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学好初中数学可以分“学、悟、化”三个阶段。学，就是要认真学习；悟就是要靠自己的悟性去领悟；化，就是要融会贯通，提炼出自己的东西。
在新知教学阶段，学生一般都是以“学”为主，到了中考数学复习阶段，教师若不能很好引导学生去领悟数学知识和方法，学生就不能融会贯通，提炼出自己的东西，这样，在中考中如遇到老师没讲过的题型，就可能会失去方寸，不知所措。为此，中考数学教学要善于启发学生的“悟”而达“化”。
例1：一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为y(km)，图中的折线表示y与x之间的函数关系。
根据图象进行以下探究：
若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？
我从书本答案入手，逐步启发学生“悟”而达“化”。
书中答案：用的是函数思想方法：慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h。把x=4.5代入y=225x-900，得y=112.5。此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是112.5÷150=0.75(h)，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h。
我启发并引导学生采用方程思想方法解决问题：
设第二列快车比第一列快车晚出发t小时,则由题意可得：（4.5-t）×150+4.5×75=900，解之得，t=0.75，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h。
最后学生自发想到用推理方法解决：原先第二列快车与第一列快车相距的路程由快车和慢车共同行驶了30分钟，而慢车的速度是快车的一半，于是慢车行驶的30分钟等同于快车的15分钟，从而推出第二列快车与第一列快车相距的路程由快车行驶一共只要45分钟，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h。
再如例2：如图，已知二次函数y=x2-2x-1的图象的顶点为A。二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上。
（1）求点A与点C的坐标；
（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数y=ax2+bx的关系式。
对于第（2）题原题答案：
（2）因为四边形AOBC是菱形，所以点B和点A关于直线OC对称，因此，点B的坐标为（1,2）。
因为二次函数y=ax2+bx的图象经过
点B(1,2),C（2,0），
所以：
解得：
所以二次函数y=ax2+bx的关系式为y=-2x2+4x。
接下，我问学生如果没有y=ax2+bx的提示，会想到用什么方法求出抛物线，学生说会用顶点式y=a(x-h)2+k来做，因为顶点B（1，2）由对称可以很快求出，这样可设y=a(x-1)2+2，再把O（0，0）代入，很快求出a=-2，得到抛物线关系式y=-2(x-1)2+2。我非常赞同并表扬了学生，鼓励学生在解决问题时就该有自己的想法。
教学中不断的启发、引导给了学生极大地鼓舞和信心，由此“悟”而达“化”，学生“解决问题”的方法也越来越多样。
例如：已知二次函数y=a(x-1)2-4的图象与x轴的一个交点为A（3，0）。
（1）求该二次函数的关系式；
（2）将该二次函数的图象沿x轴向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标。
原本答案：（1）y=x2-2x-3,(2)令y=0,得x2-2x-3=0,解方程，得x1 = 3,x2 =-1。 二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（-1，0）。二次函数的图象沿x轴向右平移1个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点。 平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标为（4，0）。
学生却有另一种想法：
设二次函数的图象沿x轴向右平移m个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点。由题意得: y = (x-1-m)2-4 ,把（0，0）代入，得m1=1，m2=-3于是二次函数的图象沿x轴向右平移1个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点。平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标为（4，0）。
总之，在数学教学中，教师要在学生自主获取的过程上下功夫，至于结果中的偏差，要引导学生反思探究过程，在理性精神的指导下获得合理的解释，要把灌输教学方式转变为让学生自己发现问题、解决问题、得出结论的探究式学习方式。
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
在新知教学阶段，学生一般都是以“学”为主，到了中考数学复习阶段，教师若不能很好引导学生去领悟数学知识和方法，学生就不能融会贯通，提炼出自己的东西，这样，在中考中如遇到老师没讲过的题型，就可能会失去方寸，不知所措。为此，中考数学教学要善于启发学生的“悟”而达“化”。
例1：一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为y(km)，图中的折线表示y与x之间的函数关系。
根据图象进行以下探究：
若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？
我从书本答案入手，逐步启发学生“悟”而达“化”。
书中答案：用的是函数思想方法：慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h。把x=4.5代入y=225x-900，得y=112.5。此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是112.5÷150=0.75(h)，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h。
我启发并引导学生采用方程思想方法解决问题：
设第二列快车比第一列快车晚出发t小时,则由题意可得：（4.5-t）×150+4.5×75=900，解之得，t=0.75，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h。
最后学生自发想到用推理方法解决：原先第二列快车与第一列快车相距的路程由快车和慢车共同行驶了30分钟，而慢车的速度是快车的一半，于是慢车行驶的30分钟等同于快车的15分钟，从而推出第二列快车与第一列快车相距的路程由快车行驶一共只要45分钟，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h。
再如例2：如图，已知二次函数y=x2-2x-1的图象的顶点为A。二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上。
（1）求点A与点C的坐标；
（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数y=ax2+bx的关系式。
对于第（2）题原题答案：
（2）因为四边形AOBC是菱形，所以点B和点A关于直线OC对称，因此，点B的坐标为（1,2）。
因为二次函数y=ax2+bx的图象经过
点B(1,2),C（2,0），
所以：
解得：
所以二次函数y=ax2+bx的关系式为y=-2x2+4x。
接下，我问学生如果没有y=ax2+bx的提示，会想到用什么方法求出抛物线，学生说会用顶点式y=a(x-h)2+k来做，因为顶点B（1，2）由对称可以很快求出，这样可设y=a(x-1)2+2，再把O（0，0）代入，很快求出a=-2，得到抛物线关系式y=-2(x-1)2+2。我非常赞同并表扬了学生，鼓励学生在解决问题时就该有自己的想法。
教学中不断的启发、引导给了学生极大地鼓舞和信心，由此“悟”而达“化”，学生“解决问题”的方法也越来越多样。
例如：已知二次函数y=a(x-1)2-4的图象与x轴的一个交点为A（3，0）。
（1）求该二次函数的关系式；
（2）将该二次函数的图象沿x轴向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标。
原本答案：（1）y=x2-2x-3,(2)令y=0,得x2-2x-3=0,解方程，得x1 = 3,x2 =-1。 二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（-1，0）。二次函数的图象沿x轴向右平移1个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点。 平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标为（4，0）。
学生却有另一种想法：
设二次函数的图象沿x轴向右平移m个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点。由题意得: y = (x-1-m)2-4 ,把（0，0）代入，得m1=1，m2=-3于是二次函数的图象沿x轴向右平移1个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点。平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标为（4，0）。
总之，在数学教学中，教师要在学生自主获取的过程上下功夫，至于结果中的偏差，要引导学生反思探究过程，在理性精神的指导下获得合理的解释，要把灌输教学方式转变为让学生自己发现问题、解决问题、得出结论的探究式学习方式。
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