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【摘要】在初中阶段，无论在数学课本或数学考试的试题中常常会出现求线段长的问题，掌握求线段长的方法是初中学生的基本技能，本文通过举例阐述了求线段长的几种方法，并对如何灵活使用这几种方法提出自己的看法和体会。
【关键词】中学数学;举例;线段长;方法
求线段长的方法分散在初中不同阶段的教材中，由于学生学习求线段长的方法比较零散，学习时间跨度比较大，所以学生往往对求线段长的方法掌握得不好，在九年级中考复习第二阶段—专题复习中，设求线段长的方法作一个专题复习，对于学生灵活掌握求线段长的方法很有必要，当考试中碰到求线段长的题目时才能得心应手，并且课本中没有把求线段长的各种方法充分展示，因此需要教师帮助学生对该方法进行归纳和提炼，达到灵活掌握目的。下面，笔者介绍几种求线段长的方法：
一、利用直角三角形求线段长
直角三角形中三边满足勾股定理，知道其中两边可以求第三边，边与角之间存在三角函数关系，知道一个锐角和一条边可以求剩下的两边，因此在直角三角形中可以有两种思路来求线段长：1. 勾股定理，2. 三角函数。在直角三角形中，若已知两边就用勾股定理来求第三边，若已知一边和一锐角就用三角函数求另一边。
但是有些题目的图形中，常常没有直角三角形，需要添加辅助线来构造直角三角形，因此如何构造直角三角形往往成为解题的关键。现在来谈一下构造直角三角形的几种辅助线方法：
方法1：通过连线段来构造
在人教版九年级上册《圆》这一章与切线有关的计算题中，往往需要利用切线的性质定理“圆的切线垂直于经过切点的半径”来构造直角三角形。
例1.如图1，已知在△OAB中，OA=OB，AB=6，∠A=30°，⊙O与 AB相切于点C，则⊙O的半径等于 .
解题方法：如图2，连接OC，构造直角△OAC（或△OBC），由等腰三角形性质得AC=3，再运用三角函数得，OC=AC·tan30°= 3 ，从而求出⊙O的半径为 3 。
方法2：通过画垂线来构造
通过画垂线来构造直角三角形是初中阶段最常见的一种辅助线的方法，在多边形（通常是四边形）背景下有关边的计算题中常常需要画垂线，把多边形转化为若干个直角三角形，从而把所求问题转化为直角三角形求边长问题来解决。
例2.如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=4，AD=6，BC=9，求CD的长.
解题方法：如图4，可以过点D作DE⊥BC于点E， 构造直角△DEC，先求出DE=4，CE=3，再通过勾股定理，CD= DE2+CE2 ，求得CD的长为5。
当然，本题也可以过点A作AF∥CD， 构造直角△ABF，先用勾股定理求出AF的长，再利用AF=CD求得结果，这是后面所讲的其中一种方法。
方法3：通过作变换来构造
初中数学的几何变换有平移、旋转、对称等，对于一些比较综合的题目，有时需要把题目的图形的某一部分作几何变换，把原来是分散的三边构造在一个直角三角形，利用直角三角形把问题解决，旋转变换是一种比较常见的几何变换，通常要把某三角形绕某一点旋转一定的角度到新位置，把已知边和所求边构造在一个直角三角形。
例3.如图5，AB=AC，∠CAB=90°，
∠ADC=45°，AD=4，CD=3，求BD的长.
解题方法：如图6，把△ADC绕点A逆时针旋转90°到的位置，连接DE，得△ADC≌△ABE，△ADE是等腰直角三角形，用勾股定理求出DE=4 2 ，因为∠AED=∠AEB=45°， 所以∠DEB=90°，从而构造出直角△DBE，利用勾股定理就可以求出BD的长为 41 ，解决本题的关键是作旋转变换，构造出直角三角形，旋转变换的口诀是“等边长共端点”。
二、利用列方程求线段长
运用列方程求线段长是一种常见的方法，这种方法的步骤：把线段长看作为一个未知数，找出等量关系建立方程，通过解方程得到所求的线段长。这种求线段长方法最关键的环节是找出等量关系建立方程，等量关系往往不是已知条件，需要自己去发掘，这是解题的难点。一般来说，求线段长有以下几种建立方程的方法：
方法1：通过线段相等建立方程
这种方法主要通过两条线段相等或一条线段长等于几条线段长的和或差来建立方程 。
例4. 如图7，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，BC=2， AC=3，AB=4，则AF的長是 。
解题方法：设AF=AD=x，则BD=BE=4-x，CF=CE=3-x，由BC=CE+BE，建立方程：2=3-x+4-x，解得：x=2.5，得到AF的长是2.5。本题是通过一条线段长等于几条线段长的和建立方程 。
方法2：通过面积相等建立方程
这种方法主要通过两个图形面积相等或一个图形面积等于几个图形的面积和或差来建立方程 ，通常称为“等积法”，有时也会由一个图形面积的不同计算方法来建立方程。
例5. 如图8，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC= 5 ，则CD的长是 。
解题方法：先用勾股定理求出AB的长为3，再利用△ABC面积的不同计算方法，建立方程：
S△ABC= AB·CD= AC·BC，建立方程： ×3×CD= ×2× 5
求出CD的长为 。
本题的解题方法很多，运用面积相等建立方程的方法是最简便的方法。
方法3：通过相似性质建立方程
相似多边形具有对应边成比例的性质，利用这个性质可以建立方程。一般来说，先根据已知条件说明两个图形相似，再利用对应边成比例的性质建立方程，其中会找对应边是关键。
例6. 如图9，已知△ABC中，AB=6，AC=4，点D、E分别在AB、AC上，且AE=CE， ∠AED=∠B， 求AD的长。
解题方法：由∠A=∠A和∠AED=∠B得到△ADE∽△ACB，
从而 = 建立方程： = ，
解得：AD=
方法4：通过公式定理建立方程
与边长有关的数学公式主要有圆周长公式、弧长公式、圆面积公式、扇形面积公式及特殊四边形面积公式等，求圆的半径时，常常需要把已知数据代入这些数学公式建立方程，再通过解方程求出半径的长;有时也需要数学定理来建立方程，如利用勾股定理建立方程也是比较常见的方法。
例7.用长为20cm的铁丝围成一个面积是24cm2的矩形，求矩形的长和宽。
解题方法：如图10，先画出矩形图形，设矩形的长为xcm， 则宽的长为（10-x）cm。
利用矩形面积公式建立方程：x（10-x）=24 解得：x1=6，x2=4（舍去），10-6=4得到矩形的长和宽分别是6cm和4cm.
三、利用函数求线段长
初中阶段的函数有一次函数、二次函数、反比例函数，当题目的图形中有抛物线或含有特殊平行四边形，如矩形、正方形时，并且用几何方法求线段长比较困难时，可以尝试建立合适的平面直角坐标系，再利用所给函数的图象的已知条件，运用待定系数法求出其解析式，把求边长问题转化为求函数的图象某一点的横坐标或纵坐标问题来解决。
例8.如图11，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m，此时水面宽度是多少？（人教版九年级上册第51页探究3例题的改编题）
解题方法：
如图12，首先如图建立平面直角坐标系，由已知条件得到点A（2，-2），用待定系数法求出这条抛物线的解析式y=- x2，把y=-3代入y=- x2，求得x=± 6 ，求出B、C的横坐标为- 6 、6 ，从而得到BC=2 6 。
例9.如图13，已知正方形ABCD的边长是6，点E是AB的中点，点F是BC的三等分点，DE、AF相交于点G，求点G到AD的距离。
解题方法：如图14，以点A为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，则点A（0，0），B（6，0），C（6，6），D（0，6），E（3，0），F（6，4）， 用待定系数法分别求出直线AF和DE的解析式为y= x和y=-2x+6，通过解方程，求出直线AF和DE的交点G的横坐标x= ，从而得到点G到AD的距离为 。
四、利用间接法求线段长
有些题目，不能像前面三种方法可以直接求出求线段长，需要通过线段的等量代换或线段的和、差、倍数关系间接求出。线段的等量代换包含全等三角形的对应边相等、平行四边形及特殊平行四边形对边相等性质等，运用间接法求线段长方法常常需要同时运用前面三种方法。
例10. 如图15，在矩形ABCD中，点E在AB上，CF⊥DE于点F， AD=3，DE=5，CF=6，求AB的长.
解题方法：本题不能直接求出AB的长，需要由AB=CD，等量代换间接求出，求CD的方法可以运用列方程方法求得。
方法1：利用相似三角形性质列方程，由△DEA∽△CDF得：
=
列出方程 =
求得：DC=10
方法2：利用面积相等列方程，连接CE，由
S△DCE= ×CD×AD= ×DE×CF
建立方程： ×CD×3= ×5×6
求得：DC=10
例11.如圖16，⊙O的半径是3，弦AB∥弦CD，AB=4，CD=2 5，求AB与CD的距离。
解题方法：如图17，作出如图所示的辅助线，AB与CD的距离EF不能直接求出，需要由EF=OE+OF间接求出，利用直角三角形的勾股定理，在Rt△AEO和Rt△CFO分别求出OE= 5，OF=2，从而求出EF= 5 +2。
有关求线段长的题目，常常可以用不同的方法来解决，因此，通过“求线段长”专题训练，有助于培养学生的发散思维。对于一些较为复杂题目，还需要运用几种不同的方法，同时常常需要添加辅助线，把所求问题转化为四种基本方法来解决。
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]人教版2013版九年级上册[M]北京：人民教育出版社出版，2014.
[3]广州市初中毕业生学业考试年报（2018）[M].广东：广东教育出版社，2020.
【关键词】中学数学;举例;线段长;方法
求线段长的方法分散在初中不同阶段的教材中，由于学生学习求线段长的方法比较零散，学习时间跨度比较大，所以学生往往对求线段长的方法掌握得不好，在九年级中考复习第二阶段—专题复习中，设求线段长的方法作一个专题复习，对于学生灵活掌握求线段长的方法很有必要，当考试中碰到求线段长的题目时才能得心应手，并且课本中没有把求线段长的各种方法充分展示，因此需要教师帮助学生对该方法进行归纳和提炼，达到灵活掌握目的。下面，笔者介绍几种求线段长的方法：
一、利用直角三角形求线段长
直角三角形中三边满足勾股定理，知道其中两边可以求第三边，边与角之间存在三角函数关系，知道一个锐角和一条边可以求剩下的两边，因此在直角三角形中可以有两种思路来求线段长：1. 勾股定理，2. 三角函数。在直角三角形中，若已知两边就用勾股定理来求第三边，若已知一边和一锐角就用三角函数求另一边。
但是有些题目的图形中，常常没有直角三角形，需要添加辅助线来构造直角三角形，因此如何构造直角三角形往往成为解题的关键。现在来谈一下构造直角三角形的几种辅助线方法：
方法1：通过连线段来构造
在人教版九年级上册《圆》这一章与切线有关的计算题中，往往需要利用切线的性质定理“圆的切线垂直于经过切点的半径”来构造直角三角形。
例1.如图1，已知在△OAB中，OA=OB，AB=6，∠A=30°，⊙O与 AB相切于点C，则⊙O的半径等于 .
解题方法：如图2，连接OC，构造直角△OAC（或△OBC），由等腰三角形性质得AC=3，再运用三角函数得，OC=AC·tan30°= 3 ，从而求出⊙O的半径为 3 。
方法2：通过画垂线来构造
通过画垂线来构造直角三角形是初中阶段最常见的一种辅助线的方法，在多边形（通常是四边形）背景下有关边的计算题中常常需要画垂线，把多边形转化为若干个直角三角形，从而把所求问题转化为直角三角形求边长问题来解决。
例2.如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=4，AD=6，BC=9，求CD的长.
解题方法：如图4，可以过点D作DE⊥BC于点E， 构造直角△DEC，先求出DE=4，CE=3，再通过勾股定理，CD= DE2+CE2 ，求得CD的长为5。
当然，本题也可以过点A作AF∥CD， 构造直角△ABF，先用勾股定理求出AF的长，再利用AF=CD求得结果，这是后面所讲的其中一种方法。
方法3：通过作变换来构造
初中数学的几何变换有平移、旋转、对称等，对于一些比较综合的题目，有时需要把题目的图形的某一部分作几何变换，把原来是分散的三边构造在一个直角三角形，利用直角三角形把问题解决，旋转变换是一种比较常见的几何变换，通常要把某三角形绕某一点旋转一定的角度到新位置，把已知边和所求边构造在一个直角三角形。
例3.如图5，AB=AC，∠CAB=90°，
∠ADC=45°，AD=4，CD=3，求BD的长.
解题方法：如图6，把△ADC绕点A逆时针旋转90°到的位置，连接DE，得△ADC≌△ABE，△ADE是等腰直角三角形，用勾股定理求出DE=4 2 ，因为∠AED=∠AEB=45°， 所以∠DEB=90°，从而构造出直角△DBE，利用勾股定理就可以求出BD的长为 41 ，解决本题的关键是作旋转变换，构造出直角三角形，旋转变换的口诀是“等边长共端点”。
二、利用列方程求线段长
运用列方程求线段长是一种常见的方法，这种方法的步骤：把线段长看作为一个未知数，找出等量关系建立方程，通过解方程得到所求的线段长。这种求线段长方法最关键的环节是找出等量关系建立方程，等量关系往往不是已知条件，需要自己去发掘，这是解题的难点。一般来说，求线段长有以下几种建立方程的方法：
方法1：通过线段相等建立方程
这种方法主要通过两条线段相等或一条线段长等于几条线段长的和或差来建立方程 。
例4. 如图7，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，BC=2， AC=3，AB=4，则AF的長是 。
解题方法：设AF=AD=x，则BD=BE=4-x，CF=CE=3-x，由BC=CE+BE，建立方程：2=3-x+4-x，解得：x=2.5，得到AF的长是2.5。本题是通过一条线段长等于几条线段长的和建立方程 。
方法2：通过面积相等建立方程
这种方法主要通过两个图形面积相等或一个图形面积等于几个图形的面积和或差来建立方程 ，通常称为“等积法”，有时也会由一个图形面积的不同计算方法来建立方程。
例5. 如图8，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC= 5 ，则CD的长是 。
解题方法：先用勾股定理求出AB的长为3，再利用△ABC面积的不同计算方法，建立方程：
S△ABC= AB·CD= AC·BC，建立方程： ×3×CD= ×2× 5
求出CD的长为 。
本题的解题方法很多，运用面积相等建立方程的方法是最简便的方法。
方法3：通过相似性质建立方程
相似多边形具有对应边成比例的性质，利用这个性质可以建立方程。一般来说，先根据已知条件说明两个图形相似，再利用对应边成比例的性质建立方程，其中会找对应边是关键。
例6. 如图9，已知△ABC中，AB=6，AC=4，点D、E分别在AB、AC上，且AE=CE， ∠AED=∠B， 求AD的长。
解题方法：由∠A=∠A和∠AED=∠B得到△ADE∽△ACB，
从而 = 建立方程： = ，
解得：AD=
方法4：通过公式定理建立方程
与边长有关的数学公式主要有圆周长公式、弧长公式、圆面积公式、扇形面积公式及特殊四边形面积公式等，求圆的半径时，常常需要把已知数据代入这些数学公式建立方程，再通过解方程求出半径的长;有时也需要数学定理来建立方程，如利用勾股定理建立方程也是比较常见的方法。
例7.用长为20cm的铁丝围成一个面积是24cm2的矩形，求矩形的长和宽。
解题方法：如图10，先画出矩形图形，设矩形的长为xcm， 则宽的长为（10-x）cm。
利用矩形面积公式建立方程：x（10-x）=24 解得：x1=6，x2=4（舍去），10-6=4得到矩形的长和宽分别是6cm和4cm.
三、利用函数求线段长
初中阶段的函数有一次函数、二次函数、反比例函数，当题目的图形中有抛物线或含有特殊平行四边形，如矩形、正方形时，并且用几何方法求线段长比较困难时，可以尝试建立合适的平面直角坐标系，再利用所给函数的图象的已知条件，运用待定系数法求出其解析式，把求边长问题转化为求函数的图象某一点的横坐标或纵坐标问题来解决。
例8.如图11，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m，此时水面宽度是多少？（人教版九年级上册第51页探究3例题的改编题）
解题方法：
如图12，首先如图建立平面直角坐标系，由已知条件得到点A（2，-2），用待定系数法求出这条抛物线的解析式y=- x2，把y=-3代入y=- x2，求得x=± 6 ，求出B、C的横坐标为- 6 、6 ，从而得到BC=2 6 。
例9.如图13，已知正方形ABCD的边长是6，点E是AB的中点，点F是BC的三等分点，DE、AF相交于点G，求点G到AD的距离。
解题方法：如图14，以点A为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，则点A（0，0），B（6，0），C（6，6），D（0，6），E（3，0），F（6，4）， 用待定系数法分别求出直线AF和DE的解析式为y= x和y=-2x+6，通过解方程，求出直线AF和DE的交点G的横坐标x= ，从而得到点G到AD的距离为 。
四、利用间接法求线段长
有些题目，不能像前面三种方法可以直接求出求线段长，需要通过线段的等量代换或线段的和、差、倍数关系间接求出。线段的等量代换包含全等三角形的对应边相等、平行四边形及特殊平行四边形对边相等性质等，运用间接法求线段长方法常常需要同时运用前面三种方法。
例10. 如图15，在矩形ABCD中，点E在AB上，CF⊥DE于点F， AD=3，DE=5，CF=6，求AB的长.
解题方法：本题不能直接求出AB的长，需要由AB=CD，等量代换间接求出，求CD的方法可以运用列方程方法求得。
方法1：利用相似三角形性质列方程，由△DEA∽△CDF得：
=
列出方程 =
求得：DC=10
方法2：利用面积相等列方程，连接CE，由
S△DCE= ×CD×AD= ×DE×CF
建立方程： ×CD×3= ×5×6
求得：DC=10
例11.如圖16，⊙O的半径是3，弦AB∥弦CD，AB=4，CD=2 5，求AB与CD的距离。
解题方法：如图17，作出如图所示的辅助线，AB与CD的距离EF不能直接求出，需要由EF=OE+OF间接求出，利用直角三角形的勾股定理，在Rt△AEO和Rt△CFO分别求出OE= 5，OF=2，从而求出EF= 5 +2。
有关求线段长的题目，常常可以用不同的方法来解决，因此，通过“求线段长”专题训练，有助于培养学生的发散思维。对于一些较为复杂题目，还需要运用几种不同的方法，同时常常需要添加辅助线，把所求问题转化为四种基本方法来解决。
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]人教版2013版九年级上册[M]北京：人民教育出版社出版，2014.
[3]广州市初中毕业生学业考试年报（2018）[M].广东：广东教育出版社，2020.