论文部分内容阅读
众所周知，针对数学必修2的立体几何内容，江苏新高考主要考查“空间几何体”和“空间中的平行与垂直”，涉及的题目一般有两个填空题与一个解答论证题，难度一般，分值占24分左右.对于每分必争的高考战役来说，立体几何题对于每位考生，都志在必得.知己知彼，方可百战不殆.那么立体几何有哪些命题热点呢？
一、空间几何体
热点一 空间几何体的结构特征
棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等且平行的多边形；棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形；棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形.
圆柱可由矩形绕其任意一边旋转得到；圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上、下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；球可以由半圆或圆绕直径旋转得到.
例1 设有以下四个命题：
①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；
②底面是矩形的平行六面体是长方体；
③直四棱柱是直平行六面体；
④棱台的各侧棱延长后必交于一点.
其中真命题的序号是 .
答案：①④
解析：命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的；命题④由棱台的定义知是正确的.
评注：判定与空间几何体结构特征有关命题的方法：
（1）紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.
（2）通过旋转体的结构，可对得到旋转体的平面图形进行分解，结合旋转体的定义进行分析.
热点二 几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积和体积计算是高考中的常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧.
例2 （1）已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为 .
（2）设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若V1V2=3π，则S1S2的值为 .
解析：（1）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则πr2=2π，πrl=4π，解得r=2，l=22，
故高h=6，所以V=13πr2h=13π×2×6=263π.
（2）因为V1=a3，S1=6a2，V2=13r·πr2=πr33，S2=πrl=2πr2，
所以V1V2=a3πr33=3πar=1，因此S1S2=6a22πr2=32π.
评注：（1）求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和.（2）求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差.求解时注意不要多算也不要少算.
热点三 多面体与球
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径.如球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心（或“切点”“接点”）作出截面图.
例3 （1）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=23，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为 .
（2）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 cm3.
解析：（1）在△ABC中，BC2=AB2 AC2-2AB·ACcos60°=3，
∴AC2=AB2 BC2，即AB⊥BC，
又SA⊥平面ABC，
∴三棱锥SABC可补成分别以AB=1，BC=3，SA=23为长、宽、高的长方体，∴球O的直径=12 （3）2 （23）2=4，
故球O的表面积为4π×22=16π.
（2）过球心与正方体中点的截面如图，设球心为点O，球半径为Rcm，正方体上底面中心为点A，上底面一边的中点为点B，
在Rt△OAB中，OA=（R-2）cm，AB=4cm，OB=Rcm，
由R2=（R-2）2 42，得R=5，
∴V球=43πR3=5003π（cm3）.
评注：三棱锥PABC可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形：
（1）点P可作为长方体上底面的一个顶点，点A、B、C可作为下底面的三个顶点；
（2）PABC为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线.
二、空间中的平行与垂直
热点一 空间线面位置关系的判定
空间线面位置关系判断的常用方法
（1）根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；
（2）必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中觀察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断. 例4 （1）已知l是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是 .（填所有真命题的序号）
①若l∥α，l∥β，则α∥β；
②若α⊥β，l∥α，则l⊥β；
③若l∥α，α∥β，则l∥β；
④若l⊥α，l∥β，则α⊥β.
（2）关于空间两条直线a、b和平面α，给出以下四个命题，其中正确的是 .
①若a∥b，bα，则a∥α；
②若a∥α，bα，则a∥b；
③若a∥α，b∥α，则a∥b；
④若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
答案：（1）④ （2）④
解析：（1）①若l∥α，l∥β，则l可平行两平面的交线，所以为假命题；②若α⊥β，l∥α，则l可平行两平面的交线，所以为假命题；③若l∥α，α∥β，则l可在平面β内，所以为假命题；④若l⊥α，l∥β，则l必平行平面β内一直线m，所以m⊥α，因而α⊥β为真命题.
（2）线面平行的判定定理中的条件要求aα，故①错；对于线面平行，这条直线与面内的直线的位置关系可以平行，也可以异面，故②错；平行于同一个平面的两条直线的位置关系：平行、相交、异面都有可能，故③错；垂直于同一个平面的两条直线是平行的，故④正确.
评注：解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中.
热点二 空间平行、垂直关系的证明
空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化，如下图：
例5 如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，AB=2，点C是⊙O上一点，且AC=BC，∠PCA=45°，点E是PC的中点，点F是PB的中点，点G为线段PA上（除点P外）的一个动点.
（1）求证：BC∥平面GEF；
（2）求证：BC⊥GE；
（3）求三棱锥BPAC的体积.
解析：（1）证明：∵点E是PC的中点，点F是PB的中点，∴EF∥CB.
∵EF平面GEF，点G不与点P重合，
CB平面GEF，∴BC∥平面GEF.
（2）证明：∵PA⊥⊙O所在的平面，BC⊙O所在的平面，∴BC⊥PA.
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.
∵PA∩AC=A，AC面PAC，PA面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
∵GE平面PAC，∴BC⊥GE.
（3）在Rt△ABC中，AB=2，AC=BC，
∴AC=BC=2，∴S△ABC=12×2×2=1.
∵PA⊥平面ABC，AC平面ABC，∴PA⊥AC.
∵∠PCA=45°，∴PA=2.
∴VBPAC=VPABC=13S△ABC·PA=23.
评注：垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：
（1）证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.
（2）证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，aαl⊥a.
热点三 平面图形的折叠问题
平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键.一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法.
例6 如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连结PA，PB，PD，得到如图的五棱锥PABFED，且PB=10.
（1）求证：BD⊥PA；
（2）求四棱锥PBFED的体积.
解析：（1）证明：∵点E，F分别是边CD，CB的中点，∴BD∥EF.
∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC.
∴EF⊥AC.∴EF⊥AO，EF⊥PO，
∵AO平面POA，PO平面POA，AO∩PO=O，
∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA，
又PA平面POA，∴BD⊥PA.
（2）设AO∩BD=H.连结BO，∵∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=4，BH=2，HA=23，HO=PO=3，
在Rt△BHO中，BO=BH2 HO2=7，
在△PBO中，BO2 PO2=10=PB2，
∴PO⊥BO.
∵PO⊥EF，EF∩BO=O，EF平面BFED，BO平面BFED，∴PO⊥平面BFED，
梯形BFED的面积S=12（EF BD）·HO=33，
∴四棱锥PBFED的体积V=13S·PO=13×33×3=3.
评注：（1）折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口；（2）存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下進行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论.
一、空间几何体
热点一 空间几何体的结构特征
棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等且平行的多边形；棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形；棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形.
圆柱可由矩形绕其任意一边旋转得到；圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上、下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；球可以由半圆或圆绕直径旋转得到.
例1 设有以下四个命题：
①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；
②底面是矩形的平行六面体是长方体；
③直四棱柱是直平行六面体；
④棱台的各侧棱延长后必交于一点.
其中真命题的序号是 .
答案：①④
解析：命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的；命题④由棱台的定义知是正确的.
评注：判定与空间几何体结构特征有关命题的方法：
（1）紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.
（2）通过旋转体的结构，可对得到旋转体的平面图形进行分解，结合旋转体的定义进行分析.
热点二 几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积和体积计算是高考中的常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧.
例2 （1）已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为 .
（2）设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若V1V2=3π，则S1S2的值为 .
解析：（1）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则πr2=2π，πrl=4π，解得r=2，l=22，
故高h=6，所以V=13πr2h=13π×2×6=263π.
（2）因为V1=a3，S1=6a2，V2=13r·πr2=πr33，S2=πrl=2πr2，
所以V1V2=a3πr33=3πar=1，因此S1S2=6a22πr2=32π.
评注：（1）求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和.（2）求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差.求解时注意不要多算也不要少算.
热点三 多面体与球
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径.如球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心（或“切点”“接点”）作出截面图.
例3 （1）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=23，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为 .
（2）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 cm3.
解析：（1）在△ABC中，BC2=AB2 AC2-2AB·ACcos60°=3，
∴AC2=AB2 BC2，即AB⊥BC，
又SA⊥平面ABC，
∴三棱锥SABC可补成分别以AB=1，BC=3，SA=23为长、宽、高的长方体，∴球O的直径=12 （3）2 （23）2=4，
故球O的表面积为4π×22=16π.
（2）过球心与正方体中点的截面如图，设球心为点O，球半径为Rcm，正方体上底面中心为点A，上底面一边的中点为点B，
在Rt△OAB中，OA=（R-2）cm，AB=4cm，OB=Rcm，
由R2=（R-2）2 42，得R=5，
∴V球=43πR3=5003π（cm3）.
评注：三棱锥PABC可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形：
（1）点P可作为长方体上底面的一个顶点，点A、B、C可作为下底面的三个顶点；
（2）PABC为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线.
二、空间中的平行与垂直
热点一 空间线面位置关系的判定
空间线面位置关系判断的常用方法
（1）根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；
（2）必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中觀察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断. 例4 （1）已知l是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是 .（填所有真命题的序号）
①若l∥α，l∥β，则α∥β；
②若α⊥β，l∥α，则l⊥β；
③若l∥α，α∥β，则l∥β；
④若l⊥α，l∥β，则α⊥β.
（2）关于空间两条直线a、b和平面α，给出以下四个命题，其中正确的是 .
①若a∥b，bα，则a∥α；
②若a∥α，bα，则a∥b；
③若a∥α，b∥α，则a∥b；
④若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
答案：（1）④ （2）④
解析：（1）①若l∥α，l∥β，则l可平行两平面的交线，所以为假命题；②若α⊥β，l∥α，则l可平行两平面的交线，所以为假命题；③若l∥α，α∥β，则l可在平面β内，所以为假命题；④若l⊥α，l∥β，则l必平行平面β内一直线m，所以m⊥α，因而α⊥β为真命题.
（2）线面平行的判定定理中的条件要求aα，故①错；对于线面平行，这条直线与面内的直线的位置关系可以平行，也可以异面，故②错；平行于同一个平面的两条直线的位置关系：平行、相交、异面都有可能，故③错；垂直于同一个平面的两条直线是平行的，故④正确.
评注：解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中.
热点二 空间平行、垂直关系的证明
空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化，如下图：
例5 如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，AB=2，点C是⊙O上一点，且AC=BC，∠PCA=45°，点E是PC的中点，点F是PB的中点，点G为线段PA上（除点P外）的一个动点.
（1）求证：BC∥平面GEF；
（2）求证：BC⊥GE；
（3）求三棱锥BPAC的体积.
解析：（1）证明：∵点E是PC的中点，点F是PB的中点，∴EF∥CB.
∵EF平面GEF，点G不与点P重合，
CB平面GEF，∴BC∥平面GEF.
（2）证明：∵PA⊥⊙O所在的平面，BC⊙O所在的平面，∴BC⊥PA.
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.
∵PA∩AC=A，AC面PAC，PA面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
∵GE平面PAC，∴BC⊥GE.
（3）在Rt△ABC中，AB=2，AC=BC，
∴AC=BC=2，∴S△ABC=12×2×2=1.
∵PA⊥平面ABC，AC平面ABC，∴PA⊥AC.
∵∠PCA=45°，∴PA=2.
∴VBPAC=VPABC=13S△ABC·PA=23.
评注：垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：
（1）证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.
（2）证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，aαl⊥a.
热点三 平面图形的折叠问题
平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键.一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法.
例6 如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连结PA，PB，PD，得到如图的五棱锥PABFED，且PB=10.
（1）求证：BD⊥PA；
（2）求四棱锥PBFED的体积.
解析：（1）证明：∵点E，F分别是边CD，CB的中点，∴BD∥EF.
∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC.
∴EF⊥AC.∴EF⊥AO，EF⊥PO，
∵AO平面POA，PO平面POA，AO∩PO=O，
∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA，
又PA平面POA，∴BD⊥PA.
（2）设AO∩BD=H.连结BO，∵∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=4，BH=2，HA=23，HO=PO=3，
在Rt△BHO中，BO=BH2 HO2=7，
在△PBO中，BO2 PO2=10=PB2，
∴PO⊥BO.
∵PO⊥EF，EF∩BO=O，EF平面BFED，BO平面BFED，∴PO⊥平面BFED，
梯形BFED的面积S=12（EF BD）·HO=33，
∴四棱锥PBFED的体积V=13S·PO=13×33×3=3.
评注：（1）折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口；（2）存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下進行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论.