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牛顿问题也叫“牛吃草”问题,这类问题往往给出不同头数的牛吃同一片草,吃的天数不同,求若干头牛吃这片草可以吃多少天。由于吃的天数不同,草又是天天在生长的,所以,草的总量随着吃的天数在不断地变化。这种问题解答时通常将每头牛每天吃的草看作1份,常常用到下面几个数量关系式:
(1)原有草量=牛的头数×吃的天数一草的增长速度×吃的天数;
(2)吃的天数=原有草量÷(牛的头数一草的增长速度);
(3)牛的头数=原有草量÷吃的天数 草的增长速度;
(4)草的增长速度=(牛的头数×吃的较多天数一牛的头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数一吃的较少天数)
解题重点
由于在牛吃草的过程中草是不断生长的,所以,解决牛顿问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的,新长的草虽然在变化,但由于是匀速生长,所以每天新长出的草应该是不变的。正是由于这个不变量,才能够正确地解决牛顿问题。生活中常常遇到的在不断涌出水的井中抽水、运行中的追及问题等,虽然从外表看内容不一样,但问题的实质都是一样的。
名题典中典
例1 有一口井,连续不断地涌出水,而且每分钟涌出的水量相等。如果用3台抽水机抽水,36分钟可以抽完。如果用5台抽水机抽水,20分钟可以抽完。现在用8台抽水机,抽完水要用多少分钟?
分析 把每分钟每台抽水机所抽出的水量看作1份,分别求出每分钟涌出的水量和井中原有的水量,再求实际抽水量。实际抽水量等于原有水量与新涌出的水量之和,一台抽水机8分钟抽水8份。
解答
(1)3台抽水机36分钟抽水量:3x36=108(份)
(2)5台抽水机20分钟抽水量:5x20=100(份)
(3)每分钟涌出水量:(108-100)÷(36-20)=0.5(份)
(4)井中原有水量:108-0.5×36=90(份)
(5)8台抽水机需要的时间:90÷(8-0.5)=12(分钟)
答:用8台抽水机抽完水要用12分钟。
例2 甲、乙、丙3个仓库,各存放着同样数量的化肥。甲仓库用一台传动带输送机和12个工人,需要5小时才能把甲仓库搬空;乙仓库用一台传动带输送机和28个工人,需要3小时才能把乙仓库搬空;丙仓库有两台传动带输送机,如果要求2小时把丙仓库搬空,同时还需要多少名工人?(传动带输送机的工作效率相同,每个工人每小时的搬运量相同,传动带输送机与工人同时往外搬运化肥)
分析 这是变化的“牛吃草”问题,不同之处是传动带输送机的搬运量与工人的搬运量是相加的关系。这道题的关键是由甲、乙两个仓库存放量相同,先求出1台传动带输送机工作1小时的搬运量,再求出每个仓库化肥的存放量是多少。那么甲仓库的存放量=l台传动带输送机5小时的搬运量 1个工人1小时的搬运量×12×5;乙仓库的存放量=1台传动带输送机3小时的搬运量 1个工人1小时的搬运量×28×3。
解答
设1个工人1小时搬运的化肥数量为1。
1台传动带输送机1小时的搬运量:(1×28×3-1×12×5)÷(5-3)=12每个仓库存放的化肥数量:1×28×3 12×3=120丙仓库需要的人数:(120-12×2×2)÷(1×2)=36(人)答:丙仓库同时还需要36名工人。
点津
此题关键是输送机的搬运量与工人的搬运量是相加的关系,这是与“牛吃草”问题的不同之处。
(1)原有草量=牛的头数×吃的天数一草的增长速度×吃的天数;
(2)吃的天数=原有草量÷(牛的头数一草的增长速度);
(3)牛的头数=原有草量÷吃的天数 草的增长速度;
(4)草的增长速度=(牛的头数×吃的较多天数一牛的头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数一吃的较少天数)
解题重点
由于在牛吃草的过程中草是不断生长的,所以,解决牛顿问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的,新长的草虽然在变化,但由于是匀速生长,所以每天新长出的草应该是不变的。正是由于这个不变量,才能够正确地解决牛顿问题。生活中常常遇到的在不断涌出水的井中抽水、运行中的追及问题等,虽然从外表看内容不一样,但问题的实质都是一样的。
名题典中典
例1 有一口井,连续不断地涌出水,而且每分钟涌出的水量相等。如果用3台抽水机抽水,36分钟可以抽完。如果用5台抽水机抽水,20分钟可以抽完。现在用8台抽水机,抽完水要用多少分钟?
分析 把每分钟每台抽水机所抽出的水量看作1份,分别求出每分钟涌出的水量和井中原有的水量,再求实际抽水量。实际抽水量等于原有水量与新涌出的水量之和,一台抽水机8分钟抽水8份。
解答
(1)3台抽水机36分钟抽水量:3x36=108(份)
(2)5台抽水机20分钟抽水量:5x20=100(份)
(3)每分钟涌出水量:(108-100)÷(36-20)=0.5(份)
(4)井中原有水量:108-0.5×36=90(份)
(5)8台抽水机需要的时间:90÷(8-0.5)=12(分钟)
答:用8台抽水机抽完水要用12分钟。
例2 甲、乙、丙3个仓库,各存放着同样数量的化肥。甲仓库用一台传动带输送机和12个工人,需要5小时才能把甲仓库搬空;乙仓库用一台传动带输送机和28个工人,需要3小时才能把乙仓库搬空;丙仓库有两台传动带输送机,如果要求2小时把丙仓库搬空,同时还需要多少名工人?(传动带输送机的工作效率相同,每个工人每小时的搬运量相同,传动带输送机与工人同时往外搬运化肥)
分析 这是变化的“牛吃草”问题,不同之处是传动带输送机的搬运量与工人的搬运量是相加的关系。这道题的关键是由甲、乙两个仓库存放量相同,先求出1台传动带输送机工作1小时的搬运量,再求出每个仓库化肥的存放量是多少。那么甲仓库的存放量=l台传动带输送机5小时的搬运量 1个工人1小时的搬运量×12×5;乙仓库的存放量=1台传动带输送机3小时的搬运量 1个工人1小时的搬运量×28×3。
解答
设1个工人1小时搬运的化肥数量为1。
1台传动带输送机1小时的搬运量:(1×28×3-1×12×5)÷(5-3)=12每个仓库存放的化肥数量:1×28×3 12×3=120丙仓库需要的人数:(120-12×2×2)÷(1×2)=36(人)答:丙仓库同时还需要36名工人。
点津
此题关键是输送机的搬运量与工人的搬运量是相加的关系,这是与“牛吃草”问题的不同之处。