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【摘要】正反比例是刻画某一现实背景中两种相关联的量的变化规律的数学模型。正确理解和掌握常见的数量关系是学习正比例的基础。首先，教师帮助学生从现实生活中抽象出路程、时间和速度三者的关系，分析变化规律，探究其内涵并初步形成概念。其次，师生通过探索其他类似的两种相关联的量在变化过程中存在的规律，分析、归纳、抽象出数学解析式。最后，进行有针对性的分层练习，使概念在演绎中提升，应用中拓展。
【关键词】数学本质 思想方法 深度学习
数学是研究数量关系和空间形式的科学，正反比例是刻画某一现实背景中两种相关联的量的变化规律的数学模型，因此正比例是小学数学体系中十分重要的知识，它是学习一次函数和图形相似等内容的重要基础。从常量到变量，是学生认识过程中的一次重大飞跃。虽然学生在过去学习用字母表示数和运算律的过程中，对变量的思想有了一些感知，但真正用函数的观念探索两种相关联的量的变化规律是从正比例开始的。正反比例的学习，一方面可以帮助学生进一步加深对过去学过的数量关系的理解，初步学会从变量的角度来认识两种量之间的关系，感受函数的思想方法。另一方面，正比例和反比例的知识在日常生活和生产中有着十分广泛的应用，学好正反比例知识，可以锻炼学生用数学的眼光观察现实生活，抽象概括数学的本质，形成数学思想方法。
正比例的教学目标是使学生结合实例认识成正比例的量，理解正比例的意义；能根据正比例的意义判断两种相关联的量是不是成正比例，并能说明理由；使学生在认识成正比例的量的过程中，体会数量之间的联系和变化关系，感受表示正比例数量关系及其变化规律的数学模型，渗透函数思想，进一步培养比较、抽象、概括和演绎等思维能力。依据正比例内容的本质和学习目标，安排下面的教学过程。
一、依据知识的内在联系，找准知识的起点
教師依据学生知识基础，设置问题导入：“同学们，老师准备开车去南京学习，大约要行驶240千米的路程。如果我下午2时出发，想在下午5时到达，那老师开车每小时应行驶多少千米呢？”“240÷3=80（千米），是根据哪个数量关系来求的？”“路程÷时间=速度。我们在解决实际问题时，要分析数量关系，根据两个已知的相关联的量，比如这里的路程和时间，求出未知量速度。今天要进一步研究‘两种相关联的量’，看看变化着的两种量还存在着什么样的关系，探索这两种量的变化规律。”
[评析]正确理解和掌握常见的数量关系是学习正比例的基础，教师从现实生活中抽象出路程、时间和速度三者的关系，课伊始就让学生来到学习正比例的起点，也为下面表格中相关量的数据分析做了有效铺垫。
二、分析变化规律，探究内涵并初步形成概念
1.依据“变化”，理解“相关联的量”
例题1：一辆汽车在公路上行驶，行驶时间和路程如下表。
师：我们来看表格，表格里出示了哪两种量？我们再观察一下这些数据，看看这两种量是怎样变化的？我们发现，行驶的时间越长，路程就越多。请同学们反过来看有什么发现？是不是这两种量都在变化？你们觉得是谁的变化，引起了另一种量的变化呢？
小结：通过观察我们发现，时间越长，路程就越长，时间越短，路程越短。我们就说，这两种相关联的量，是一种量变化了，另一种量也随着变化。
2.发现“不变”，找到规律
教师启发学生，除了两个变量以外，有没有不变的量？发现速度不变，请学生选几组相对应的路程和时间来验证一下。教师小结：比值不变即比值是不变的量。
3.揭示关系，初步形成概念
教师板书数量关系并指出，像这里的时间和路程这两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，并且这两种量相对应的两个数的比值总是一定的，我们就说，这两种量是成正比例关系，这两种量就是成正比例的量。
[评析]重视概念的形成过程，让学生在充分感知的基础上理解正比例的意义。首先通过具体的实例看到两种量的变化趋势，体会正比例所研究的两个变量之间的变化关系；其次是通过探索两种量在变化过程中存在的规律，经过抽象得出两种变量之间存在的数量关系，初步感知正比例的意义。
三、抽象出数学解析式，帮助学生把握概念的本质
1.教学“试一试”
例题2：购买铅笔的数量和总价如下表，判断铅笔的数量和总价是否成正比例关系。
师生讨论：你认为要判断这两种量是否成正比例关系，要考虑这两种量符合哪些条件？探讨下面问题后作出判断。
（1）数量变化，总价是否跟着变化？
（2）写出对应总价和数量的比，算出比值，比较大小。
（3）这道题中的比值表示什么？
（4）铅笔的总价和数量成正比例吗？
2.概括正比例的意义
比较例题1和例题2有哪些共同点？两题中的每两个变量的对应比值一定，每题中的两个量都成正比例关系。教师设问，都是变化的两个量，那我们可以用什么来表示？（x，y）如果它们的比值用k来表示，那像这样的正比例关系就可以用含有字母的式子来表示。请说出正比例字母表示式。
=k（一定）
追问：这里的x，y表示什么？k呢？当k怎样时，我们就说x，y成正比例。请举例说说生活中还有哪些成正比例的量。
[评析]此教学环节旨在通过比较归纳抽象出正比例的解析式。在例题初步感知概念的基础上，通过购物的情境进一步感知成正比例的量的变化规律，再通过例题1和例题2的比较分析，从而对正比例的意义进行进一步抽象，同时揭示出正比例关系的字母表达式，帮助学生把握正比例概念的本质。这样，结合生活中的典型实例，引导学生经历从具体到抽象的学习过程。通过两次抽象把感性认识上升为理性认识，进而获得对正比例意义的正确理解，有效突破了学生认知上的难点，实现了认知上的飞跃。
四、演绎提升，应用拓展
1.依据表格判断两种相关联的量是不是成正比例
“练一练”第1、2题；练习十第1题。判断的关键是要比较相对应的两个数的比值是否一定，即是否是不变的量。
让学生通过看正方形的图，观察随着边长的变化，周长和面积也随着变化，边长、周长和面积之间是否存在成正比例的相关联的量？
小结：虽然这里的两种量都是相关联的量，但是这两种相关联的量不一定成正比例，只有对应数值的比值一定时，才成正比例。
2.拓展思考
圆的周长和它的半径成正比例吗？圆的面积和它的半径呢？
[评析]练习的针对性和层次性是概念教学中巩固练习设计的重要要求。练习的第一个层次是帮助学生进一步理解和掌握判断两种相关联的量是不是成正比例关系的思考过程和方法，弄清构成正比例关系的两种量的必要条件。练习的第二个层次是对概念的深入辨析，通过理解为什么正方形的周长和边长成正比例，而面积和边长不成正比例，使学生体会到，在现实世界中有很多数量都是按一定的规律变化的，只有当两种相关联的量的比值一定时，这两种量才成正比例关系。练习的第三个层次安排判断圆的周长和它的半径、圆的面积和它的半径之间是否成正比例，这是前两个层次的演绎拓展，也是数学知识的迁移应用，利于学生深度学习数学。
正比例的教学安排，旨在突出数学概念从形成发展到数学原理演绎应用的内在要求，力求在体现数学本质的同时渗透数学思想方法，从而形成学生的数学能力。
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
【关键词】数学本质 思想方法 深度学习
数学是研究数量关系和空间形式的科学，正反比例是刻画某一现实背景中两种相关联的量的变化规律的数学模型，因此正比例是小学数学体系中十分重要的知识，它是学习一次函数和图形相似等内容的重要基础。从常量到变量，是学生认识过程中的一次重大飞跃。虽然学生在过去学习用字母表示数和运算律的过程中，对变量的思想有了一些感知，但真正用函数的观念探索两种相关联的量的变化规律是从正比例开始的。正反比例的学习，一方面可以帮助学生进一步加深对过去学过的数量关系的理解，初步学会从变量的角度来认识两种量之间的关系，感受函数的思想方法。另一方面，正比例和反比例的知识在日常生活和生产中有着十分广泛的应用，学好正反比例知识，可以锻炼学生用数学的眼光观察现实生活，抽象概括数学的本质，形成数学思想方法。
正比例的教学目标是使学生结合实例认识成正比例的量，理解正比例的意义；能根据正比例的意义判断两种相关联的量是不是成正比例，并能说明理由；使学生在认识成正比例的量的过程中，体会数量之间的联系和变化关系，感受表示正比例数量关系及其变化规律的数学模型，渗透函数思想，进一步培养比较、抽象、概括和演绎等思维能力。依据正比例内容的本质和学习目标，安排下面的教学过程。
一、依据知识的内在联系，找准知识的起点
教師依据学生知识基础，设置问题导入：“同学们，老师准备开车去南京学习，大约要行驶240千米的路程。如果我下午2时出发，想在下午5时到达，那老师开车每小时应行驶多少千米呢？”“240÷3=80（千米），是根据哪个数量关系来求的？”“路程÷时间=速度。我们在解决实际问题时，要分析数量关系，根据两个已知的相关联的量，比如这里的路程和时间，求出未知量速度。今天要进一步研究‘两种相关联的量’，看看变化着的两种量还存在着什么样的关系，探索这两种量的变化规律。”
[评析]正确理解和掌握常见的数量关系是学习正比例的基础，教师从现实生活中抽象出路程、时间和速度三者的关系，课伊始就让学生来到学习正比例的起点，也为下面表格中相关量的数据分析做了有效铺垫。
二、分析变化规律，探究内涵并初步形成概念
1.依据“变化”，理解“相关联的量”
例题1：一辆汽车在公路上行驶，行驶时间和路程如下表。
师：我们来看表格，表格里出示了哪两种量？我们再观察一下这些数据，看看这两种量是怎样变化的？我们发现，行驶的时间越长，路程就越多。请同学们反过来看有什么发现？是不是这两种量都在变化？你们觉得是谁的变化，引起了另一种量的变化呢？
小结：通过观察我们发现，时间越长，路程就越长，时间越短，路程越短。我们就说，这两种相关联的量，是一种量变化了，另一种量也随着变化。
2.发现“不变”，找到规律
教师启发学生，除了两个变量以外，有没有不变的量？发现速度不变，请学生选几组相对应的路程和时间来验证一下。教师小结：比值不变即比值是不变的量。
3.揭示关系，初步形成概念
教师板书数量关系并指出，像这里的时间和路程这两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，并且这两种量相对应的两个数的比值总是一定的，我们就说，这两种量是成正比例关系，这两种量就是成正比例的量。
[评析]重视概念的形成过程，让学生在充分感知的基础上理解正比例的意义。首先通过具体的实例看到两种量的变化趋势，体会正比例所研究的两个变量之间的变化关系；其次是通过探索两种量在变化过程中存在的规律，经过抽象得出两种变量之间存在的数量关系，初步感知正比例的意义。
三、抽象出数学解析式，帮助学生把握概念的本质
1.教学“试一试”
例题2：购买铅笔的数量和总价如下表，判断铅笔的数量和总价是否成正比例关系。
师生讨论：你认为要判断这两种量是否成正比例关系，要考虑这两种量符合哪些条件？探讨下面问题后作出判断。
（1）数量变化，总价是否跟着变化？
（2）写出对应总价和数量的比，算出比值，比较大小。
（3）这道题中的比值表示什么？
（4）铅笔的总价和数量成正比例吗？
2.概括正比例的意义
比较例题1和例题2有哪些共同点？两题中的每两个变量的对应比值一定，每题中的两个量都成正比例关系。教师设问，都是变化的两个量，那我们可以用什么来表示？（x，y）如果它们的比值用k来表示，那像这样的正比例关系就可以用含有字母的式子来表示。请说出正比例字母表示式。
=k（一定）
追问：这里的x，y表示什么？k呢？当k怎样时，我们就说x，y成正比例。请举例说说生活中还有哪些成正比例的量。
[评析]此教学环节旨在通过比较归纳抽象出正比例的解析式。在例题初步感知概念的基础上，通过购物的情境进一步感知成正比例的量的变化规律，再通过例题1和例题2的比较分析，从而对正比例的意义进行进一步抽象，同时揭示出正比例关系的字母表达式，帮助学生把握正比例概念的本质。这样，结合生活中的典型实例，引导学生经历从具体到抽象的学习过程。通过两次抽象把感性认识上升为理性认识，进而获得对正比例意义的正确理解，有效突破了学生认知上的难点，实现了认知上的飞跃。
四、演绎提升，应用拓展
1.依据表格判断两种相关联的量是不是成正比例
“练一练”第1、2题；练习十第1题。判断的关键是要比较相对应的两个数的比值是否一定，即是否是不变的量。
让学生通过看正方形的图，观察随着边长的变化，周长和面积也随着变化，边长、周长和面积之间是否存在成正比例的相关联的量？
小结：虽然这里的两种量都是相关联的量，但是这两种相关联的量不一定成正比例，只有对应数值的比值一定时，才成正比例。
2.拓展思考
圆的周长和它的半径成正比例吗？圆的面积和它的半径呢？
[评析]练习的针对性和层次性是概念教学中巩固练习设计的重要要求。练习的第一个层次是帮助学生进一步理解和掌握判断两种相关联的量是不是成正比例关系的思考过程和方法，弄清构成正比例关系的两种量的必要条件。练习的第二个层次是对概念的深入辨析，通过理解为什么正方形的周长和边长成正比例，而面积和边长不成正比例，使学生体会到，在现实世界中有很多数量都是按一定的规律变化的，只有当两种相关联的量的比值一定时，这两种量才成正比例关系。练习的第三个层次安排判断圆的周长和它的半径、圆的面积和它的半径之间是否成正比例，这是前两个层次的演绎拓展，也是数学知识的迁移应用，利于学生深度学习数学。
正比例的教学安排，旨在突出数学概念从形成发展到数学原理演绎应用的内在要求，力求在体现数学本质的同时渗透数学思想方法，从而形成学生的数学能力。
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.