性思考
变式五 在函数f(x)的连续区间内，如果在有限多个点处f′(x)＝０或f′(x)不存在，而在其余各点处导数均为正（负），那么函数f(x)在这个区间上仍是单调递增（减）吗？（提示：借助函数y＝x3,y=x13可说明）
三、案例反思
1.本设计中一道题和五种变式是渐进的、有层次的，每一变式都是在上一变式的基础上进行的，每一变式都为下一变式的解决搭桥铺路，使得整堂课从浅到深，从易到难，融会贯通，一气呵成，符合学生的认知规律.
2.从变式一中f′(x)≥0的讨论、变式二分类讨论思想的渗透、变式三的思维拓展、变式四函数的构造、变式五反思性思考，串成了本节课的一个链条，这样的设计有利于分散难点，达到突破难点的作用，同时也突出了重点.
3.对于高三复习，教师设计例子的时间花得多一点，学生练习的时间就会少一点；设计的例题精一点，学生就会学得活一点、轻松一点.在实际教学中我们应摒弃题海战术，积极采用变式教学，将题目串点成线，“变”既可以变内容，也可以变形式，还可以变问题的情景，等等，对于同一个规则可以设计出各种不同的形式.
由此案例，通过多方位、多角度地对问题研究到问题提出的过程加以变式、改造和拓展，运用数学研究的思想方法，感悟问题研究的基本策略，进一步提升了学生思维的品质，发展了他们的创造性思维.高三数学教学中，我们要改变学生单纯地接受性学习方式，改变“死”做题的学习方式，要让学生融入探索和研究的情景，要不断提高学生的数学知识水平，培养问题意识、敏锐的观察能力、丰富的想象能力、发散的思维能力和深刻的洞察能力等技能要素，使变式教学真正成为激活学生思维的钥匙.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文