摘 要：不等式中的恒成立问题是数学中常见的问题，是我们高中教学中的重点、难点，在高考中频频出现，本文就不等式中恒成立问题的解法了做一些简单的归纳和总结。
　　关键词：不等式中 恒成立问题 解法 归纳 总结
　　不等式中的恒成立问题是数学中常见的问题，它贯穿于整个高中数学教学。这类问题综合性强，难度大，对于学生能力的要求高，能有效地培养学生的思维灵活性。所以不等式中的恒成立问题是我们高中教学的重点、难点，也受到高考出题者的青睐，在高考中频频出现，很多学生望而生畏，无从下笔。针对这种情况，本文就不等式中恒成立问题的解法做了一些简单的归纳和总结。
　　一、一次函数型
　　一次函数f（x）=ax+b（a≠0），若在[m，n]内f（x）>0恒成立，结合函数的图像，只需 ；同理，若[m，n]内f（x）<0恒成立，只需 。
　　例1.若不等式2x-1-m（x-1）>0对满足-2≤x≤2的所有m都成立，求m的取值范围。
　　解：设一次函数f（x）=2x-1-m（x-1），（-2≤x≤2）。若f（x）>0在-2≤x≤2上恒成立，
　　则有 ，解得 　　∴m的取值范围是 　　二、二次函数型
　　1.R上恒成立问题：设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），
　　f（x）>0在x∈R上恒成立 ；
　　f（x）<0在x∈R上恒成立 。
　　注意：首先需要判断二次项系数a=0是否成立。
　　例2.若不等式（m-1）x2+（m-1）x-2≤0的解集是R，求m的取值范围。
　　解：设f（x）=（m-1）x2+（m-1）x-2，则由题意：
　　当m-1=0即m=1时，-2≤0符合题意。
　　当m-1≠0时，只需 ，解得-7≤m<1，
　　∴m的取值范围是-7≤m<1。
　　2.指定区间上恒成立问题：可以结合函数图像利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解（还可以分离参数利用最值求解，详见后面）。
　　例3.已知函数f（x）=x2-2kx+2，在x≥-1时恒有f（x）≥k，求实数k的取值范围。
　　解：令F（x）=f（x）-k=x2-2kx+2-k，则原题转化为F（x）≥0对一切x≥-1恒成立，f（x）的图像是开口向上的抛物线，则：①当图像与x轴无交点时，只需满足△<0，解得－2　　 △≥0
　　 F（-1）≥0
　　 - ≤-1
　　由①、②解得k的取值范围为-3≤k<1。
　　三、最值法（分离参数法）
　　对于一部分函数我们很容易就能分离出参数，那么则有：
　　f（x）>a对一切x∈I恒成立f（x）min>a，
　　f（x）a。
　　许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型。
　　例4.求使不等式a-sinx+cosx>0，x∈R恒成立的a的取值范围。
　　解：原不等式可变为a>sinx-cosx。
　　设f（x）=sinx-cosx= 2sin（x- ），x∈R，
　　则有f（x）max= 2，
　　∴a的取值范围是：a> 2。
　　四、变换主元
　　有些函数已知条件中给的是参数的取值区间，求变量x的取值范围。对于此类问题我们只需换一个角度，变参数为主元，就可以很容易解决问题。
　　既将参数看作变量，将变量x看做参数。
　　例5.对任意的m∈[-26，6]，恒有mx-9x2+24x+11≥0，求x的取值范围。
　　分析：将不等式左边看作关于m的一次函数，则转化为一次函数类型。
　　令g（m）=xm-9x2+24x+11，
　　依题意：若x=0，显然成立；
　　若x≠0，则 ，解关于x的不等式组即可。
　　五、 f（x）>g（x）型
　　此时往往不等式两侧是不同类型的函数，那么f（x）>g（x）对一切x∈D恒成立f（x）的图像恒在g（x）图像的上方或f（x）min>g（x）max（x∈D）。
　　例6.已知ax>3x2（a>1）在（- ， ）内恒成立，求a的取值范围。
　　分析：令f（x）=ax，g（x）=3x2，如图，结合题意得：
　　f（x）min=a ，g（x）max=3×（1- ）2= 。
　　应有a ≥3×（- ）2，
　　解得：1　　以上是对恒成立问题解法的简单整理，还不完善。恒成立问题涉及到函数的性质和图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等数学思想方法。所以解决恒成立问题的关键是根据已知条件将恒成立问题转化为正确的基本函数类型，最后利用函数性质、最值、结合函数图象进行求解。