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【摘要】作为高中数学核心素养六大素养之一的数学建模素养，现在已经得到社会广泛的关注和重视。数学建模素养的培养融入到数学教学已经势不可挡。本文以两道统计概率高考题为例，探究高中学生数学建模素养的培养和发展，提高学生从实际问题出发，提炼数学模型，最后解决问题的能力，为培养全面发展的人才而努力。
【关键词】数学建模； 素养；高考
随着现代社会的飞速发展，数学在各个领域的应用也越来越多，而数学教育向数学应用发展的趋势也更加明显，作为应用之一的建模已成为数学教育重点关注的对象。2017版《普通高中数学课程标准》明确提出了六大核心素养，即逻辑推理、数学建模、直观想象、数学抽象、数据分析和数学运算，这些数学学科核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体。新课标里纳入了数学建模，并对其提出原则性的要求和建议，高考中应用性问题的地位也不断提升。
数学建模是对实际生活中的问题进行分析，用数学的语言抽象提炼，最后把问题解决的过程，操作过程为：在具体情形中，从数学的角度发现问题、提炼问题、展开问题、建立模型、得到结论、验证结果，完善模型，最后使问题得到解决。概率统计问题中的二项分布、超几何分布、正态分布，统计问题中的频率分布直方图、茎叶图、回归方程，独立性检验等都是很重要的数学模型。
例一：（2017年全国Ⅱ卷·理18/文19）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下。
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg， 新养殖法的箱产量不低于50kg，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）
解析：（1）舊养殖法的箱产量低于50kg的频率为：0.012×5 0.014×5 0.024×5 0.034×5 0.040×5=0.62。由于两种养殖方法的箱产量相互独立，于是P（A）=0.62×0.66=0.4092。
（2）旧养殖法的箱产量低于50kg的有100×0.62=62箱，不低于50kg的有38箱，新养殖法的箱产量不低于50kg的有100×0.66=66箱，低于50kg的有34箱，得到2×2列联表如下：
所以
∴K2>6.635，所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。
（3）根据箱产量的频率分布直方图，新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为0.038×5 0.046×5 0.010×5 0.008×5=0.66>0.50，不低于55kg的频率为0.046×5 0.010×5 0.008×5=0.32<0.50，于是新养殖法箱产量的中位数介于50kg到55kg之间，设新养殖法箱产量的中位数为x，则有（55-x）×0.068 0.046×5 0.010×5 0.008×5=0.50，解得x=52.3529。因此，新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35。
试题以养殖水产为题材，贴近生活实际，所用概率和统计知识也不复杂，题目除了考查学生的文字阅读能力，更是主要考查了学生通过数学建模来处理、解决现实生活问题的能力，贴近学生应用能力的真实水平。
例二：（2014年全国I卷，理18）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得出如下频率分布直方图。
（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 s2（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，δ2），其中μ近似为样本平均数 ，δ2近似为样本方差s2。
①利用该正态分布，求P（187.8 ②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用①的结果，求EX。
附： ；若Z～N（μ，δ2） ，则P（μ-δ 解析：（1） 抽取产品质量指标值的样本平均数 和样本方差s2分别为 =170×0.02 180×0.09 190×0.22 200×0.33 210×0.24 220×0.08 230×0.02=200
（2）①由（1）知Z～N（200，150），从而P（187.8 ②由①知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826。依题意知X：B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26。
试题以直方图的形式给出分组数据，直观图不仅以直观形式显示数据，还可以通过直方图大致判断总体的分布类型，本题中的直方图显示了分布的特征：中间高，两边低，左右对称，这正是正态分布的特征，因此用正态分布拟合产品质量指标是合理的，这也是统计建模的简单而又非常重要的思想方法，试题还考查了二项分布模型及其应用。
数学建模是联系数学与外界的纽带，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学知识解决现实生活问题的基本手段。数学建模能力的培养就是要使学生能够在实际情境中提炼出问题；能够针对问题建立数学模型；会用数学模型解决问题，从而提升应用能力，增强创新意识。
概率统计问题一直对数学的应用比较重视，并且考查的形式比较灵活，不是一成不变的，对考生的数学建模能力要求较高。就是解答题的阅读量较大，语言比较难以理解，数量关系太多，这些造成了很多考生理解问题的障碍，使用了错误的模型解答问题。要提高学生建立数学模型解决实际问题的能力，从教学策略的角度考虑是目前比较恰当的方法：
1.重视培养和提高学生数学建模素养，提高其兴趣
数学建模素养培养和提高不是简单的让学生记住数学建模遵循哪些原则、有哪些模型或者建模有哪些步骤，而是在数学建模的教学过程中，让学生体会数学建模的用处，感受其精妙之处，提高学习的兴趣，通过亲身经历建模过程，获得建模能力，培养和提高数学建模素养。
2.选择贴近学生生活的素材进行数学建模教学
很多学生怕数学建模，第一自己缺乏信心，原因在于建模的问题远离生活、远离学生的实际，让建模贴近学生，选择现实生活中学生经常接触的问题进行建模研究，提高学生对数学建模的热情和信心。
3.倡导探究式学习方式，多设置开放性问题
在数学建模学习过程中，可以提倡学生采取小组合作式的方法，一起探究问题、分析问题，从而得出结论，在问题的设置时可以采取开放式的问法，让学生可以多角度的考虑问题、评价问题。
4.组织形式多样的数学建模实践，丰富学生的数学建模知识
适当的组织数学建模实践活动。比如，数学建模社团、数学建模竞赛、社会探究活动等，让学生不用固守在一成不变的学习里，释放学习压力，丰富知识，通过多元化的学习来提高数学建模能力。
数学建模本身就来源于现实世界，数学建模是将现实中存在的问题通过分析整理，变为相应的数学问题，从数学的视角去深入分析并解决，并把所得的结论应用于生活中。随着社会的发展和进步，人们对数学建模提出了更新更高的要求，培养和发展学生的数学建模素养是教育和社会的需要。在中学数学教育中，教师应强调理论与实际的联系，把在常规教学中体现和强调数学建模的思想，提升学生的实际应用能力，为培养全面发展的人奠定坚实的基础。
参考文献：
[1]叶亚.高中生数学建模能力培养研究[D].湖南科技大学，2017（5）.
[2]章建跃.高中数学教材落实狠心素养的几点思考[J]课程·教材·教法，2016（7）.
[3]罗丹丹，袁世芳，蔡玮.基于数学建模素养的高中教学策略研究[J].读与写杂志，2018（7）.
[4]教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].人民教育出版社，2018（2）.
【关键词】数学建模； 素养；高考
随着现代社会的飞速发展，数学在各个领域的应用也越来越多，而数学教育向数学应用发展的趋势也更加明显，作为应用之一的建模已成为数学教育重点关注的对象。2017版《普通高中数学课程标准》明确提出了六大核心素养，即逻辑推理、数学建模、直观想象、数学抽象、数据分析和数学运算，这些数学学科核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体。新课标里纳入了数学建模，并对其提出原则性的要求和建议，高考中应用性问题的地位也不断提升。
数学建模是对实际生活中的问题进行分析，用数学的语言抽象提炼，最后把问题解决的过程，操作过程为：在具体情形中，从数学的角度发现问题、提炼问题、展开问题、建立模型、得到结论、验证结果，完善模型，最后使问题得到解决。概率统计问题中的二项分布、超几何分布、正态分布，统计问题中的频率分布直方图、茎叶图、回归方程，独立性检验等都是很重要的数学模型。
例一：（2017年全国Ⅱ卷·理18/文19）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下。
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg， 新养殖法的箱产量不低于50kg，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）
解析：（1）舊养殖法的箱产量低于50kg的频率为：0.012×5 0.014×5 0.024×5 0.034×5 0.040×5=0.62。由于两种养殖方法的箱产量相互独立，于是P（A）=0.62×0.66=0.4092。
（2）旧养殖法的箱产量低于50kg的有100×0.62=62箱，不低于50kg的有38箱，新养殖法的箱产量不低于50kg的有100×0.66=66箱，低于50kg的有34箱，得到2×2列联表如下：
所以
∴K2>6.635，所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。
（3）根据箱产量的频率分布直方图，新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为0.038×5 0.046×5 0.010×5 0.008×5=0.66>0.50，不低于55kg的频率为0.046×5 0.010×5 0.008×5=0.32<0.50，于是新养殖法箱产量的中位数介于50kg到55kg之间，设新养殖法箱产量的中位数为x，则有（55-x）×0.068 0.046×5 0.010×5 0.008×5=0.50，解得x=52.3529。因此，新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35。
试题以养殖水产为题材，贴近生活实际，所用概率和统计知识也不复杂，题目除了考查学生的文字阅读能力，更是主要考查了学生通过数学建模来处理、解决现实生活问题的能力，贴近学生应用能力的真实水平。
例二：（2014年全国I卷，理18）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得出如下频率分布直方图。
（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 s2（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，δ2），其中μ近似为样本平均数 ，δ2近似为样本方差s2。
①利用该正态分布，求P（187.8
附： ；若Z～N（μ，δ2） ，则P（μ-δ
（2）①由（1）知Z～N（200，150），从而P（187.8
试题以直方图的形式给出分组数据，直观图不仅以直观形式显示数据，还可以通过直方图大致判断总体的分布类型，本题中的直方图显示了分布的特征：中间高，两边低，左右对称，这正是正态分布的特征，因此用正态分布拟合产品质量指标是合理的，这也是统计建模的简单而又非常重要的思想方法，试题还考查了二项分布模型及其应用。
数学建模是联系数学与外界的纽带，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学知识解决现实生活问题的基本手段。数学建模能力的培养就是要使学生能够在实际情境中提炼出问题；能够针对问题建立数学模型；会用数学模型解决问题，从而提升应用能力，增强创新意识。
概率统计问题一直对数学的应用比较重视，并且考查的形式比较灵活，不是一成不变的，对考生的数学建模能力要求较高。就是解答题的阅读量较大，语言比较难以理解，数量关系太多，这些造成了很多考生理解问题的障碍，使用了错误的模型解答问题。要提高学生建立数学模型解决实际问题的能力，从教学策略的角度考虑是目前比较恰当的方法：
1.重视培养和提高学生数学建模素养，提高其兴趣
数学建模素养培养和提高不是简单的让学生记住数学建模遵循哪些原则、有哪些模型或者建模有哪些步骤，而是在数学建模的教学过程中，让学生体会数学建模的用处，感受其精妙之处，提高学习的兴趣，通过亲身经历建模过程，获得建模能力，培养和提高数学建模素养。
2.选择贴近学生生活的素材进行数学建模教学
很多学生怕数学建模，第一自己缺乏信心，原因在于建模的问题远离生活、远离学生的实际，让建模贴近学生，选择现实生活中学生经常接触的问题进行建模研究，提高学生对数学建模的热情和信心。
3.倡导探究式学习方式，多设置开放性问题
在数学建模学习过程中，可以提倡学生采取小组合作式的方法，一起探究问题、分析问题，从而得出结论，在问题的设置时可以采取开放式的问法，让学生可以多角度的考虑问题、评价问题。
4.组织形式多样的数学建模实践，丰富学生的数学建模知识
适当的组织数学建模实践活动。比如，数学建模社团、数学建模竞赛、社会探究活动等，让学生不用固守在一成不变的学习里，释放学习压力，丰富知识，通过多元化的学习来提高数学建模能力。
数学建模本身就来源于现实世界，数学建模是将现实中存在的问题通过分析整理，变为相应的数学问题，从数学的视角去深入分析并解决，并把所得的结论应用于生活中。随着社会的发展和进步，人们对数学建模提出了更新更高的要求，培养和发展学生的数学建模素养是教育和社会的需要。在中学数学教育中，教师应强调理论与实际的联系，把在常规教学中体现和强调数学建模的思想，提升学生的实际应用能力，为培养全面发展的人奠定坚实的基础。
参考文献：
[1]叶亚.高中生数学建模能力培养研究[D].湖南科技大学，2017（5）.
[2]章建跃.高中数学教材落实狠心素养的几点思考[J]课程·教材·教法，2016（7）.
[3]罗丹丹，袁世芳，蔡玮.基于数学建模素养的高中教学策略研究[J].读与写杂志，2018（7）.
[4]教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].人民教育出版社，2018（2）.