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线性规划初步是高中教材新增内容,是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支。它不单单是对直线内容的深化,更多的是与其他知识的交汇。它是高考试题命制的新亮点,近几年高考的分值在逐年增加,因而线性规划的教学在高中数学中占有相当重要的地位。而本部分内容的重点是二元一次不等式(组)表示平面区域,这个重点课题中的难点是如何确定不等式 AX+BY+C>0表示直线AX+BY+C=0的哪一侧区域。突破难点的关键是采用适当的方法,快速准确地画出二元一次不等式表示的平面区域。教材中在解决这一问题时采用“直线定界,特殊点定域”的方法,此法在确定二元一次不等式组所表示的平面区域时,需多次检验,步骤繁多,计算繁琐,容易造成混乱。笔者在解决这一难点时采用以下方法:先将二元一次不等式模式化,再根据其对应的直线的位置定界,最后根据不等式符号定域,即:“直线定界,不等式符号定域”。具体做法是:
步骤1:将给定的二元一次不等式化为一般式:
⑴当A≠0,B∈R,C∈R时将二元一次不等式化为:
AX+BY+C>0(A>0)或AX+BY+C<0(A>0)
⑵当A=0,B≠0,C∈R时将不等式化为:
BY+C>0(B>0)或BY+C<0(B>0)
步骤2:在平面直角坐标系中画出与不等式对应的直线定界;
步骤3:⑴当A≠0时,沿直线自下而上的方向,将平面看成两个区域,即直线的左侧和右侧,如图①②③所示:
⑵当A=0时,平面区域分为上侧和下侧,如图④:
再根据步骤1中化出的一般式中不等式的符号按着:A≠0时“大右,小左”;A=0时“大上,小下”的口诀,涂出不等式表示的平面区域。举例说明如下:
例1、画出不等式y<2x-3表示的平面区域。
解:⑴先将不等式化成一般式:2x-y-3>0;
⑵再画出直线2x-y-3=0(画成虚线);
⑶因不等式符号是大于号,故平面区域是直线2x-y-3=0的右侧,如图2:
例2、画出不等式2y-x≥0表示的平面区域。
解:⑴将不等式化成一般式:
x-2y≤0
⑵画出直线x-2y=0(实线)
⑶因不等式符号是小于等于号,故平面区域是直线x-2y=0的左侧,如图3:
例3、画出不等式组
表示的平面区域。
解:10原不等式组转化为:
20画出各不等式对应的直线;
30根据各不等式的符号定域:
⑴直线5x+3y-15=0的左侧
⑵直线x- y +1=0的右侧
⑶直线3x+5y=0的右侧
⑷直线y=-1的上侧
⑸直线x=0与x=3之间,如图4:
采用“模式化法”解线性规划问题,分类简单,明白易懂,便于记忆。尤其在解决二元一次不等式组所表示的平面区域时,更显现出方便快捷、直观易现的特点。
(作者单位:668350河北省丰宁满族自治县艺术高中)
步骤1:将给定的二元一次不等式化为一般式:
⑴当A≠0,B∈R,C∈R时将二元一次不等式化为:
AX+BY+C>0(A>0)或AX+BY+C<0(A>0)
⑵当A=0,B≠0,C∈R时将不等式化为:
BY+C>0(B>0)或BY+C<0(B>0)
步骤2:在平面直角坐标系中画出与不等式对应的直线定界;
步骤3:⑴当A≠0时,沿直线自下而上的方向,将平面看成两个区域,即直线的左侧和右侧,如图①②③所示:
⑵当A=0时,平面区域分为上侧和下侧,如图④:
再根据步骤1中化出的一般式中不等式的符号按着:A≠0时“大右,小左”;A=0时“大上,小下”的口诀,涂出不等式表示的平面区域。举例说明如下:
例1、画出不等式y<2x-3表示的平面区域。
解:⑴先将不等式化成一般式:2x-y-3>0;
⑵再画出直线2x-y-3=0(画成虚线);
⑶因不等式符号是大于号,故平面区域是直线2x-y-3=0的右侧,如图2:
例2、画出不等式2y-x≥0表示的平面区域。
解:⑴将不等式化成一般式:
x-2y≤0
⑵画出直线x-2y=0(实线)
⑶因不等式符号是小于等于号,故平面区域是直线x-2y=0的左侧,如图3:
例3、画出不等式组
表示的平面区域。
解:10原不等式组转化为:
20画出各不等式对应的直线;
30根据各不等式的符号定域:
⑴直线5x+3y-15=0的左侧
⑵直线x- y +1=0的右侧
⑶直线3x+5y=0的右侧
⑷直线y=-1的上侧
⑸直线x=0与x=3之间,如图4:
采用“模式化法”解线性规划问题,分类简单,明白易懂,便于记忆。尤其在解决二元一次不等式组所表示的平面区域时,更显现出方便快捷、直观易现的特点。
(作者单位:668350河北省丰宁满族自治县艺术高中)