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【摘要】：交流电机结构简单、可靠，在工业生产中得到广泛应用，交流电机在运行过程中，定子绕组端部在电磁力的作用下会发生振动、变形现象，严重时会造成绝缘磨损、绕组断裂。本文综述了目前交流电机端部场的研究方法和现状，分析了各类研究方法的特点，为以后准确计算交流电机绕组电磁力和应力、应变做了一个探索性工作，为交流电机的设计、制造、运行、维护提供有益的指导。
【关键词】：交流电机、端部绕组、电磁力
交流电机是基于气隙旋转磁场产生电磁转矩，从而实现能量转换，电力系统中，同步发电机将机械能转换为电能，感应电机将电能转换为机械能。交流电机在运行过程中定子绕组在槽内和端部会受到电磁力的作用。对于大中型电机，电磁力会造成端部绕组变形、振动、绝缘破损甚至断路。所以在研究电机理论和运行问题，在进行电机结构设计时，准确的分析和计算端部绕组电磁力以及其引起的应力、应变对电机的安全可靠运行有重要意义。
在传统研究中，对电机端部绕组电磁力的计算主要是通过解析法得出，但是解析法计算的时候具备一定的局限性，因为当模型结构比较复杂时，解析法的计算就存在误差。随着计算机技术的发展，人们开始采用数值计算方法对绕组端部电磁力进行分析，但主要是利用静态分析方法计算端部绕组承受的电磁力，分析结果并不准确、全面，难以对结构设计提出有效的指导方向。交流电机端部绕组的电磁力计算及由此产生的应力、应变问题一直没有被很好的解决。
要明确交流电机端部绕组在电磁力作用下的应力、应变，需要计算出电磁力密度在绕组内的分布，而磁场分布又是计算电磁力的前提。电机绕组内的交变电流在电机端部产生交变电磁场，通电导体在电磁场内会受到力。绕组在电磁力的作用下其结构会产生应力、应变。因此电磁场的分析是应力场分析的前提。
1.电机端部绕组电磁场研究的典型方法
麦克斯韦方程组是电磁场问题的理论基础。在实际的研究方法中，对不同频率、不同波长的电磁波往往有不同的研究方法。对于工业交流电机来说，其工作频率为交流50Hz，频率较低，此类问题通常可以作为涡流场计算。因而电机端部绕组槽的电磁场问题实际上可转化为涡流场求解。交流电机端部绕组数量多，同时存在铁芯、绝缘材料等不同介质，对于这种结构复杂的设备，还没有方法可以精确的计算出其电磁场分布。不过，各国学者在多年研究的基础上，目前也形成了一些方法，可以提供相对准确的结论。比如基于Biot-Savart定律的解析法，采用传感器的实验法和运用高性能计算机的数值计算法。这些方法的区别以及特点如下：
1、解析法
端部问题最早采用解析法进行研究。解析法对端部电流的分布和复杂结构均做了较大程度的简化，对端部结构件的材料特性也作了不少假设，然后应用Biot-Savart定律直接积分或用分离变量法等方法得到端部磁场的解析表达式[1]～[3]。解析表达式物理概念清晰，各物理量间的相互制约关系表达明确，对于定性分析以改进电机端部结构，提高电机性能都有很重要的意义。过去，许多学者在解析法的推导过程中提出了一些有效的简化模型，为数值计算奠定了基础。
2、实验研究法
实验研究法也是端部问题研究中的一个重要方法。它通过在真机或样机端部埋设磁通密度传感器或热电偶来实际测量电机在各种运行状态下的真实情况[4]～[6]。但此法有费用高，不易实现等缺点，限制了其应用。
3、数值计算法
20世纪60年代末，随着计算机技术的发展和普及，数值计算方法有了很大的发展。它们被广泛地应用于汽轮发电机端部场的研究中，主要采用的是有限差分法和有限元法。有限差分法因使用较早且较成熟，曾有一段时间成为研究电机端部场的主要方法。相对而言，有限单元法对几何区域有较好的适应性，对于媒质特性又易于处理。因此，有限单元法目前被广泛的应用于端部问题的研究[7]～[8]。但三维有限元计算存在着对计算机内存要求大，计算费用高等缺点。近年来，积分方程法也用于端部问题的研究，积分方程法因其变量数大大减少，内存要求远低于有限元法，计算时间也相应缩短而引人注目，并已取得了许多成果。因此，将有限单元法与边界积分耦合可能是端部问题三维数值计算方面一个很有发展前途的方向。目前常用在电磁场问题方面的数值分析方法有：模拟电荷法、矩量法、边界元法、有限差分法、有限元法、蒙特卡洛法。其中模拟电荷法，矩量法，边界元法基于麦克斯韦方程组积分形式；有限差分法、有限元法和蒙特卡罗方法基于微分形式的麦克斯韦方程；还有基于上述方法的混合法。这些方法具有不同的特点，相互补充，而不是相互替代的。
2.有限元法在端部绕组电磁场研究中的应用
作为一种数值计算方法，有限元法在结构、流体、传热等工程领域得到广泛的应用。1965年被应用于电磁场的计算，自此以后有限元在电磁场领域得到很大的发展，也推动了计算电磁学的进步，目前已取得了丰硕的成果，在二维恒定场、二维涡流场及二维瞬态场等方面的研究已接近完善。20世纪80年代初，三维场的研究迅速发展，主要研究方法包括积分方程、边界元法、有限元法及上述方法组合成的混合求解法。对于同一类型问题，有限元法既可以以标量位，也可以以矢量位作为求解变量，或者二者的组合形式。在计算电磁场邻域，有限元法既可以应用于静态场求解，也可以运用到瞬态场、正弦稳态场的计算。由于有限元法适应各类复杂形状、多样介质，建模方便，计算准确，所以相较于有限差分法、矩量法等数值计算方法，有限元法在计算电磁场领域逐步占据主导地位。
电机绕组端部磁场是大型电机设计和运行中重要问题之一，20世纪60年代国内外发表的一批论文，分析和计算端部电磁场一般采用解析法、模拟法及数值计算中的差分法。但由于发电机端部结构复杂，边界及交界形状不很规则，又属于准三维涡流场问题，结果不很理想。直到1976年奥田宏史采用有限元法进行计算才取得较好的结果[9]。 目前对绕组涡流场的研究多集中于对发电机、变压器绕组涡流场的分析，这些成果为交流电机端部绕组的分析提供了很好的理论准备。1982年胡显承、姚若萍等人提出将电机端部磁场问题归结为求解一组复方程的边值问题，通过在不同区域分别引入矢量位和标量位，证明了该问题的Galerkin形式的弱解存在的唯一性以及有限元解到真解的收敛性。并用四边形单元建立了有限元离散模型，运用于计算了汽轮发电机端部磁场和损耗，与试验结果基本符合[10]。1986年陈伟华在考虑各向异性、电流连续性条件后建立了电机端部涡流场模型，并进行了有限元离散化[11]。1993年郑啸民等人提出了在计及端部行波场各次空间谐波的情况下，应用一维解析、二维有限元数值解的方法来分析汽轮发电机端部三维磁场。在考滤到端区主要金属构件中涡流反应的影响后，仍可采用标量位来计算稳态及瞬态工况下的端区磁场[12]。1996年黄学良等建立了电机端部边值问题的等价变分形式，并进行了实例计算[13]。1996年阮江军提出了一种求解三维瞬态涡流场的新方法全H棱边有限元-边界元耦合法。即在涡流区以磁场强度H为求解变量，用棱边有限元法离散，在非涡流区以H为求解变量用棱边边界元法离散，在这两个区域的交界面上进行耦合，该方法充分发挥了有限元法和边界元法的各自优点。将全H棱边有限元一边界元耦合法运用于大型汽轮发电机端部三维瞬态涡流电磁场的计算，该方法直接计算磁场强度H减少了未知数，使计算量减少，同时也保证了端部问题数学模型的严密性[14]～[15]。2002年，MasafumiFujita等针对一台汽轮发电机定子磁饱和、转轴和磁屏蔽，应用2标位方法进行了磁场分析，应用一种减少了未知量的磁标位方法来进行有限元计算[16]。2005年梁艳萍等建立了用三维正弦行波磁场有限元法计算汽轮发电机定子端部磁场的数学模型，提出了一种能准确反映定子绕组端部渐开线分布的电流密度的离散表达式，给出了用能量法计算定子端部漏抗的计算公式。并实际应用于汽轮发电机的定子端部漏抗，水轮发电机端部电磁场分布计算，得出了一些有价值的结论[17]。2011年张宇娇等建立了六相感应电机的二维及三维电磁场模型，并用有限元方法进行了分析。经计算得到电流密度值，磁感应强度在气隙的分布情况，以及功率损耗等结果。在对计算结果进行分析对比后，发现二维场的计算数值与三维计算数值存在一定差别，对实际电机参数分布二维模型并不能精确反应。在三维电磁场分析中，计算结果可得到更精确的电机性能参数，与实际电机更为接近[18]。
3.端部绕组电磁力研究现状
目前国内外许多学者对电机端部绕组的电磁涡流场、温度场以及电机端部绕组电动力等特性方面做了较为细致的研究。1989年G.K.M.Khan用有限元法，分析和计算了1000MW汽轮发电机定子绕组端部区域的磁场密度和绕组电磁力[19]。1991年李京平、唐任远等从工程实用的角度出发，把汽轮发电机定子端部的三维磁场简化为三个平面静磁场间题分别求解，详细计算、分析了稳态时定子端部绕组所受电动力的大小和分布规律。研究了某些短路情况下定子端部电动力，提出了直接根据稳态解来计算三相突然短路时定子端部绕组所受最大电动力的工程方法[20]。1992年张炳军采用有限元法，以矢量磁位作为求解对象，在考虑了汽轮发电机端部结构件涡流及媒质非线性的情况下，借助于现有的短路电流计算理论，计算了汽轮发电机定子绕组端部电动力的分布。并就端部磁屏蔽对电动力的影响作了计算分析，在此基础上编制了适用于微机系统的端部场及电动力的应用软件[21]。2002年王世山、李彦明利用有限元算法分析了三相电力变压器绕组各线匝在不同运行模式下电磁力的振动，并用电路参数的不同取值对应变压器的不同运行模式—空载、常态和短路[22]。2002年，胡宇达建立了定子绕组的磁固耦合振动方程。其思路如下，首先运用傅立叶方法对汽轮发电机定子绕组端部场进行了电流密度的分解，然后通过分离变量的方法获得了绕组电磁力和磁通密度的表达式。进而采用数值方法计算了磁场和电磁力。最后应用动力学理论，考虑电磁力对绕组应力、形变的影响，建立定子绕组端部在电磁力作用下的复杂振动现象的磁固耦合振动方程[23]～[24]。2005年刘明丹等给出了端部绕组的电动力计算方法，并根据大型电机的结构特点建立了定子绕组固有振动频率和强迫振动方程。对大型发电机端部绕组电动力的计算及振动进行了分析[25]。2008年张甲等首先建立了汽轮发电机三维有限元数值分析的数学模型，然后采用ANSYS商用软件，对不同运行工况下某600MW大型汽轮发电机端部绕组电动力进行了计算和分析；最后，得出了具有一定工程指导价值的结论[26]。2008年单继聪等根据电磁场的基本理论，推导了汽轮发电机定子端部区域电磁场以及绕组所受电磁力的计算公式，利用镜像法建立了定子绕组端部电磁场的数学模型。通过解析计算，分别得到了定子绕组端部在稳态运行和短路运行条件下所受电磁力的分布情况，并对计算结果进行了详细分析。分析结果显示，该解析计算具有一定的实际应用价值[27]。
4.端部绕组磁固耦合研究现状
对于电机端部绕组在电磁力作用下的应力、变形、振动，国内外学者提供了有意义的理论阐述和计算方法。天津大学的邱家俊教授对电机的机电耦合、磁固耦合振动有深入的研究，文献[28]综述了电机机电耦合、磁固耦合的研究方法；文献[29][30]建立了定子绕组的物理模型，给出了电机定子磁固耦合运动方程。对于电磁力的计算理论，RanranLin在2008年对时谐场下感应电机电磁力的性质做了深入分析，文献[31]提出了具体的电磁力计算方法，建立了感应电机3维模型，计算了稳态电磁力作用下端部绕组的的振动与变形。在磁固耦合场的计算方面，武汉大学的黄涛做了很多工作。2011年黄涛用有限元方法分别建立了三相母线的二维和三维模型，通过二维模型计算了母线时谐场电流密度分布，然后将计算结果分不同初相角加载到三维模型，计算电磁力，分析了母线设备的应力应变情况[32]。2011年黄涛等建立了异步电机的三维模型，采用顺序耦合法，先计算了绕组端部磁场和电磁力，然后将计算结果加载到绕组结构，得到了绕组在电磁力作用下的应力和应变位移特性[33]。。在具体的耦合场计算方法上，国内外一些研究者做了些有益的探索：文献[34]介绍了ANSYS软件耦合场的分析方法，并建立了一个大型线圈模型，以顺序耦合法对其进行了磁结构耦合计算，通过具体算例提出了进行ANSYS耦合场分析的应用技巧及注意事项。文献[35]用ANSOFT软件建立了感应电机的二维模型，用ANSYS建立了感应电机的三维模型。通过ANSOFT计算出电机瞬态电磁场、定子绕组电磁力的分布，然后将计算结果加载到ANSYS模型，得到电机的振动响应。 5.研究展望
目前研究成果为我们进行交流电机端部绕组电磁场、电磁力的计算提供了丰富的理论指导和计算方法。根据对电机端部绕组目前的研究现可知，众多学者对端部绕组的涡流场、热性能及端部绕组力特性等方面做了较细致的研究。在已有的交流电机端部绕组结构分析中，目前的研究多是对端部场进行简化，采用二维场或者部分结构建模，采用解析法计算、实验法测量，而将电磁、结构结合起来进行交流电机端部绕组应力、应变方面的研究还相当少。
工程中要提出符合实际的交流电机设计方案，必须确定电机中电磁场分布对绕组电磁力的影响，电磁力对结构应力、应变的作用，而这些必须通过耦合场分析才能得到定量的结论。其次，对电机端部绕组建模，采用数值方法对其运行的工况进行模拟，找出潜在的不足和隐患。在产品设计阶段，数值方法在一定程度上可以代替产品的试制和实验，迅速发现问题，更改设计，降低成本；对于运行设备的故障分析，工况检查，数值方法可以发现一些难于现场检测、监测到的问题。在产品的设计、试制生产、运行维护、故障分析中对其性能进行仿真、计算无论从经济性、还是技术性来看，都是可行的、必要的。对交流电机端部进行三维建模，模拟设备在额定负载下端部磁场分布，运用多物理场数值模拟技术对交流电机绕组进行电磁力分析，分析电磁力的产生机理及其影响因素，并通过数值计算方法进行求解。
参考文献
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[作者简介]
杨泽川（1981-），工学硕士，主要从事电磁场数值分析和电气设备仿真工作。
【关键词】：交流电机、端部绕组、电磁力
交流电机是基于气隙旋转磁场产生电磁转矩，从而实现能量转换，电力系统中，同步发电机将机械能转换为电能，感应电机将电能转换为机械能。交流电机在运行过程中定子绕组在槽内和端部会受到电磁力的作用。对于大中型电机，电磁力会造成端部绕组变形、振动、绝缘破损甚至断路。所以在研究电机理论和运行问题，在进行电机结构设计时，准确的分析和计算端部绕组电磁力以及其引起的应力、应变对电机的安全可靠运行有重要意义。
在传统研究中，对电机端部绕组电磁力的计算主要是通过解析法得出，但是解析法计算的时候具备一定的局限性，因为当模型结构比较复杂时，解析法的计算就存在误差。随着计算机技术的发展，人们开始采用数值计算方法对绕组端部电磁力进行分析，但主要是利用静态分析方法计算端部绕组承受的电磁力，分析结果并不准确、全面，难以对结构设计提出有效的指导方向。交流电机端部绕组的电磁力计算及由此产生的应力、应变问题一直没有被很好的解决。
要明确交流电机端部绕组在电磁力作用下的应力、应变，需要计算出电磁力密度在绕组内的分布，而磁场分布又是计算电磁力的前提。电机绕组内的交变电流在电机端部产生交变电磁场，通电导体在电磁场内会受到力。绕组在电磁力的作用下其结构会产生应力、应变。因此电磁场的分析是应力场分析的前提。
1.电机端部绕组电磁场研究的典型方法
麦克斯韦方程组是电磁场问题的理论基础。在实际的研究方法中，对不同频率、不同波长的电磁波往往有不同的研究方法。对于工业交流电机来说，其工作频率为交流50Hz，频率较低，此类问题通常可以作为涡流场计算。因而电机端部绕组槽的电磁场问题实际上可转化为涡流场求解。交流电机端部绕组数量多，同时存在铁芯、绝缘材料等不同介质，对于这种结构复杂的设备，还没有方法可以精确的计算出其电磁场分布。不过，各国学者在多年研究的基础上，目前也形成了一些方法，可以提供相对准确的结论。比如基于Biot-Savart定律的解析法，采用传感器的实验法和运用高性能计算机的数值计算法。这些方法的区别以及特点如下：
1、解析法
端部问题最早采用解析法进行研究。解析法对端部电流的分布和复杂结构均做了较大程度的简化，对端部结构件的材料特性也作了不少假设，然后应用Biot-Savart定律直接积分或用分离变量法等方法得到端部磁场的解析表达式[1]～[3]。解析表达式物理概念清晰，各物理量间的相互制约关系表达明确，对于定性分析以改进电机端部结构，提高电机性能都有很重要的意义。过去，许多学者在解析法的推导过程中提出了一些有效的简化模型，为数值计算奠定了基础。
2、实验研究法
实验研究法也是端部问题研究中的一个重要方法。它通过在真机或样机端部埋设磁通密度传感器或热电偶来实际测量电机在各种运行状态下的真实情况[4]～[6]。但此法有费用高，不易实现等缺点，限制了其应用。
3、数值计算法
20世纪60年代末，随着计算机技术的发展和普及，数值计算方法有了很大的发展。它们被广泛地应用于汽轮发电机端部场的研究中，主要采用的是有限差分法和有限元法。有限差分法因使用较早且较成熟，曾有一段时间成为研究电机端部场的主要方法。相对而言，有限单元法对几何区域有较好的适应性，对于媒质特性又易于处理。因此，有限单元法目前被广泛的应用于端部问题的研究[7]～[8]。但三维有限元计算存在着对计算机内存要求大，计算费用高等缺点。近年来，积分方程法也用于端部问题的研究，积分方程法因其变量数大大减少，内存要求远低于有限元法，计算时间也相应缩短而引人注目，并已取得了许多成果。因此，将有限单元法与边界积分耦合可能是端部问题三维数值计算方面一个很有发展前途的方向。目前常用在电磁场问题方面的数值分析方法有：模拟电荷法、矩量法、边界元法、有限差分法、有限元法、蒙特卡洛法。其中模拟电荷法，矩量法，边界元法基于麦克斯韦方程组积分形式；有限差分法、有限元法和蒙特卡罗方法基于微分形式的麦克斯韦方程；还有基于上述方法的混合法。这些方法具有不同的特点，相互补充，而不是相互替代的。
2.有限元法在端部绕组电磁场研究中的应用
作为一种数值计算方法，有限元法在结构、流体、传热等工程领域得到广泛的应用。1965年被应用于电磁场的计算，自此以后有限元在电磁场领域得到很大的发展，也推动了计算电磁学的进步，目前已取得了丰硕的成果，在二维恒定场、二维涡流场及二维瞬态场等方面的研究已接近完善。20世纪80年代初，三维场的研究迅速发展，主要研究方法包括积分方程、边界元法、有限元法及上述方法组合成的混合求解法。对于同一类型问题，有限元法既可以以标量位，也可以以矢量位作为求解变量，或者二者的组合形式。在计算电磁场邻域，有限元法既可以应用于静态场求解，也可以运用到瞬态场、正弦稳态场的计算。由于有限元法适应各类复杂形状、多样介质，建模方便，计算准确，所以相较于有限差分法、矩量法等数值计算方法，有限元法在计算电磁场领域逐步占据主导地位。
电机绕组端部磁场是大型电机设计和运行中重要问题之一，20世纪60年代国内外发表的一批论文，分析和计算端部电磁场一般采用解析法、模拟法及数值计算中的差分法。但由于发电机端部结构复杂，边界及交界形状不很规则，又属于准三维涡流场问题，结果不很理想。直到1976年奥田宏史采用有限元法进行计算才取得较好的结果[9]。 目前对绕组涡流场的研究多集中于对发电机、变压器绕组涡流场的分析，这些成果为交流电机端部绕组的分析提供了很好的理论准备。1982年胡显承、姚若萍等人提出将电机端部磁场问题归结为求解一组复方程的边值问题，通过在不同区域分别引入矢量位和标量位，证明了该问题的Galerkin形式的弱解存在的唯一性以及有限元解到真解的收敛性。并用四边形单元建立了有限元离散模型，运用于计算了汽轮发电机端部磁场和损耗，与试验结果基本符合[10]。1986年陈伟华在考虑各向异性、电流连续性条件后建立了电机端部涡流场模型，并进行了有限元离散化[11]。1993年郑啸民等人提出了在计及端部行波场各次空间谐波的情况下，应用一维解析、二维有限元数值解的方法来分析汽轮发电机端部三维磁场。在考滤到端区主要金属构件中涡流反应的影响后，仍可采用标量位来计算稳态及瞬态工况下的端区磁场[12]。1996年黄学良等建立了电机端部边值问题的等价变分形式，并进行了实例计算[13]。1996年阮江军提出了一种求解三维瞬态涡流场的新方法全H棱边有限元-边界元耦合法。即在涡流区以磁场强度H为求解变量，用棱边有限元法离散，在非涡流区以H为求解变量用棱边边界元法离散，在这两个区域的交界面上进行耦合，该方法充分发挥了有限元法和边界元法的各自优点。将全H棱边有限元一边界元耦合法运用于大型汽轮发电机端部三维瞬态涡流电磁场的计算，该方法直接计算磁场强度H减少了未知数，使计算量减少，同时也保证了端部问题数学模型的严密性[14]～[15]。2002年，MasafumiFujita等针对一台汽轮发电机定子磁饱和、转轴和磁屏蔽，应用2标位方法进行了磁场分析，应用一种减少了未知量的磁标位方法来进行有限元计算[16]。2005年梁艳萍等建立了用三维正弦行波磁场有限元法计算汽轮发电机定子端部磁场的数学模型，提出了一种能准确反映定子绕组端部渐开线分布的电流密度的离散表达式，给出了用能量法计算定子端部漏抗的计算公式。并实际应用于汽轮发电机的定子端部漏抗，水轮发电机端部电磁场分布计算，得出了一些有价值的结论[17]。2011年张宇娇等建立了六相感应电机的二维及三维电磁场模型，并用有限元方法进行了分析。经计算得到电流密度值，磁感应强度在气隙的分布情况，以及功率损耗等结果。在对计算结果进行分析对比后，发现二维场的计算数值与三维计算数值存在一定差别，对实际电机参数分布二维模型并不能精确反应。在三维电磁场分析中，计算结果可得到更精确的电机性能参数，与实际电机更为接近[18]。
3.端部绕组电磁力研究现状
目前国内外许多学者对电机端部绕组的电磁涡流场、温度场以及电机端部绕组电动力等特性方面做了较为细致的研究。1989年G.K.M.Khan用有限元法，分析和计算了1000MW汽轮发电机定子绕组端部区域的磁场密度和绕组电磁力[19]。1991年李京平、唐任远等从工程实用的角度出发，把汽轮发电机定子端部的三维磁场简化为三个平面静磁场间题分别求解，详细计算、分析了稳态时定子端部绕组所受电动力的大小和分布规律。研究了某些短路情况下定子端部电动力，提出了直接根据稳态解来计算三相突然短路时定子端部绕组所受最大电动力的工程方法[20]。1992年张炳军采用有限元法，以矢量磁位作为求解对象，在考虑了汽轮发电机端部结构件涡流及媒质非线性的情况下，借助于现有的短路电流计算理论，计算了汽轮发电机定子绕组端部电动力的分布。并就端部磁屏蔽对电动力的影响作了计算分析，在此基础上编制了适用于微机系统的端部场及电动力的应用软件[21]。2002年王世山、李彦明利用有限元算法分析了三相电力变压器绕组各线匝在不同运行模式下电磁力的振动，并用电路参数的不同取值对应变压器的不同运行模式—空载、常态和短路[22]。2002年，胡宇达建立了定子绕组的磁固耦合振动方程。其思路如下，首先运用傅立叶方法对汽轮发电机定子绕组端部场进行了电流密度的分解，然后通过分离变量的方法获得了绕组电磁力和磁通密度的表达式。进而采用数值方法计算了磁场和电磁力。最后应用动力学理论，考虑电磁力对绕组应力、形变的影响，建立定子绕组端部在电磁力作用下的复杂振动现象的磁固耦合振动方程[23]～[24]。2005年刘明丹等给出了端部绕组的电动力计算方法，并根据大型电机的结构特点建立了定子绕组固有振动频率和强迫振动方程。对大型发电机端部绕组电动力的计算及振动进行了分析[25]。2008年张甲等首先建立了汽轮发电机三维有限元数值分析的数学模型，然后采用ANSYS商用软件，对不同运行工况下某600MW大型汽轮发电机端部绕组电动力进行了计算和分析；最后，得出了具有一定工程指导价值的结论[26]。2008年单继聪等根据电磁场的基本理论，推导了汽轮发电机定子端部区域电磁场以及绕组所受电磁力的计算公式，利用镜像法建立了定子绕组端部电磁场的数学模型。通过解析计算，分别得到了定子绕组端部在稳态运行和短路运行条件下所受电磁力的分布情况，并对计算结果进行了详细分析。分析结果显示，该解析计算具有一定的实际应用价值[27]。
4.端部绕组磁固耦合研究现状
对于电机端部绕组在电磁力作用下的应力、变形、振动，国内外学者提供了有意义的理论阐述和计算方法。天津大学的邱家俊教授对电机的机电耦合、磁固耦合振动有深入的研究，文献[28]综述了电机机电耦合、磁固耦合的研究方法；文献[29][30]建立了定子绕组的物理模型，给出了电机定子磁固耦合运动方程。对于电磁力的计算理论，RanranLin在2008年对时谐场下感应电机电磁力的性质做了深入分析，文献[31]提出了具体的电磁力计算方法，建立了感应电机3维模型，计算了稳态电磁力作用下端部绕组的的振动与变形。在磁固耦合场的计算方面，武汉大学的黄涛做了很多工作。2011年黄涛用有限元方法分别建立了三相母线的二维和三维模型，通过二维模型计算了母线时谐场电流密度分布，然后将计算结果分不同初相角加载到三维模型，计算电磁力，分析了母线设备的应力应变情况[32]。2011年黄涛等建立了异步电机的三维模型，采用顺序耦合法，先计算了绕组端部磁场和电磁力，然后将计算结果加载到绕组结构，得到了绕组在电磁力作用下的应力和应变位移特性[33]。。在具体的耦合场计算方法上，国内外一些研究者做了些有益的探索：文献[34]介绍了ANSYS软件耦合场的分析方法，并建立了一个大型线圈模型，以顺序耦合法对其进行了磁结构耦合计算，通过具体算例提出了进行ANSYS耦合场分析的应用技巧及注意事项。文献[35]用ANSOFT软件建立了感应电机的二维模型，用ANSYS建立了感应电机的三维模型。通过ANSOFT计算出电机瞬态电磁场、定子绕组电磁力的分布，然后将计算结果加载到ANSYS模型，得到电机的振动响应。 5.研究展望
目前研究成果为我们进行交流电机端部绕组电磁场、电磁力的计算提供了丰富的理论指导和计算方法。根据对电机端部绕组目前的研究现可知，众多学者对端部绕组的涡流场、热性能及端部绕组力特性等方面做了较细致的研究。在已有的交流电机端部绕组结构分析中，目前的研究多是对端部场进行简化，采用二维场或者部分结构建模，采用解析法计算、实验法测量，而将电磁、结构结合起来进行交流电机端部绕组应力、应变方面的研究还相当少。
工程中要提出符合实际的交流电机设计方案，必须确定电机中电磁场分布对绕组电磁力的影响，电磁力对结构应力、应变的作用，而这些必须通过耦合场分析才能得到定量的结论。其次，对电机端部绕组建模，采用数值方法对其运行的工况进行模拟，找出潜在的不足和隐患。在产品设计阶段，数值方法在一定程度上可以代替产品的试制和实验，迅速发现问题，更改设计，降低成本；对于运行设备的故障分析，工况检查，数值方法可以发现一些难于现场检测、监测到的问题。在产品的设计、试制生产、运行维护、故障分析中对其性能进行仿真、计算无论从经济性、还是技术性来看，都是可行的、必要的。对交流电机端部进行三维建模，模拟设备在额定负载下端部磁场分布，运用多物理场数值模拟技术对交流电机绕组进行电磁力分析，分析电磁力的产生机理及其影响因素，并通过数值计算方法进行求解。
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[作者简介]
杨泽川（1981-），工学硕士，主要从事电磁场数值分析和电气设备仿真工作。