解析几何中弦中点的轨迹主要有以下三类:①过定点的弦中点;②斜率为定值的平行弦中点;③长为定值的动弦中点。下面例谈解析几何中弦中点的轨迹的求法。
　　1. 过定点的动弦中点的轨迹方程 
　　例1,过椭圆x25+y24的左焦点作圆,求弦中点的轨迹方程。
　　解法1,椭圆的左焦点为F(-1,0),设焦点弦所在直线方程y=k(x+1),代入椭圆方程,并整理,得(4+5k2)x2+10k2x+5k2-20=0
　　设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x,y),则
　　x1+x2=-10k24+5k2
　　∴x=x1+x22=-5k24+5k2, K2=-4x5(1+x),代入y=k(x+1),得
　　y2=k2(x+1)2 =-4x5(1+x)(x+1)2=-45x(x+1)
　　当k不存在时,弦中点为(-1,0)满足上述方程
　　即4(x+12)2+5y2=1为所求的轨迹方程。
　　(请读者思考此处为何不验证Δ>0,求x,y的范围。
　　解法2,设椭圆过F(-1,0)的弦交椭圆A(x1,y1),B(x2,y2)两点,中点为M(x,y),则4x21+5y21=20①4x22+5y22=20②
　　①-②得4(x1+x2)(x1-x2)+5(y1+y2)(y1-y2)=0
　　当x1≠x2时,y1-y2x1-x2=-4x5y=KAB
　　又KAB=yx+1
　　所以yx+1=-4x5y,整理,得:4(x+12)2+5y2=1,(*)
　　当x1=x2时,M(-1,0)满足(*)式
　　综上,所求弦中点的轨迹方程为:4(x+12)2+5y2=1,(*)
　　2. 斜率为定值的平行弦中点的轨迹方程
　　解法1设平行弦所在的直线方程为y=kx+m(m为参数)
　　代入y2=2px中,整理,得:k2x2+2(km-p)x+m2=0
　　当△=[2(km-p)]2-4k2m2>0①
　　即2km　　设两交点A(x1,y1)、B(x2,y2)、中点M(x,y)
　　则x=x1+x22=-km-pk2 ②y=kx+m③
　　从②、③中消去m,得y=pk
　　由①、②可得x>p2k2
　　故动点的轨迹方程为y=pk(x>p2k2)
　　解法2,设动弦与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,中点M(x,y)则
　　y21=2px1,①
　　y22=2px2,②
　　①-②整理得(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2)
　　即y1-y2x1-x2=py
　　又点M(x,y)在抛物线内部,所以y2<2px,即x>p2k2
　　所以所求轨迹为y=pk(x>p2k2)
　　3. 长为定值的动弦中点的轨迹方程
　　例3,定长为2t(t≥12)的线段AB,其两端点在抛物线x2=y上移动,求线段中点M的轨迹方程
　　
　　解,设中点M(x0,y0)、A(x1,y1)、B(x2,y2),则
　　x21=y1,①
　　x22=y2,②
　　x21=y1,①
　　x22=y2,②
　　①-②得y1-y2=(x1+x2)(x1+x2)
　　依题意知x1≠x2,所以y1-y2x1-x2=2X0
　　∴直线AB的方程为y-y0=2x0(x-x0),代入y=x2,得
　　x2-2x0x+2x20-y0=0
　　由弦长公式及韦达定理得
　　|AB|=1+k2|x1-x2|,x1+x2=2x0,x1•x2=2x20-y0
　　又|AB|=2l
　　∴2l=1+4x20•(x1+x2)2-4x1x2
　　即(y0-x20)(1+4x20)(1+4x20)=l2
　　∴AB中点M的轨迹方程为(y-x2)(1+4x2)=l2
　　收稿日期:2010-01-13