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[摘 要]我们日常所用的焦耳定律由实验和宏观理论推导而得，与金属性质的关系尚无体现，现从微观分析金属原子电流热效应，结合金属三大结构得出焦耳定律并进一步推导出电阻率与相关参量的关系，与现实实验结果相吻合。
[关键词]自由电子 金属原子 做功 功率 电阻率
中图分类号：TG111 文献标识码：B 文章编号：1009-914X（2014）42-0099-03
当电流通过电阻时，电流做功而消耗电能，产生了热量，这种现象叫做电流的热效应[1]。尽管焦耳定律告诉我们电流通过导体所产生的热量和电流的平方、导体本身的电阻值以及电流通过的时间成正比[1]，但事实上电流的热效应是由导体内的微观粒子在电场作用下的运动产生的，因此我们有必要讨论电流热效应的微观机制。
以下就从金属在电场作用下其原子与电子间的总能量变化得出焦耳定律，并且得出金属电阻率与金属性质的关系，该关系与实验结果很吻合。
1 电流热效应的微观分析
物质中存在大量的热运动，金属子也不例外，可简单的认为金属原子的振动，是在一个球形空间内以球心为中心的振动。金属导体间没加电压时，自由电子的运动是杂乱无章的，其运动时能量是守恒的。但金属导体间加电压时，自由电子经过单个金属原子时运动轨迹有趋向于直线的趋势，并且电压越大这个趋势越大。现把这个趋势程度用，若单位时间内平均有个自由电子经过单个金属原子，则这个自由电子与单个金属原子之间的能量变化和个自由电子经过单个金属原子时完全趋向于直线运动与单个金属原子之间的能量变化是等效。故在对个自由电子与单个金属原子之间的能量变化时，可理想化的看成个自由电子经过单个金属原子时完全趋向于直线运动其他自由电子与单个金属原子之间仍保持能量守恒。以下对理想化的这种自由电子与单个金属原子之间的能量关系进行分析。
如图1所示：
O为某一金属原子振动的中心，最大的振幅为d即球的半径，原子的最大振动速率为，直线为强电压下某一电子经过此原子的运动轨迹。把原子的振动速度可分解为，，三个方向，其中轴垂直于且与相交于B，轴与由平衡，另外为轴。在上取任意两点A，C使AB=BC。则电子在A，C两处时与原子的在方向上的作用力大小相等方向相反。故该电子经过时原子在，方向的振动对该电子的总能量不影响，只有在方向的原子振动可能会引起原子与电子能量的改变。因此把原子的振动区域均投影在轴上，且振动速度均投影在这个方向上进行分析，在这个投影区域内任取一点，此点的平均折合速率为，在这一点的折合几率为，在定点单位元为，折合停留时间为，周期为，
由
得： （1）
2 金属原子在处与自由电子的做功
金属是靠自由电子进行导电的，而自由电子的运动速率只决定于金属的性质，与电流的大小无关，故可以认为为定值。即设单位时间内平均有个这样的电子经过一金属原子且与原子的平均最近距离设为，如图2所示。
自由电子的运动方向由A→C， AB=BC=，OB⊥AC，OB=，Ox，Bx当n个电子运动到C时，原子靠近电子时，原子的位置为x′，速度，原子远离电子时原子的位置为x″，速度为，在AB上任取一点D，设DE=。
设
由于原子的振动速度远小于自由电子的运动速度
所以x′x″< BEBX
设单位时间内有个理想电子经过C， A到C路径中单位长度内平均占有n个电子，单位时间内电子从A运动到C的过程中对金属原子产生的动量可认为：
（为金属原子的有效电荷，=BD）
则n个电子从A运动到C的过程中对金属原子产生的动量可认为：
（2）
由知：
（3）
把（3）代入（2）得
（4）
由于
x
（5）
把（5）代入（4）得
（6）
（7）
故原子在处n个理想电子对原子的势能变化量为
（8）
又因为
（9）
是原子自身做简谐振动引起的距离改变，可相互抵消。
把（1）（9）代入（8）得
即
（10）
把（6）代入（10）得
=
3 n个电子对任一原子做功
由于rx=r±x
由于x< 则rxr
则n个电子对任一原子做的功约为：
（11）
由于（为原子振动的平均速率）
（12）
当→0or =0时
则n个理想电子对任一原子做的功约为：
（13）
当时，
导体在没有通电时原子受到的合力约为0
故通电时原子受到的合力约为
故此时原子的加速度与原子结合力无关即（14）
把（14）式带入（13）式得
为n个理想电子对任一原子的动能变化量
故n个理想电子对任一原子做的功
（15）
4 借助金属的三大晶体构型与宏观连接
设某一原子的的晶体结构为A1型晶体晶胞如图3所示。
设晶胞边长为a，原子半径为。
则
若以其中任一原子进行分析
则单位时间平均流经这个原子的电子应是这个原子平均占有流经这个原子的电子2倍。
即平均每个原子单位时间所占有流经这个原子的电子为（为电子运动速度） 设由此金属组成的一根导线横截面积为，长度为
则其时间产生的热为（为金属的总数目）
又由于每个晶胞中含有个原子
则
则）
（16）
由每个原子平均占有空间为
则每个原子平均占有的边长为
每个原子平均占有的截面积为
则电流（为金属导体的横截面积，为电子运动速度）
则
则
（17）
则晶体结构为A1型的金属的热功率为
（18）
由于常温下
故 （19）
其电阻率 （20）
同理A2型金属的热电功率
（21）
一般情况下
（22）
即电阻率 （23）
A3型金属的热功率
（24）
一般情况下
（25）
（26）
5 焦耳定律结果的概括
由焦耳定律的结果可知：
（27）
一般情况下
（28）
（29）
由此可得电阻率与金属所带的电荷的平方成正比，与原子半径成正比，与原子的振动速度成正比，与自由电子运动速率的3次方成反比，与自由电子与原子的最近平均距离的三次方成反比。原子的结合力与am成正比，所以电阻率与am成反比。而与和原子对自由电子的束缚力有关，即越小，原子对自由电子的束缚力越大越小，同时相同温度下结合力较大的话也相应较小。
6 对简单金属电阻率的定性比较
金属导体的导电率如表1[2]：
以为例从表中可看出第I主族，第II主族的金属除Li、Be外从上到下电阻率增大（单位）
解释：Ⅰ、Ⅱ主族包括器Ⅲ主族对电子的束缚力比较弱故，又由于从以及从的增大幅度要小于其结合力的减小幅度，并且随着原子层的增大，自由电子的运动速度也随着减小故从以及从电阻增大，由于Li、Be除去自由电子只有一层，而Na、Mg却有两层。故从，以及从的增大幅度较大，大于其am减小幅度
再如：时
（表1）为金属导体导电率的常用物理数据表
解释：第二周期、第三周期的金属的减小幅度要比结合力am增大幅度小的多。
再如Hg几乎是所有金属中电阻率最大的，主要是由于Hg是液体，其结合力am最小。
利用公式估算电阻率的数量级
由（29）知
设原子的结合力（为原子间的有效电荷）
故 （30）
从数量级上看为，为，为，与等同，与等同，为1，为，一般以为多，为，一般大于，一般以为多。
故的数量级应在之间，一般以为主而实际上的数量级为，以为主（仅对以自由电子进行导电的物质适应）
参考文献
[1] 赵凯华，陈熙谋编著，电磁学，高等教育出版社.
[2] 胡盘新主编，大学物理手册，上海交通大学出版社，551.
[关键词]自由电子 金属原子 做功 功率 电阻率
中图分类号：TG111 文献标识码：B 文章编号：1009-914X（2014）42-0099-03
当电流通过电阻时，电流做功而消耗电能，产生了热量，这种现象叫做电流的热效应[1]。尽管焦耳定律告诉我们电流通过导体所产生的热量和电流的平方、导体本身的电阻值以及电流通过的时间成正比[1]，但事实上电流的热效应是由导体内的微观粒子在电场作用下的运动产生的，因此我们有必要讨论电流热效应的微观机制。
以下就从金属在电场作用下其原子与电子间的总能量变化得出焦耳定律，并且得出金属电阻率与金属性质的关系，该关系与实验结果很吻合。
1 电流热效应的微观分析
物质中存在大量的热运动，金属子也不例外，可简单的认为金属原子的振动，是在一个球形空间内以球心为中心的振动。金属导体间没加电压时，自由电子的运动是杂乱无章的，其运动时能量是守恒的。但金属导体间加电压时，自由电子经过单个金属原子时运动轨迹有趋向于直线的趋势，并且电压越大这个趋势越大。现把这个趋势程度用，若单位时间内平均有个自由电子经过单个金属原子，则这个自由电子与单个金属原子之间的能量变化和个自由电子经过单个金属原子时完全趋向于直线运动与单个金属原子之间的能量变化是等效。故在对个自由电子与单个金属原子之间的能量变化时，可理想化的看成个自由电子经过单个金属原子时完全趋向于直线运动其他自由电子与单个金属原子之间仍保持能量守恒。以下对理想化的这种自由电子与单个金属原子之间的能量关系进行分析。
如图1所示：
O为某一金属原子振动的中心，最大的振幅为d即球的半径，原子的最大振动速率为，直线为强电压下某一电子经过此原子的运动轨迹。把原子的振动速度可分解为，，三个方向，其中轴垂直于且与相交于B，轴与由平衡，另外为轴。在上取任意两点A，C使AB=BC。则电子在A，C两处时与原子的在方向上的作用力大小相等方向相反。故该电子经过时原子在，方向的振动对该电子的总能量不影响，只有在方向的原子振动可能会引起原子与电子能量的改变。因此把原子的振动区域均投影在轴上，且振动速度均投影在这个方向上进行分析，在这个投影区域内任取一点，此点的平均折合速率为，在这一点的折合几率为，在定点单位元为，折合停留时间为，周期为，
由
得： （1）
2 金属原子在处与自由电子的做功
金属是靠自由电子进行导电的，而自由电子的运动速率只决定于金属的性质，与电流的大小无关，故可以认为为定值。即设单位时间内平均有个这样的电子经过一金属原子且与原子的平均最近距离设为，如图2所示。
自由电子的运动方向由A→C， AB=BC=，OB⊥AC，OB=，Ox，Bx当n个电子运动到C时，原子靠近电子时，原子的位置为x′，速度，原子远离电子时原子的位置为x″，速度为，在AB上任取一点D，设DE=。
设
由于原子的振动速度远小于自由电子的运动速度
所以x′x″<
设单位时间内有个理想电子经过C， A到C路径中单位长度内平均占有n个电子，单位时间内电子从A运动到C的过程中对金属原子产生的动量可认为：
（为金属原子的有效电荷，=BD）
则n个电子从A运动到C的过程中对金属原子产生的动量可认为：
（2）
由知：
（3）
把（3）代入（2）得
（4）
由于
x
（5）
把（5）代入（4）得
（6）
（7）
故原子在处n个理想电子对原子的势能变化量为
（8）
又因为
（9）
是原子自身做简谐振动引起的距离改变，可相互抵消。
把（1）（9）代入（8）得
即
（10）
把（6）代入（10）得
=
3 n个电子对任一原子做功
由于rx=r±x
由于x<
则n个电子对任一原子做的功约为：
（11）
由于（为原子振动的平均速率）
（12）
当→0or =0时
则n个理想电子对任一原子做的功约为：
（13）
当时，
导体在没有通电时原子受到的合力约为0
故通电时原子受到的合力约为
故此时原子的加速度与原子结合力无关即（14）
把（14）式带入（13）式得
为n个理想电子对任一原子的动能变化量
故n个理想电子对任一原子做的功
（15）
4 借助金属的三大晶体构型与宏观连接
设某一原子的的晶体结构为A1型晶体晶胞如图3所示。
设晶胞边长为a，原子半径为。
则
若以其中任一原子进行分析
则单位时间平均流经这个原子的电子应是这个原子平均占有流经这个原子的电子2倍。
即平均每个原子单位时间所占有流经这个原子的电子为（为电子运动速度） 设由此金属组成的一根导线横截面积为，长度为
则其时间产生的热为（为金属的总数目）
又由于每个晶胞中含有个原子
则
则）
（16）
由每个原子平均占有空间为
则每个原子平均占有的边长为
每个原子平均占有的截面积为
则电流（为金属导体的横截面积，为电子运动速度）
则
则
（17）
则晶体结构为A1型的金属的热功率为
（18）
由于常温下
故 （19）
其电阻率 （20）
同理A2型金属的热电功率
（21）
一般情况下
（22）
即电阻率 （23）
A3型金属的热功率
（24）
一般情况下
（25）
（26）
5 焦耳定律结果的概括
由焦耳定律的结果可知：
（27）
一般情况下
（28）
（29）
由此可得电阻率与金属所带的电荷的平方成正比，与原子半径成正比，与原子的振动速度成正比，与自由电子运动速率的3次方成反比，与自由电子与原子的最近平均距离的三次方成反比。原子的结合力与am成正比，所以电阻率与am成反比。而与和原子对自由电子的束缚力有关，即越小，原子对自由电子的束缚力越大越小，同时相同温度下结合力较大的话也相应较小。
6 对简单金属电阻率的定性比较
金属导体的导电率如表1[2]：
以为例从表中可看出第I主族，第II主族的金属除Li、Be外从上到下电阻率增大（单位）
解释：Ⅰ、Ⅱ主族包括器Ⅲ主族对电子的束缚力比较弱故，又由于从以及从的增大幅度要小于其结合力的减小幅度，并且随着原子层的增大，自由电子的运动速度也随着减小故从以及从电阻增大，由于Li、Be除去自由电子只有一层，而Na、Mg却有两层。故从，以及从的增大幅度较大，大于其am减小幅度
再如：时
（表1）为金属导体导电率的常用物理数据表
解释：第二周期、第三周期的金属的减小幅度要比结合力am增大幅度小的多。
再如Hg几乎是所有金属中电阻率最大的，主要是由于Hg是液体，其结合力am最小。
利用公式估算电阻率的数量级
由（29）知
设原子的结合力（为原子间的有效电荷）
故 （30）
从数量级上看为，为，为，与等同，与等同，为1，为，一般以为多，为，一般大于，一般以为多。
故的数量级应在之间，一般以为主而实际上的数量级为，以为主（仅对以自由电子进行导电的物质适应）
参考文献
[1] 赵凯华，陈熙谋编著，电磁学，高等教育出版社.
[2] 胡盘新主编，大学物理手册，上海交通大学出版社，551.