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《数学课程标准》关于高中数学学习的教学目标之一:学会自主进行学习,独立探究问题;对知识进行系统整理;会对已有的知识经验进行反思、质疑,有发散思维和求异思维的积极心向,能提出自己的独立见解.提出问题不仅有利于促进学生对数学知识的理解,提高他们的学习兴趣,而且有助于培养学生发现问题的创造潜能,为终身学习和毕生的发展奠定基础.众所周知,高三数学总复习内容多,范围广,既要狠抓基础,系统整理知识的脉络结构,查漏补缺,又得兼顾提高,融会贯通,面对千头万绪,如何有条不紊地帮助学生通过观察,搜索,整理积累,抽象概括,创造性地进行复习,提高学生的数学素养,是每一个高三教师面临的重要课题.我们认为在实际教学中,应摒弃题海战术,积极采用变式教学,串点成线,精心选编复习内容,将有利于提高高三数学复习教学效率.
在一次温州市乐清与龙湾跨区域的高三数学教学联谊研讨活动中,其中“导数的应用(一)”(利用导数研究函数的单调性)这节公开课让与会人员感悟至深,课堂教学中不仅考查学生的解题能力,还考查学生提出问题的能力,执教者从问题情景的设置、师生互动的和谐、恰时恰点的提问、激活思维的变式、扎实有效的功底给观课老师留下了深刻印象.同时也给评课带来了许多不同的着力点,给联谊研讨活动留下了很大的反思与探讨的空间,与会教师都觉得收获颇丰.下面是“导数的应用(一)”的教学案例.
一、奠 基
问题 判断函数f(x)=x-ln(x+2),x∈(0,+∞)的单调性.
师:判断函数的单调性有哪些方法?
生1:图像法、定义法、利用已知函数单调性法(如复合函数、单调函数的加、乘等)、导数法.
生2:此题用前三种方法都不合适,应用导数法.
师:导数法的理论依据是什么?
生3:f(x)在(a,b)内可导,若f′(x)>0(f′(x)<0),则f(x)在(a,b)上为增(减)函数.
略解 ∵f′(x)=12x-12-1x+2=(x-1)2+12x(x+2)>0,
∴f(x)在x∈(0,+∞)是增函数.
二、变式与探究
1.信息变迁
变式一 题中“2”改为“1”,即判断函数f(x)=x-ln(x+1),x∈(0,+∞)的单调性.
生4:做法类似,即f′(x)=…=(x-1)22x(x+1)≥0,∴f(x)在x∈(0,+∞)是增函数.
生5:不对,因为f(x)在(a,b)内可导,若f′(x)>0,则f(x)在(a,b)上为增函数;若f′(x)=0,则f(x)在(a,b)上为常函数.所以应区别对待.
生6:没有关系,只有x=1时f′(x)=0.
生7:在某点f′(x)=0,又f(x)在该点连续(可导必连续),不影响结果.
生8:多几点也没关系.
师:f(x)在(a,b)内可导,有限多个点处f′(x)=0,而其余各点处f′(x)同为正(或同为负),则f(x)在这个区间仍是增(减)函数.
总结 f(x)在(a,b)内可导.
①当f′(x)>0时,f(x)在(a,b)上为增函数;
当f′(x)<0时,f(x)在(a,b)上为减函数;
当f′(x)=0时,f(x)在(a,b)上为常函数.
②若f′(x)≥0(f′(x)≤0),且有限多个点处f′(x)=0,则f(x)在(a,b)上仍为增(减)函数.
③f(x)在(a,b)上为增(减)函数,f′(x)≥0(f′(x)≤0).
练习1
①设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图像如图所示,则导函数y=f′(x)的图像可能是().
②判断函数y=x3的单调区间.
③已知函数y=12x3+2x2+x+2,则它的单调递增区间是().
A.(-2,+∞)
B.-1,-13
C.(-∞,-1)与-13,+∞
D.R
学生解后口答:①D;②(-∞,+∞);③B.
师:有了导数这个工具,函数的单调性很容易判断,下面继续用这个工具研究函数的单调性.
2.条件变迁
变式二 变式一中“1”改为“a”,题目改为:已知a>0时,函数f(x)=x-ln(x+a),x∈(0,+∞)的单调区间恰有三个,求a的取值范围.
师:其实也需求f(x)的单调区间.
生9:f′(x)=…=(x-1)2+(a-1)2x(x+a).
当a>1时,f′(x)>0,∴f(x)在x∈(0,+∞)是增函数.
当a=1时,f′(x)≥0,其中x=1时f′(x)=0,x≠1时f′(x)>0,∴f(x)在x∈(0,+∞)仍是增函数.∴a≥1时不合题意.
当0 综上所述:0<a<1.
师:若将题目改为:当a>0时,判断函数f(x)=x-ln(x+a),x∈(0,+∞)的单调性.
生10:与上题类似.
师:这就是高考的一道解答题,此题蕴涵着数学中重要的思想方法:分类讨论.你看,我们在不知不觉中解决了一道高考题.咦,高考题其实也不难嘛!高考真的离我们越来越近了.(学生会心地笑了)
练习2
①如果f(x)=ax3-x2+x-5在x∈(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是.
②研究函数f(x)=ax3+bx2-1ax+1的单调性,其中a≠0.
解 ①由题意,得f′(x)=3ax2-2x+1≥0恒成立.
当a=0时,不合题意;
当a≠0时,a>0,Δ≤0,即a≥13.
②∵f′(x)=3ax2+2bx-1a,
当a>0时,f′(x)>0,则f(x)在-∞,-b-b2+33a,-b+b2+33a,+∞上单调递增,在-b-b2+33a,-b+b2+33a上单调递减.
当a<0时,则f(x)在-b-b2+33a,-b+b2+33a上单调递增,在-∞,-b-b2+33a,-b+b2+33a,+∞上单调递减.
3.拓展信息
变式三 求证:x≥lnx+1.
生11:可用图像法,在同一坐标系中画出y=x,y=lnx+1的图像,图y=x在图y=lnx+1的上方即可.
生12:图像法只能初步判断,不能作为严格证明的依据.
师:可否由变式一得到启发?(停顿片刻)
生13:构造函数f(x)=x-ln(x+1).
∵f′(x)=…=(x-1)22x(x+1)≥0,
∴f(x)在x∈(0,+∞)是增函数.
又 f(x)在x=0处右连续,
∴f(x)在x∈[0,+∞)是增函数.
∴当x≥0时,f(x)≥f(0)=0,∴x≥lnx+1.
师:此题用初等方法较难解决,而通过构造函数,用导数法轻松地解决了,这充分体现了导数的优越性.
4.存在性变迁
变式四 求证:方程x=lnx+1只有一个实根x=0.
师:此题应分两步:先证有,再证只有.
生14:方程中必须满足x≥0.
当x=0时,左=0,右=0,
∴方程x=lnx+1有一个实根x=0.
构造函数f(x)=x-ln(x+1).
∵当x>0时,f′(x)=…=(x-1)22x(x+1)≥0,
∴f(x)在x∈(0,+∞)是增函数,
∴f(x)>f(0)=0,即x>lnx+1,
∴方程x=lnx+1只有一个实根x=0.
师:通过利用导数判断函数的单调性,不仅能证明不等式,而且能证明方程根的问题.
练习3 已知0<x<π2,求证:tanx>x.
证明 设f(x)=tanx-x,∵0<x<π2,
∴f′(x)=sinxcosx′-1=sin2x+cos2xcos2x-1
=sec2x-1=tan2x>0.
∴f(x)在0,π2是增函数,
∴f(x)>f(0)=0,∴tanx>x.
师:用导数这个工具研究函数的单调性有很大的优越性,多用工具,用好工具,你将受益匪浅.
5.反思性思考
变式五 在函数f(x)的连续区间内,如果在有限多个点处f′(x)=0或f′(x)不存在,而在其余各点处导数均为正(负),那么函数f(x)在这个区间上仍是单调递增(减)吗?(提示:借助函数y=x3,y=x13可说明)
三、案例反思
1.本设计中一道题和五种变式是渐进的、有层次的,每一变式都是在上一变式的基础上进行的,每一变式都为下一变式的解决搭桥铺路,使得整堂课从浅到深,从易到难,融会贯通,一气呵成,符合学生的认知规律.
2.从变式一中f′(x)≥0的讨论、变式二分类讨论思想的渗透、变式三的思维拓展、变式四函数的构造、变式五反思性思考,串成了本节课的一个链条,这样的设计有利于分散难点,达到突破难点的作用,同时也突出了重点.
3.对于高三复习,教师设计例子的时间花得多一点,学生练习的时间就会少一点;设计的例题精一点,学生就会学得活一点、轻松一点.在实际教学中我们应摒弃题海战术,积极采用变式教学,将题目串点成线,“变”既可以变内容,也可以变形式,还可以变问题的情景,等等,对于同一个规则可以设计出各种不同的形式.
由此案例,通过多方位、多角度地对问题研究到问题提出的过程加以变式、改造和拓展,运用数学研究的思想方法,感悟问题研究的基本策略,进一步提升了学生思维的品质,发展了他们的创造性思维.高三数学教学中,我们要改变学生单纯地接受性学习方式,改变“死”做题的学习方式,要让学生融入探索和研究的情景,要不断提高学生的数学知识水平,培养问题意识、敏锐的观察能力、丰富的想象能力、发散的思维能力和深刻的洞察能力等技能要素,使变式教学真正成为激活学生思维的钥匙.
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
在一次温州市乐清与龙湾跨区域的高三数学教学联谊研讨活动中,其中“导数的应用(一)”(利用导数研究函数的单调性)这节公开课让与会人员感悟至深,课堂教学中不仅考查学生的解题能力,还考查学生提出问题的能力,执教者从问题情景的设置、师生互动的和谐、恰时恰点的提问、激活思维的变式、扎实有效的功底给观课老师留下了深刻印象.同时也给评课带来了许多不同的着力点,给联谊研讨活动留下了很大的反思与探讨的空间,与会教师都觉得收获颇丰.下面是“导数的应用(一)”的教学案例.
一、奠 基
问题 判断函数f(x)=x-ln(x+2),x∈(0,+∞)的单调性.
师:判断函数的单调性有哪些方法?
生1:图像法、定义法、利用已知函数单调性法(如复合函数、单调函数的加、乘等)、导数法.
生2:此题用前三种方法都不合适,应用导数法.
师:导数法的理论依据是什么?
生3:f(x)在(a,b)内可导,若f′(x)>0(f′(x)<0),则f(x)在(a,b)上为增(减)函数.
略解 ∵f′(x)=12x-12-1x+2=(x-1)2+12x(x+2)>0,
∴f(x)在x∈(0,+∞)是增函数.
二、变式与探究
1.信息变迁
变式一 题中“2”改为“1”,即判断函数f(x)=x-ln(x+1),x∈(0,+∞)的单调性.
生4:做法类似,即f′(x)=…=(x-1)22x(x+1)≥0,∴f(x)在x∈(0,+∞)是增函数.
生5:不对,因为f(x)在(a,b)内可导,若f′(x)>0,则f(x)在(a,b)上为增函数;若f′(x)=0,则f(x)在(a,b)上为常函数.所以应区别对待.
生6:没有关系,只有x=1时f′(x)=0.
生7:在某点f′(x)=0,又f(x)在该点连续(可导必连续),不影响结果.
生8:多几点也没关系.
师:f(x)在(a,b)内可导,有限多个点处f′(x)=0,而其余各点处f′(x)同为正(或同为负),则f(x)在这个区间仍是增(减)函数.
总结 f(x)在(a,b)内可导.
①当f′(x)>0时,f(x)在(a,b)上为增函数;
当f′(x)<0时,f(x)在(a,b)上为减函数;
当f′(x)=0时,f(x)在(a,b)上为常函数.
②若f′(x)≥0(f′(x)≤0),且有限多个点处f′(x)=0,则f(x)在(a,b)上仍为增(减)函数.
③f(x)在(a,b)上为增(减)函数,f′(x)≥0(f′(x)≤0).
练习1
①设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图像如图所示,则导函数y=f′(x)的图像可能是().
②判断函数y=x3的单调区间.
③已知函数y=12x3+2x2+x+2,则它的单调递增区间是().
A.(-2,+∞)
B.-1,-13
C.(-∞,-1)与-13,+∞
D.R
学生解后口答:①D;②(-∞,+∞);③B.
师:有了导数这个工具,函数的单调性很容易判断,下面继续用这个工具研究函数的单调性.
2.条件变迁
变式二 变式一中“1”改为“a”,题目改为:已知a>0时,函数f(x)=x-ln(x+a),x∈(0,+∞)的单调区间恰有三个,求a的取值范围.
师:其实也需求f(x)的单调区间.
生9:f′(x)=…=(x-1)2+(a-1)2x(x+a).
当a>1时,f′(x)>0,∴f(x)在x∈(0,+∞)是增函数.
当a=1时,f′(x)≥0,其中x=1时f′(x)=0,x≠1时f′(x)>0,∴f(x)在x∈(0,+∞)仍是增函数.∴a≥1时不合题意.
当0 综上所述:0<a<1.
师:若将题目改为:当a>0时,判断函数f(x)=x-ln(x+a),x∈(0,+∞)的单调性.
生10:与上题类似.
师:这就是高考的一道解答题,此题蕴涵着数学中重要的思想方法:分类讨论.你看,我们在不知不觉中解决了一道高考题.咦,高考题其实也不难嘛!高考真的离我们越来越近了.(学生会心地笑了)
练习2
①如果f(x)=ax3-x2+x-5在x∈(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是.
②研究函数f(x)=ax3+bx2-1ax+1的单调性,其中a≠0.
解 ①由题意,得f′(x)=3ax2-2x+1≥0恒成立.
当a=0时,不合题意;
当a≠0时,a>0,Δ≤0,即a≥13.
②∵f′(x)=3ax2+2bx-1a,
当a>0时,f′(x)>0,则f(x)在-∞,-b-b2+33a,-b+b2+33a,+∞上单调递增,在-b-b2+33a,-b+b2+33a上单调递减.
当a<0时,则f(x)在-b-b2+33a,-b+b2+33a上单调递增,在-∞,-b-b2+33a,-b+b2+33a,+∞上单调递减.
3.拓展信息
变式三 求证:x≥lnx+1.
生11:可用图像法,在同一坐标系中画出y=x,y=lnx+1的图像,图y=x在图y=lnx+1的上方即可.
生12:图像法只能初步判断,不能作为严格证明的依据.
师:可否由变式一得到启发?(停顿片刻)
生13:构造函数f(x)=x-ln(x+1).
∵f′(x)=…=(x-1)22x(x+1)≥0,
∴f(x)在x∈(0,+∞)是增函数.
又 f(x)在x=0处右连续,
∴f(x)在x∈[0,+∞)是增函数.
∴当x≥0时,f(x)≥f(0)=0,∴x≥lnx+1.
师:此题用初等方法较难解决,而通过构造函数,用导数法轻松地解决了,这充分体现了导数的优越性.
4.存在性变迁
变式四 求证:方程x=lnx+1只有一个实根x=0.
师:此题应分两步:先证有,再证只有.
生14:方程中必须满足x≥0.
当x=0时,左=0,右=0,
∴方程x=lnx+1有一个实根x=0.
构造函数f(x)=x-ln(x+1).
∵当x>0时,f′(x)=…=(x-1)22x(x+1)≥0,
∴f(x)在x∈(0,+∞)是增函数,
∴f(x)>f(0)=0,即x>lnx+1,
∴方程x=lnx+1只有一个实根x=0.
师:通过利用导数判断函数的单调性,不仅能证明不等式,而且能证明方程根的问题.
练习3 已知0<x<π2,求证:tanx>x.
证明 设f(x)=tanx-x,∵0<x<π2,
∴f′(x)=sinxcosx′-1=sin2x+cos2xcos2x-1
=sec2x-1=tan2x>0.
∴f(x)在0,π2是增函数,
∴f(x)>f(0)=0,∴tanx>x.
师:用导数这个工具研究函数的单调性有很大的优越性,多用工具,用好工具,你将受益匪浅.
5.反思性思考
变式五 在函数f(x)的连续区间内,如果在有限多个点处f′(x)=0或f′(x)不存在,而在其余各点处导数均为正(负),那么函数f(x)在这个区间上仍是单调递增(减)吗?(提示:借助函数y=x3,y=x13可说明)
三、案例反思
1.本设计中一道题和五种变式是渐进的、有层次的,每一变式都是在上一变式的基础上进行的,每一变式都为下一变式的解决搭桥铺路,使得整堂课从浅到深,从易到难,融会贯通,一气呵成,符合学生的认知规律.
2.从变式一中f′(x)≥0的讨论、变式二分类讨论思想的渗透、变式三的思维拓展、变式四函数的构造、变式五反思性思考,串成了本节课的一个链条,这样的设计有利于分散难点,达到突破难点的作用,同时也突出了重点.
3.对于高三复习,教师设计例子的时间花得多一点,学生练习的时间就会少一点;设计的例题精一点,学生就会学得活一点、轻松一点.在实际教学中我们应摒弃题海战术,积极采用变式教学,将题目串点成线,“变”既可以变内容,也可以变形式,还可以变问题的情景,等等,对于同一个规则可以设计出各种不同的形式.
由此案例,通过多方位、多角度地对问题研究到问题提出的过程加以变式、改造和拓展,运用数学研究的思想方法,感悟问题研究的基本策略,进一步提升了学生思维的品质,发展了他们的创造性思维.高三数学教学中,我们要改变学生单纯地接受性学习方式,改变“死”做题的学习方式,要让学生融入探索和研究的情景,要不断提高学生的数学知识水平,培养问题意识、敏锐的观察能力、丰富的想象能力、发散的思维能力和深刻的洞察能力等技能要素,使变式教学真正成为激活学生思维的钥匙.
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文