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作者简介:陆爱莲,2002年毕业于广西师范大学数学教育专业,大学本科学历,理学学士,同年9月至今任教于马山中学,2008年12月获得中学一级教师资格。积极参加教研教改活动,所撰写的论文多次在省、国家级论文评选中获二、三等奖。
【摘要】:解析几何中的最值和参数范围问题是高中数学的重要内容.其主要特点是综合性强,在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角等内容.因此,在教学中应重视对数学思想、方法进行归纳提炼,如方程思想、函数思想、参数思想、数形结合的思想、对称思想、整体思想等思想方法,达到优化解题思维、简化解题过程的目的.本文通过对一些典型例题的分析和解答,归纳了解析几何中常见的解决最值和参数范围问题的思想方法,总结了解答典型例题的具体规律,并提供了一些常用的解题方法、技能与技巧。
【关键词】:解析几何 最值问题 参数范围 求解策略
解析几何中涉及最值和参数范围问题常有求面积、距离最值、参数范围问或与之相关的一些问题;求直线与圆锥曲线中几何元素的最值或与之相关的一些问题。我们可以从两个方面来研究圆锥曲线的最值和参数范围问题,一方面用代数的方法研究几何,题中涉及较多数字计算与字母运算,对运算及变形的能力要求较高,用代数的方法解决几何;另一方面要善于从曲线的定义、性质等几何的角度思考,利用数形结合的思想解决问题。
一、代数法:借助代数函数求最值和参数取值范围的方法。运用代数法时,先要建立“目标函数”,然后根据“目标函数”的特点灵活运用求最值。常用的方法有: 1.配方法。由于二次曲线的特点,所求“目标函数”的表达式常常和二次函数在某一个闭区间上的最值联系紧密,这时可对二次函数进行配方,并根据顶点的横坐标结合区间的端点确定所求函数的最值。
1、已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜率为1。当∠ABC=60°时,求菱形ABCD面积的最大值。
分析:本小题主要考查两直线的位置关系,菱形具有的性质和面积计算公式,直线与圆锥曲线的位置关系,两点间的距离公式等基本知识及综合分析能力,突显依据几何条件的特征构建目标函数,运用解方程组研究最值问题的思想方法,化归二次函数值域求解最值。
依据菱形对角线垂直的面积公式“设而不解整体思维”用两点间的距离公式切入类比。
解:(1)由题意的直线BD的方程为y = x +1,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD
设直线AC的方程为y = -x + m
由x2+3y2=4
y = x + m得4x2-6mx+3m2-4=0
因为A,C在椭圆上,所以直线AC与椭圆有两个不同交点,因此此一元二次方程有两个不同的实根,∴=-12m2+64>0,解得-433 设A(x1,y1),C(x2,y2)则根据韦达定理得:
x1+y1=3m2,x1y1=3m2-44(设而不解整体思维)
∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=60°
∴|AB|=|BC|=|CA|
∴菱形ABCD面积S=32|AC| 2
依据两点间的距离公式得
|AC| 2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=2(x1-x2)2=2(x1+x2)2-8x1x2=-3m2+162(整体带入思想)
∴S=34(-3m2+16)(-433 ∴当m=0时,菱形ABCD面积取得最大值43。
评述:解析几何中的最值问题涉及的知识面广,解法灵活多样,但常用的方法有以下几种:(1)利用函数,尤其是二次函数求最值;(2)利用三角函数,尤其是正、余弦函数的有界性求最值;(3)利用不等式,尤其是均值不等式求最值;(4)利用判别式求最值;(5)利用数形结合,尤其是切线的性质求最值。
2、已知G是ABC的重心,A(0,-1),B(0,1),在x轴上有一点M,满足|MC|=|MA|,GM=λAB(λ∈R)
(1)求点C的轨迹方程;
(2)若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同的两点P、Q且满足|AP|=|AQ|,试求k的取值范围。
方法:(1)本题主要三角形重心的坐标公式、向量共线的充要条件、线段中垂线的性质;求点的轨迹方程;(2)直线与圆锥曲线相交的参数问题,解决这类问题可通过建立某变量的一元二次方程,利用判别式法求该参数的范围。
解析:(1)设C(x,y),则重心G(x3,y3)
∵GM=λAB(λ∈R), ∴GM//AB
又M是x轴上一点,则M(x3,0)
又∵|MC|=|MA|
∴(x3)2+1=(x3-x)2+y2,整理得x23+y2=1(x≠0)
∴点C的轨迹方程为x23+y2=1(x≠0)
(2)①当k=0时,l和椭圆有两个不同的交点P,Q(长轴端点),根据对称性有 ;|AP|=|AQ|;
②当k≠0时,设l的方程为:y = kx+m(k≠0),
联立方程组y=kx+b
x23+y2=1
整理得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0
∵直线l和椭圆C有两个不同的交点
∴=36k2m2-12(1+3k2)(m2-1)>0>0
∴即1+3k2-m2>0
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1,x2是方程(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0的两根。
∴x1+x2=-6km3k2+1,x1x2=3(m2-1)3k2+1
则PQ的中点N(x0,y0)的坐标为x0=x1+x22=-3km1+3k2,y0=kx0+m=m1+3k2,即N(-3km1+3k2,m1+3k2) 又∵|AP|=|AQ|,∴AN⊥PQ,
k·kAN=-1,即k·m1+3k3+1-3km1+3k2=-1
∴m=1+3k22
代入1+3k2-m2>0,得1+3k2-(1+3k22)2>0(k≠0)
∴k2<1 ∴k∈(-1,0)∪(0,1)
综合①②得,k的取值范围是(-1,1)
评述::与圆锥曲线相交的参数取值范围问题是高考考查的热点问题,解决这类问题常用以下方法:(1)根据题意建立参数的不等式关系,通过解不等式求出范围;(2)用其它变量表示该参数,建立函数关系,然后利用求值域的相关方法求解;(3)建立变量的一元二次方程,用判别求参数的范围;(4)研究该参数所对应的几何意义,利用数形结合法求解。
[失分警示]误区(1)在应用条件|AP|=|AQ|时,使用两点间的距离公式,会使计算相当繁杂,这里转化为PQ中点与A点连线与PQ垂直,而用斜率之积为-1建立关系,可有效地减少运算量;误区(2)在得到k·kAN=-1,即m=1+3k22后,由于忽略了直线代入椭圆方程以后的式子要求>0,而思维受组,没法确定参数k取值范围。
启示:研究直线与圆锥曲线的相交问题,在联立直线与圆锥曲线的方程,消掉一个变元后,所得到的一元二次方程,一定要考虑>0的条件。公式应用要灵活,分类讨论要不重不漏。二、几何法:借助几何图形或几何意义求最值和参数取值范围的方法。运用几何法时,要善于从曲线的定义、性质等几何的角度思考,利用数形结合的思想解决问题。
3.(2008年辽宁高考)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A.172 B.3
C.5 D.92
【解析】 如图:设A(0,2),抛物线焦点为F(12,0)
根据抛物线的定义,P点到A点的距离与P点到准线的距离之和可转化为P点到A点的距离与P点到焦点F的距离之和|PA|+|PF|,显然和最小时,应有A、P、F共线,且P在A、F之间,(数形结合)
∴所求最小值为|AF|=22+(12)2=174=172.
【答案】 A
解析几何中的最值和参数范围问题,常常选择直线方程的形式和圆锥曲线方程联立,化归一元二次方程有实数解的问题,借助判别式和韦达定理沟通整体处理,注意二次系数不为0和斜率不存在的特殊性的讨论,依据题设和解析几何的特征“设而不解,整体思维”,构建目标函数,化归函数的值域问题,用函数的性质或用不等式知识求解,或借助判别式适合的条件构件不等式解最值或范围。
总之,当我们在解析几何求最值和参数范围问题时,要深入思考、善于分析,利用最合理、最恰当的方法去解决,这样有利于我们能快速地达到目的,使问题解决的正确率大大提高。
参考文献
[1] 构造二元目标函数求解解析几何中的最值问题 侯绪兵《高中数学教与学》2011年第5期
[2] “设而不求”在圆锥曲线中的应用 汪克明 《中学数学》2008年第9期(上半期)
[3] 例析“降维”思想在一类圆锥曲线题中的妙用 徐志平《数学教学研究》2006年第5期
【摘要】:解析几何中的最值和参数范围问题是高中数学的重要内容.其主要特点是综合性强,在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角等内容.因此,在教学中应重视对数学思想、方法进行归纳提炼,如方程思想、函数思想、参数思想、数形结合的思想、对称思想、整体思想等思想方法,达到优化解题思维、简化解题过程的目的.本文通过对一些典型例题的分析和解答,归纳了解析几何中常见的解决最值和参数范围问题的思想方法,总结了解答典型例题的具体规律,并提供了一些常用的解题方法、技能与技巧。
【关键词】:解析几何 最值问题 参数范围 求解策略
解析几何中涉及最值和参数范围问题常有求面积、距离最值、参数范围问或与之相关的一些问题;求直线与圆锥曲线中几何元素的最值或与之相关的一些问题。我们可以从两个方面来研究圆锥曲线的最值和参数范围问题,一方面用代数的方法研究几何,题中涉及较多数字计算与字母运算,对运算及变形的能力要求较高,用代数的方法解决几何;另一方面要善于从曲线的定义、性质等几何的角度思考,利用数形结合的思想解决问题。
一、代数法:借助代数函数求最值和参数取值范围的方法。运用代数法时,先要建立“目标函数”,然后根据“目标函数”的特点灵活运用求最值。常用的方法有: 1.配方法。由于二次曲线的特点,所求“目标函数”的表达式常常和二次函数在某一个闭区间上的最值联系紧密,这时可对二次函数进行配方,并根据顶点的横坐标结合区间的端点确定所求函数的最值。
1、已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜率为1。当∠ABC=60°时,求菱形ABCD面积的最大值。
分析:本小题主要考查两直线的位置关系,菱形具有的性质和面积计算公式,直线与圆锥曲线的位置关系,两点间的距离公式等基本知识及综合分析能力,突显依据几何条件的特征构建目标函数,运用解方程组研究最值问题的思想方法,化归二次函数值域求解最值。
依据菱形对角线垂直的面积公式“设而不解整体思维”用两点间的距离公式切入类比。
解:(1)由题意的直线BD的方程为y = x +1,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD
设直线AC的方程为y = -x + m
由x2+3y2=4
y = x + m得4x2-6mx+3m2-4=0
因为A,C在椭圆上,所以直线AC与椭圆有两个不同交点,因此此一元二次方程有两个不同的实根,∴=-12m2+64>0,解得-433
x1+y1=3m2,x1y1=3m2-44(设而不解整体思维)
∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=60°
∴|AB|=|BC|=|CA|
∴菱形ABCD面积S=32|AC| 2
依据两点间的距离公式得
|AC| 2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=2(x1-x2)2=2(x1+x2)2-8x1x2=-3m2+162(整体带入思想)
∴S=34(-3m2+16)(-433
评述:解析几何中的最值问题涉及的知识面广,解法灵活多样,但常用的方法有以下几种:(1)利用函数,尤其是二次函数求最值;(2)利用三角函数,尤其是正、余弦函数的有界性求最值;(3)利用不等式,尤其是均值不等式求最值;(4)利用判别式求最值;(5)利用数形结合,尤其是切线的性质求最值。
2、已知G是ABC的重心,A(0,-1),B(0,1),在x轴上有一点M,满足|MC|=|MA|,GM=λAB(λ∈R)
(1)求点C的轨迹方程;
(2)若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同的两点P、Q且满足|AP|=|AQ|,试求k的取值范围。
方法:(1)本题主要三角形重心的坐标公式、向量共线的充要条件、线段中垂线的性质;求点的轨迹方程;(2)直线与圆锥曲线相交的参数问题,解决这类问题可通过建立某变量的一元二次方程,利用判别式法求该参数的范围。
解析:(1)设C(x,y),则重心G(x3,y3)
∵GM=λAB(λ∈R), ∴GM//AB
又M是x轴上一点,则M(x3,0)
又∵|MC|=|MA|
∴(x3)2+1=(x3-x)2+y2,整理得x23+y2=1(x≠0)
∴点C的轨迹方程为x23+y2=1(x≠0)
(2)①当k=0时,l和椭圆有两个不同的交点P,Q(长轴端点),根据对称性有 ;|AP|=|AQ|;
②当k≠0时,设l的方程为:y = kx+m(k≠0),
联立方程组y=kx+b
x23+y2=1
整理得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0
∵直线l和椭圆C有两个不同的交点
∴=36k2m2-12(1+3k2)(m2-1)>0>0
∴即1+3k2-m2>0
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1,x2是方程(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0的两根。
∴x1+x2=-6km3k2+1,x1x2=3(m2-1)3k2+1
则PQ的中点N(x0,y0)的坐标为x0=x1+x22=-3km1+3k2,y0=kx0+m=m1+3k2,即N(-3km1+3k2,m1+3k2) 又∵|AP|=|AQ|,∴AN⊥PQ,
k·kAN=-1,即k·m1+3k3+1-3km1+3k2=-1
∴m=1+3k22
代入1+3k2-m2>0,得1+3k2-(1+3k22)2>0(k≠0)
∴k2<1 ∴k∈(-1,0)∪(0,1)
综合①②得,k的取值范围是(-1,1)
评述::与圆锥曲线相交的参数取值范围问题是高考考查的热点问题,解决这类问题常用以下方法:(1)根据题意建立参数的不等式关系,通过解不等式求出范围;(2)用其它变量表示该参数,建立函数关系,然后利用求值域的相关方法求解;(3)建立变量的一元二次方程,用判别求参数的范围;(4)研究该参数所对应的几何意义,利用数形结合法求解。
[失分警示]误区(1)在应用条件|AP|=|AQ|时,使用两点间的距离公式,会使计算相当繁杂,这里转化为PQ中点与A点连线与PQ垂直,而用斜率之积为-1建立关系,可有效地减少运算量;误区(2)在得到k·kAN=-1,即m=1+3k22后,由于忽略了直线代入椭圆方程以后的式子要求>0,而思维受组,没法确定参数k取值范围。
启示:研究直线与圆锥曲线的相交问题,在联立直线与圆锥曲线的方程,消掉一个变元后,所得到的一元二次方程,一定要考虑>0的条件。公式应用要灵活,分类讨论要不重不漏。二、几何法:借助几何图形或几何意义求最值和参数取值范围的方法。运用几何法时,要善于从曲线的定义、性质等几何的角度思考,利用数形结合的思想解决问题。
3.(2008年辽宁高考)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A.172 B.3
C.5 D.92
【解析】 如图:设A(0,2),抛物线焦点为F(12,0)
根据抛物线的定义,P点到A点的距离与P点到准线的距离之和可转化为P点到A点的距离与P点到焦点F的距离之和|PA|+|PF|,显然和最小时,应有A、P、F共线,且P在A、F之间,(数形结合)
∴所求最小值为|AF|=22+(12)2=174=172.
【答案】 A
解析几何中的最值和参数范围问题,常常选择直线方程的形式和圆锥曲线方程联立,化归一元二次方程有实数解的问题,借助判别式和韦达定理沟通整体处理,注意二次系数不为0和斜率不存在的特殊性的讨论,依据题设和解析几何的特征“设而不解,整体思维”,构建目标函数,化归函数的值域问题,用函数的性质或用不等式知识求解,或借助判别式适合的条件构件不等式解最值或范围。
总之,当我们在解析几何求最值和参数范围问题时,要深入思考、善于分析,利用最合理、最恰当的方法去解决,这样有利于我们能快速地达到目的,使问题解决的正确率大大提高。
参考文献
[1] 构造二元目标函数求解解析几何中的最值问题 侯绪兵《高中数学教与学》2011年第5期
[2] “设而不求”在圆锥曲线中的应用 汪克明 《中学数学》2008年第9期(上半期)
[3] 例析“降维”思想在一类圆锥曲线题中的妙用 徐志平《数学教学研究》2006年第5期