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作者简介：陆爱莲，2002年毕业于广西师范大学数学教育专业，大学本科学历，理学学士，同年9月至今任教于马山中学，2008年12月获得中学一级教师资格。积极参加教研教改活动，所撰写的论文多次在省、国家级论文评选中获二、三等奖。
【摘要】：解析几何中的最值和参数范围问题是高中数学的重要内容.其主要特点是综合性强，在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角等内容.因此，在教学中应重视对数学思想、方法进行归纳提炼，如方程思想、函数思想、参数思想、数形结合的思想、对称思想、整体思想等思想方法，达到优化解题思维、简化解题过程的目的.本文通过对一些典型例题的分析和解答，归纳了解析几何中常见的解决最值和参数范围问题的思想方法，总结了解答典型例题的具体规律，并提供了一些常用的解题方法、技能与技巧。
【关键词】：解析几何 最值问题 参数范围 求解策略
解析几何中涉及最值和参数范围问题常有求面积、距离最值、参数范围问或与之相关的一些问题；求直线与圆锥曲线中几何元素的最值或与之相关的一些问题。我们可以从两个方面来研究圆锥曲线的最值和参数范围问题，一方面用代数的方法研究几何，题中涉及较多数字计算与字母运算，对运算及变形的能力要求较高，用代数的方法解决几何；另一方面要善于从曲线的定义、性质等几何的角度思考，利用数形结合的思想解决问题。
一、代数法：借助代数函数求最值和参数取值范围的方法。运用代数法时，先要建立“目标函数”，然后根据“目标函数”的特点灵活运用求最值。常用的方法有： 1.配方法。由于二次曲线的特点，所求“目标函数”的表达式常常和二次函数在某一个闭区间上的最值联系紧密，这时可对二次函数进行配方，并根据顶点的横坐标结合区间的端点确定所求函数的最值。
1、已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1。当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值。
分析：本小题主要考查两直线的位置关系，菱形具有的性质和面积计算公式，直线与圆锥曲线的位置关系，两点间的距离公式等基本知识及综合分析能力，突显依据几何条件的特征构建目标函数，运用解方程组研究最值问题的思想方法，化归二次函数值域求解最值。
依据菱形对角线垂直的面积公式“设而不解整体思维”用两点间的距离公式切入类比。
解：（1）由题意的直线BD的方程为y = x +1，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD
设直线AC的方程为y = -x + m
由x2+3y2=4
y = x + m得4x2-6mx+3m2-4=0
因为A，C在椭圆上，所以直线AC与椭圆有两个不同交点，因此此一元二次方程有两个不同的实根，∴=-12m2+64>0，解得-433 设A（x1，y1），C（x2，y2）则根据韦达定理得：
x1+y1=3m2，x1y1=3m2-44（设而不解整体思维）
∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=60°
∴|AB|=|BC|=|CA|
∴菱形ABCD面积S=32|AC| 2
依据两点间的距离公式得
|AC| 2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=2（x1-x2）2=2（x1+x2）2-8x1x2=-3m2+162（整体带入思想）
∴S=34（-3m2+16）（-433 ∴当m=0时，菱形ABCD面积取得最大值43。
评述：解析几何中的最值问题涉及的知识面广，解法灵活多样，但常用的方法有以下几种：（1）利用函数，尤其是二次函数求最值；（2）利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值；（3）利用不等式，尤其是均值不等式求最值；（4）利用判别式求最值；（5）利用数形结合，尤其是切线的性质求最值。
2、已知G是ABC的重心，A（0，-1），B（0，1），在x轴上有一点M，满足|MC|=|MA|，GM=λAB（λ∈R）
（1）求点C的轨迹方程；
（2）若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同的两点P、Q且满足|AP|=|AQ|，试求k的取值范围。
方法：（1）本题主要三角形重心的坐标公式、向量共线的充要条件、线段中垂线的性质；求点的轨迹方程；（2）直线与圆锥曲线相交的参数问题，解决这类问题可通过建立某变量的一元二次方程，利用判别式法求该参数的范围。
解析：（1）设C（x，y），则重心G（x3，y3）
∵GM=λAB（λ∈R）， ∴GM//AB
又M是x轴上一点，则M（x3，0）
又∵|MC|=|MA|
∴（x3）2+1=（x3-x）2+y2，整理得x23+y2=1（x≠0）
∴点C的轨迹方程为x23+y2=1（x≠0）
（2）①当k=0时，l和椭圆有两个不同的交点P，Q（长轴端点），根据对称性有 ；|AP|=|AQ|；
②当k≠0时，设l的方程为：y = kx+m（k≠0），
联立方程组y=kx+b
x23+y2=1
整理得（1+3k2）x2+6kmx+3（m2-1）=0
∵直线l和椭圆C有两个不同的交点
∴=36k2m2-12（1+3k2）（m2-1）>0>0
∴即1+3k2-m2>0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2是方程（1+3k2）x2+6kmx+3（m2-1）=0的两根。
∴x1+x2=-6km3k2+1，x1x2=3（m2-1）3k2+1
则PQ的中点N（x0，y0）的坐标为x0=x1+x22=-3km1+3k2，y0=kx0+m=m1+3k2，即N（-3km1+3k2，m1+3k2） 又∵|AP|=|AQ|，∴AN⊥PQ，
k·kAN=-1，即k·m1+3k3+1-3km1+3k2=-1
∴m=1+3k22
代入1+3k2-m2>0，得1+3k2-（1+3k22）2>0（k≠0）
∴k2<1 ∴k∈（-1，0）∪（0，1）
综合①②得，k的取值范围是（-1，1）
评述：：与圆锥曲线相交的参数取值范围问题是高考考查的热点问题，解决这类问题常用以下方法：（1）根据题意建立参数的不等式关系，通过解不等式求出范围；（2）用其它变量表示该参数，建立函数关系，然后利用求值域的相关方法求解；（3）建立变量的一元二次方程，用判别求参数的范围；（4）研究该参数所对应的几何意义，利用数形结合法求解。
[失分警示]误区（1）在应用条件|AP|=|AQ|时，使用两点间的距离公式，会使计算相当繁杂，这里转化为PQ中点与A点连线与PQ垂直，而用斜率之积为-1建立关系，可有效地减少运算量；误区（2）在得到k·kAN=-1，即m=1+3k22后，由于忽略了直线代入椭圆方程以后的式子要求>0，而思维受组，没法确定参数k取值范围。
启示：研究直线与圆锥曲线的相交问题，在联立直线与圆锥曲线的方程，消掉一个变元后，所得到的一元二次方程，一定要考虑>0的条件。公式应用要灵活，分类讨论要不重不漏。二、几何法：借助几何图形或几何意义求最值和参数取值范围的方法。运用几何法时，要善于从曲线的定义、性质等几何的角度思考，利用数形结合的思想解决问题。
3.（2008年辽宁高考）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A.172 B.3
C.5 D.92
【解析】 如图：设A（0，2），抛物线焦点为F（12，0）
根据抛物线的定义，P点到A点的距离与P点到准线的距离之和可转化为P点到A点的距离与P点到焦点F的距离之和|PA|+|PF|，显然和最小时，应有A、P、F共线，且P在A、F之间，（数形结合）
∴所求最小值为|AF|=22+（12）2=174=172.
【答案】 A
解析几何中的最值和参数范围问题，常常选择直线方程的形式和圆锥曲线方程联立，化归一元二次方程有实数解的问题，借助判别式和韦达定理沟通整体处理，注意二次系数不为0和斜率不存在的特殊性的讨论，依据题设和解析几何的特征“设而不解，整体思维”，构建目标函数，化归函数的值域问题，用函数的性质或用不等式知识求解，或借助判别式适合的条件构件不等式解最值或范围。
总之，当我们在解析几何求最值和参数范围问题时，要深入思考、善于分析，利用最合理、最恰当的方法去解决，这样有利于我们能快速地达到目的，使问题解决的正确率大大提高。
参考文献
[1] 构造二元目标函数求解解析几何中的最值问题 侯绪兵《高中数学教与学》2011年第5期
[2] “设而不求”在圆锥曲线中的应用 汪克明 《中学数学》2008年第9期（上半期）
[3] 例析“降维”思想在一类圆锥曲线题中的妙用 徐志平《数学教学研究》2006年第5期
【摘要】：解析几何中的最值和参数范围问题是高中数学的重要内容.其主要特点是综合性强，在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角等内容.因此，在教学中应重视对数学思想、方法进行归纳提炼，如方程思想、函数思想、参数思想、数形结合的思想、对称思想、整体思想等思想方法，达到优化解题思维、简化解题过程的目的.本文通过对一些典型例题的分析和解答，归纳了解析几何中常见的解决最值和参数范围问题的思想方法，总结了解答典型例题的具体规律，并提供了一些常用的解题方法、技能与技巧。
【关键词】：解析几何 最值问题 参数范围 求解策略
解析几何中涉及最值和参数范围问题常有求面积、距离最值、参数范围问或与之相关的一些问题；求直线与圆锥曲线中几何元素的最值或与之相关的一些问题。我们可以从两个方面来研究圆锥曲线的最值和参数范围问题，一方面用代数的方法研究几何，题中涉及较多数字计算与字母运算，对运算及变形的能力要求较高，用代数的方法解决几何；另一方面要善于从曲线的定义、性质等几何的角度思考，利用数形结合的思想解决问题。
一、代数法：借助代数函数求最值和参数取值范围的方法。运用代数法时，先要建立“目标函数”，然后根据“目标函数”的特点灵活运用求最值。常用的方法有： 1.配方法。由于二次曲线的特点，所求“目标函数”的表达式常常和二次函数在某一个闭区间上的最值联系紧密，这时可对二次函数进行配方，并根据顶点的横坐标结合区间的端点确定所求函数的最值。
1、已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1。当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值。
分析：本小题主要考查两直线的位置关系，菱形具有的性质和面积计算公式，直线与圆锥曲线的位置关系，两点间的距离公式等基本知识及综合分析能力，突显依据几何条件的特征构建目标函数，运用解方程组研究最值问题的思想方法，化归二次函数值域求解最值。
依据菱形对角线垂直的面积公式“设而不解整体思维”用两点间的距离公式切入类比。
解：（1）由题意的直线BD的方程为y = x +1，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD
设直线AC的方程为y = -x + m
由x2+3y2=4
y = x + m得4x2-6mx+3m2-4=0
因为A，C在椭圆上，所以直线AC与椭圆有两个不同交点，因此此一元二次方程有两个不同的实根，∴=-12m2+64>0，解得-433
x1+y1=3m2，x1y1=3m2-44（设而不解整体思维）
∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=60°
∴|AB|=|BC|=|CA|
∴菱形ABCD面积S=32|AC| 2
依据两点间的距离公式得
|AC| 2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=2（x1-x2）2=2（x1+x2）2-8x1x2=-3m2+162（整体带入思想）
∴S=34（-3m2+16）（-433
评述：解析几何中的最值问题涉及的知识面广，解法灵活多样，但常用的方法有以下几种：（1）利用函数，尤其是二次函数求最值；（2）利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值；（3）利用不等式，尤其是均值不等式求最值；（4）利用判别式求最值；（5）利用数形结合，尤其是切线的性质求最值。
2、已知G是ABC的重心，A（0，-1），B（0，1），在x轴上有一点M，满足|MC|=|MA|，GM=λAB（λ∈R）
（1）求点C的轨迹方程；
（2）若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同的两点P、Q且满足|AP|=|AQ|，试求k的取值范围。
方法：（1）本题主要三角形重心的坐标公式、向量共线的充要条件、线段中垂线的性质；求点的轨迹方程；（2）直线与圆锥曲线相交的参数问题，解决这类问题可通过建立某变量的一元二次方程，利用判别式法求该参数的范围。
解析：（1）设C（x，y），则重心G（x3，y3）
∵GM=λAB（λ∈R）， ∴GM//AB
又M是x轴上一点，则M（x3，0）
又∵|MC|=|MA|
∴（x3）2+1=（x3-x）2+y2，整理得x23+y2=1（x≠0）
∴点C的轨迹方程为x23+y2=1（x≠0）
（2）①当k=0时，l和椭圆有两个不同的交点P，Q（长轴端点），根据对称性有 ；|AP|=|AQ|；
②当k≠0时，设l的方程为：y = kx+m（k≠0），
联立方程组y=kx+b
x23+y2=1
整理得（1+3k2）x2+6kmx+3（m2-1）=0
∵直线l和椭圆C有两个不同的交点
∴=36k2m2-12（1+3k2）（m2-1）>0>0
∴即1+3k2-m2>0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2是方程（1+3k2）x2+6kmx+3（m2-1）=0的两根。
∴x1+x2=-6km3k2+1，x1x2=3（m2-1）3k2+1
则PQ的中点N（x0，y0）的坐标为x0=x1+x22=-3km1+3k2，y0=kx0+m=m1+3k2，即N（-3km1+3k2，m1+3k2） 又∵|AP|=|AQ|，∴AN⊥PQ，
k·kAN=-1，即k·m1+3k3+1-3km1+3k2=-1
∴m=1+3k22
代入1+3k2-m2>0，得1+3k2-（1+3k22）2>0（k≠0）
∴k2<1 ∴k∈（-1，0）∪（0，1）
综合①②得，k的取值范围是（-1，1）
评述：：与圆锥曲线相交的参数取值范围问题是高考考查的热点问题，解决这类问题常用以下方法：（1）根据题意建立参数的不等式关系，通过解不等式求出范围；（2）用其它变量表示该参数，建立函数关系，然后利用求值域的相关方法求解；（3）建立变量的一元二次方程，用判别求参数的范围；（4）研究该参数所对应的几何意义，利用数形结合法求解。
[失分警示]误区（1）在应用条件|AP|=|AQ|时，使用两点间的距离公式，会使计算相当繁杂，这里转化为PQ中点与A点连线与PQ垂直，而用斜率之积为-1建立关系，可有效地减少运算量；误区（2）在得到k·kAN=-1，即m=1+3k22后，由于忽略了直线代入椭圆方程以后的式子要求>0，而思维受组，没法确定参数k取值范围。
启示：研究直线与圆锥曲线的相交问题，在联立直线与圆锥曲线的方程，消掉一个变元后，所得到的一元二次方程，一定要考虑>0的条件。公式应用要灵活，分类讨论要不重不漏。二、几何法：借助几何图形或几何意义求最值和参数取值范围的方法。运用几何法时，要善于从曲线的定义、性质等几何的角度思考，利用数形结合的思想解决问题。
3.（2008年辽宁高考）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A.172 B.3
C.5 D.92
【解析】 如图：设A（0，2），抛物线焦点为F（12，0）
根据抛物线的定义，P点到A点的距离与P点到准线的距离之和可转化为P点到A点的距离与P点到焦点F的距离之和|PA|+|PF|，显然和最小时，应有A、P、F共线，且P在A、F之间，（数形结合）
∴所求最小值为|AF|=22+（12）2=174=172.
【答案】 A
解析几何中的最值和参数范围问题，常常选择直线方程的形式和圆锥曲线方程联立，化归一元二次方程有实数解的问题，借助判别式和韦达定理沟通整体处理，注意二次系数不为0和斜率不存在的特殊性的讨论，依据题设和解析几何的特征“设而不解，整体思维”，构建目标函数，化归函数的值域问题，用函数的性质或用不等式知识求解，或借助判别式适合的条件构件不等式解最值或范围。
总之，当我们在解析几何求最值和参数范围问题时，要深入思考、善于分析，利用最合理、最恰当的方法去解决，这样有利于我们能快速地达到目的，使问题解决的正确率大大提高。
参考文献
[1] 构造二元目标函数求解解析几何中的最值问题 侯绪兵《高中数学教与学》2011年第5期
[2] “设而不求”在圆锥曲线中的应用 汪克明 《中学数学》2008年第9期（上半期）
[3] 例析“降维”思想在一类圆锥曲线题中的妙用 徐志平《数学教学研究》2006年第5期