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摘 要：学生的数学学习迈向数学概念本质内涵，需要回归原点，在“退步”中前进，以“透视”的方式思考。教师引导学生对数学美的理解可以从生活现象的角度切入，更需要紧扣数学知识的本质。
关键词：小学数学；圆的认识；原点；本质
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2015）23-0055-06
近期我参加教育局组织的骨干教师送教下乡活动，在这次活动中，我的任务是执教研究课，课题是五年级下册“圆的认识”。“圆的认识”这一课许多名师、特级教师都有过或唯美、或深刻的经典教例，现在让我再来执教这一课，如何才能独辟蹊径，创新教学思路，上出新意？我将研究的视角投向学生和课程标准，试图沿着这两个路径寻求教学思路的突破。基于对学生和课标的研究，我调整教学设计的思路：与其追求教学形式的新意，不如努力探寻数学的深意——引导学生从对平面图形认识的原点出发，向圆的本质特征迈进，给学生一个数学意义上的圆的认识。
一、由点到线，连线成面，观察比较——初相识
数学学习总是从简单到复杂，对图形的认识也是这样，点是学生认识的最最基本的几何图形。
用直尺连接这两点，就得到什么图形？再在作业纸上画三个点，顺次连接这三个点（不考虑这些点在同一条直线上），能得到什么图形？如果画四个点呢？
例如，5个点、6个点、16点、32点……分别得到五边形、六边形、十六边形、三十二边形……，还可以画出无数个点，还能得到这样的图形，认识吗？（见图1）
（图1）
1.上面一排这些平面图形虽然形状各不一样，但都有什么共同特点？
2.圆和我们以前所学过的平面图形有什么不同？
3.圆是由曲线围成的平面图形，图2中也有曲线，它们是圆吗？为什么？看来圆不仅仅是曲线围成那么简单，能从众多平面图形中辨认出圆，还不能说就认识了圆。让我们用专业的视角继续观察研究圆。
【教学思考】学生能依据原有的经验从众多平面图形中辨认出圆，说明在学生的经验世界中有关于圆的模糊认识。引导学生动手画出点、线段、线段围成的多边形……观察比较圆形与多边形的不同，让学生理解圆是由曲线形成的平面图形，同时，也让学生感悟到围成圆的曲线也可以看作是由无数个点形成的。学生的认识从最基本的平面图形“点”开始，由简单到复杂，初识圆形时通过比较凸显圆的特点。
二、分层递进，尝试操作，探究辨析——渐感悟
（一）第一次画圆
要研究圆，首先让学生任意画一个圆，可以借助任意工具。
展示学生用不同工具所画的圆：
1.展示学生用圆形物体描出的圆，肯定学生的画法，并让学生借助物体上圆形的面，能描出圆。
2.展示学生用圆规画出的圆，让学生介绍画法，顺势引导学生认识圆规组成部分：笔头、双腿与两个脚尖。
3.你能用老师的这只大圆规教其他同学画出一个圆吗？教师协助学生画圆。看了这位同学画圆的全过程，大家觉得在用圆规画圆的时候应该注意些什么？
4.如果要让画出的圆在不同位置，怎么办？圆的位置不变，要画大一些的圆该怎么做呢？
（引导学生感悟：画圆时，圆的位置与针尖固定的一点位置有关，圆的大小与圆规两脚尖叉开的距离有关。适时板书：位置 大小）
（二）第二次画圆
所有学生用圆规画出一个圆，要求同桌两人画的圆要一样大。
学生同桌两人商量，动手画圆。选取符合要求的学生作业展示，请他们汇报是怎样做到“两人画的圆要一样大”这个要求的，引导所有学生再次感悟：圆规两个脚尖叉开的距离决定了画出圆的大小。
【教学思考】让学生自主尝试探究圆的画法，学生可以借助物体上圆形的面描出圆，也可以用圆规画出圆，重点引导学生掌握用圆规画圆的方法。在画圆工具和圆的画法中蕴含了圆的特征，在此过程中虽然没有揭示圆各部分的名称，但适时变化画圆的要求，学生能真切感受到影响圆的位置和大小的因素。如第二次画圆要求同桌两人画得一样大，同桌两人自然地将圆规脚尖叉开进行比对，叉开的距离相等，才能保证画出的圆一样大。
三、依托画法，丰富表象，形成概念——建认知
（一）认识圆心
当圆画出来以后，这一条封闭的曲线，在数学里叫做“圆”，而这个曲线里面的区域叫做“圆内”，那曲线外面的部分叫“圆外”（多媒体配合演示）。
1.学生观察课件（图3）。我们可以在圆内画出许多的点，哪一个点是比较特殊的？这一点特殊在哪里？你能给这一点取个名字吗？追问引发学生深入思考：点的位置在哪儿才是圆的中心即圆心？联系刚才画圆过程，圆心的位置还可以怎样描述？（板书 圆心O 的位置）
2.其他图形我们也能找到它们的中心点，连接中心点到边线的任意一点，得到的线段长度相等吗？（图4、图5）从这个角度比较圆与其他平面图形，你有什么发现？古希腊著名的数学家毕达哥拉斯说：“在一切平面图形中，圆是最美的”，你是怎样理解这句话的？
（二）认识半径
再次联想画圆的过程，圆的大小与什么有关？引导学生再次将圆规在画出的圆上比划一下。如，问学生能画出一条线段，表示圆规两脚叉开的距离吗？（图6）如何确定这条线段的两个端点？
小结：像这样，连接圆心到圆上任意一点的线段（OA）是半径，通常用字母r表示。
板书：半径r，适时要求学生画出多条半径，你能画出多少条圆的半径？
在刚刚画好的圆上画出一条半径，并量出半径的长度。现在能用半径的长度描述你画的圆的大小吗？再次运用度量半径长度的方法，验证同桌两人画的圆大小是不是一样（指出：半径决定圆的大小）。
（三）认识直径
课件出示（图7），教师引导：在圆上也可以画出许多点，如果把圆上的两个点联系起来，可以得到很多的线段。你们看一看，在所有这些线段中，哪一些线段是比较特殊的？特殊在哪儿呢？
引导学生观察比较后发现：经过圆心的这些线段比较特殊。
揭示概念：通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，直径通常用字母d表示。（板书 直径 d ）找圆的直径，学生首先会关注哪些点？（画出几条直径，能画多少条？）
（四）练习
图中哪些线段是半径，哪些是直径，哪些不是，为什么？判断并说明理由
【教学思考】苏教版教材中，介绍圆各部分名称时都是基于圆的画法进行描述，比如，画圆时针尖固定的一点是圆心；连接圆心到圆上任意一点的线段是半径；通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径。借助这样的描述学生虽然也能接受圆心、半径和直径的概念，但是学生对这些概念的认识与理解却是单一和肤浅的，学生不能结合具体图形深刻理解这些数学概念的本质内涵，这也在一定程度上影响到学生对圆基本特征的把握。我在教学时，虽然也基于圆的画法，但力求引导学生观察、操作、探究，借助课件演示，给学生数学的视角，有意识地关注这些概念的数学本质内涵。
四、动手操作，思考交流，沟通联系——促深化
知道圆各个部分的名称与含义，我们对圆的认识更进一步了，想不想继续深入研究圆的特征呢？接下来学生小组合作，互相交流，完成学习单。
（一）利用手中的圆，画一画，折一折，比一比，同桌互相讨论
1.关于圆心，你有什么发现？说说你的理由
2.关于半径、直径，你有什么发现？说说你的理由；
3.圆是轴对称图形吗？它有多少条对称轴？说说你的理由；
4.你还有什么发现？
（二）操作探究，交流汇报，即时呈现与调整
1.关于圆心，你有什么发现？说说你的想法
2.关于半径、直径，你有什么发现？说说你的想法
3.圆是轴对称图形吗？它有多少条对答轴？说说你的想法
【教学思考】引导学生动手操作、合作交流，深化对圆特征的认识。小组汇报时创新性地运用课件中对话框，即时性地输入每个学生的发现，引导学生通过操作感悟，借助图形说理，及时修正完善学生的表达。如，“圆的半径有无数条”这个结论，学生既可以通过实际操作——“怎么画也画不完”来感悟；也可以借助图形进行说理——因为圆上有无数个点，连接圆心到圆上的无数个点，就得到无数条半径。再如，“同一个圆内，直径长度是半径的两倍”，学生既可以联系画圆过程来阐述，也可以通过度量用数据来说明。引导学生分别建立圆心、半径和直径的概念后，此教学环节重点是引导学生借助操作工具，自主探究，发现并阐述概念之间的联系。如圆心和半径、半径和直径、直径和对称轴之间的关系，通过师生、生生对话，丰富深化学生对圆的认识，优化学生的数学表达。
五、梳理小结，变换画法，回归本质——妙延伸
这节课我们更加深入地认识了圆，认识了圆心（确定了圆的位置）、半径（决定圆的大小）和直径（直径所在的直线是圆的对称轴），还学会用圆规画圆，想象一下，如果用直尺能画出圆吗？比如用直尺能不能画出一个半径5厘米的圆？
学生思考，给予提示：早在两千多年前我国古代就有了关于圆的精确记载，思想家墨子在他的著作中这样描述到：“圆，一中同长也”。你知道“一中”指的是什么吗？ “同长”呢？如果用直尺画圆，如何先确定“一中”即圆心，怎么确定同长呢？
课堂小结：今天我们研究了圆的特征，还认识了东西方古代两位数学家、思想家毕达哥拉斯和墨子。他们说的“在一切平面图形中，圆是最美的”和“圆，一中同长也”有着共通之处，为我们撩开圆神秘的面纱，希望同学们在今后的学习中，继续努力探索圆的更多秘密。
【教学思考】由鼓励学生利用直尺画出圆，引出墨子的“圆，一中同长也”。画圆工具和画圆方法的变化是对圆数学本质认识的回归，与课开始无数个点形成一个圆遥相呼应。引导学生比较东西方两位思想巨人关于圆的表述，巧妙延伸。让学生初步领悟到两种表述相互印证，阐因释果，正是因为“圆，一中同长也”，所以“在一切平面图形中，圆是最美的。”
六、整体教学思考
好的数学课，课已停，意犹存，余味（数学味）无穷。一节具有生长性的数学课，一定会在学生心中播下数学知识本质的种子。随着学生数学学习的深入，这粒种子会继续萌芽、生长、拔苗，长成根深叶茂的数学大树。
（一）以“退步”的方式前进——从原点出发
五年级学生对于圆形有着较为丰富的直观认识，但学生的这些认识往往是零散肤浅的，有数学的也有非数学的，有正确的也有错误的。学生在认识数学意义上的圆之前，已经掌握哪些平面图形的知识和技能（知识背景）？学生通过本节课的学习应该掌握哪些关于圆的知识（认知目标）？我研读课标：在小学第一学段，要求学生能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等集合体；能辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形；会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图；第二学段通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆，知道扇形，会用圆规画圆。我更加关注学生在获得这些知识的过程中，哪些能力得到训练和发展，积累到怎样的数学活动经验。 圆是学生在小学阶段认识的最后一个平面图形。我在教学圆的认识过程中，力求激活学生已有的知识，作为学生认识圆的有力支撑，在“退步”中前进。我引导学生从最基本的平面图形“点”开始，连点成线段，连线段成多边形，从多边形的角度引出圆（初步渗透极限思想），由简单到复杂，让学生在初识圆形时，能通过比较感悟圆的本质特点。课中，认识圆的半径是借助线段的端点，比较圆的大小借助线段的长短。学生自主探究圆的特征时，运用轴对称图形的旧知等等，都是学生在“退步”中前进。课尾，学生已学会用圆规画圆，再一次 “退步”，引导学生思考尝试“用直尺能画出圆吗？”引出墨子的“圆，一中同长也”，从点的视角，感悟圆的本质特征。
（二）用“透视”的方式思考——向本质迈进
教学圆心、半径、直径等概念，我力求给学生更宽广更深厚的平面图形知识背景，借助直观手段，引导学生通过比较，深刻理解概念的本质内涵，而不是仅仅知道一个名称那么简单。
1.关于圆心
圆心概念的揭示，是在揭示圆上、圆内和圆外概念基础上，展示圆内的几个点，观察这些点的位置，让学生找出其中哪一个点位置特殊。学生凭直觉指出圆心所在的点位置特殊，是最中心的位置。追问学生点的位置在哪儿才是圆的中心即圆心？此时虽然没有“圆心到圆上任意一点的距离都相等”的精确数学表达，但借助课件演示，学生对这一数学本质的认识却是非常到位的。再次引导学生以这样的视角（中心点到边线距离是否相等），将圆与其他平面图形进行直观对比，学生不仅对圆心的认识更加丰富，对圆（区别于椭圆）的本质特征有更深的感悟。
2.关于半径
圆半径概念的引入，基于圆的画法，产生于表征圆大小的需要。学生在画圆时，首先体会到圆的大小与圆规两脚尖叉开的距离有关。让学生画出一条线段，表示圆规两脚叉开的距离，学生在确定线段的端点时，必然要关注圆心与圆上的任意一点（线段的两个端点），而画出的线段实际上就是圆的半径。学生在理解半径概念的同时，也感悟到半径长短决定了圆的大小。
3.关于直径
圆的直径概念也没有采用课本上对照图形直接描述的方式揭示，而是引导学生观察、比较多条两端都在圆上的线段，找出哪一条线段比较特殊，特殊在哪里，由此引入直径概念。在实际教学时，学生阐述这一条线段“特殊在哪里”时，学生不仅仅会发现这条线段通过圆心，两端都在圆上这一本质特点，还附带着发现在同类所有线段中这一条最长，这条线段将圆“一分为二”，这条线段就相当于是两条半径……学生视角多变，发现多样，生动表达，对直径特征的认识也更加丰富和深刻。引导学生用“透视”的方式思考，促进学生向数学知识点本质迈进。
4.关于美
有不少教师在执教“圆的认识”时都会引用毕达哥拉斯的名言“在一切平面图形中，圆是最美的”，但往往肤浅地认为在建筑设计、工业制造、工艺品设计中运用到圆形，圆就是最美的，并没有真正理解圆均衡、对称、和谐的数学美的本质。古希腊毕达哥拉斯学派是西方美学史上最早探讨美的本质的学派，他们从数学研究中发现和谐之美，称“一切立体图形最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。”用现代物理学中对称操作来证明，它们是最完美的。对几何球形来说，通过球心的任何直线都可以成为旋转对称轴，转动到任何角度都可以和原图重合。任何通过球心的平面，都是把球分成两半的镜像对称面，这就证明球是最完美的对称。同样，在圆所在的平面，通过圆心竖一根对称轴，按此轴旋转至任何角度，都与原图重合，就像没有转过一样；含对称轴的任何平面都是镜像对称面，可见，圆是平面中最完美的对称。圆的这一本质特征，我国战国初期的思想家墨子简捷形象地归纳的“圆，一中同长也”，这与古希腊学者的说法有异曲同工之妙。
参考文献：
[1]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006.
[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[3][美]齐斯·德福林.数学的语言-化无形为可见[M].广西：广西师范大学出版社，2013.
关键词：小学数学；圆的认识；原点；本质
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2015）23-0055-06
近期我参加教育局组织的骨干教师送教下乡活动，在这次活动中，我的任务是执教研究课，课题是五年级下册“圆的认识”。“圆的认识”这一课许多名师、特级教师都有过或唯美、或深刻的经典教例，现在让我再来执教这一课，如何才能独辟蹊径，创新教学思路，上出新意？我将研究的视角投向学生和课程标准，试图沿着这两个路径寻求教学思路的突破。基于对学生和课标的研究，我调整教学设计的思路：与其追求教学形式的新意，不如努力探寻数学的深意——引导学生从对平面图形认识的原点出发，向圆的本质特征迈进，给学生一个数学意义上的圆的认识。
一、由点到线，连线成面，观察比较——初相识
数学学习总是从简单到复杂，对图形的认识也是这样，点是学生认识的最最基本的几何图形。
用直尺连接这两点，就得到什么图形？再在作业纸上画三个点，顺次连接这三个点（不考虑这些点在同一条直线上），能得到什么图形？如果画四个点呢？
例如，5个点、6个点、16点、32点……分别得到五边形、六边形、十六边形、三十二边形……，还可以画出无数个点，还能得到这样的图形，认识吗？（见图1）
（图1）
1.上面一排这些平面图形虽然形状各不一样，但都有什么共同特点？
2.圆和我们以前所学过的平面图形有什么不同？
3.圆是由曲线围成的平面图形，图2中也有曲线，它们是圆吗？为什么？看来圆不仅仅是曲线围成那么简单，能从众多平面图形中辨认出圆，还不能说就认识了圆。让我们用专业的视角继续观察研究圆。
【教学思考】学生能依据原有的经验从众多平面图形中辨认出圆，说明在学生的经验世界中有关于圆的模糊认识。引导学生动手画出点、线段、线段围成的多边形……观察比较圆形与多边形的不同，让学生理解圆是由曲线形成的平面图形，同时，也让学生感悟到围成圆的曲线也可以看作是由无数个点形成的。学生的认识从最基本的平面图形“点”开始，由简单到复杂，初识圆形时通过比较凸显圆的特点。
二、分层递进，尝试操作，探究辨析——渐感悟
（一）第一次画圆
要研究圆，首先让学生任意画一个圆，可以借助任意工具。
展示学生用不同工具所画的圆：
1.展示学生用圆形物体描出的圆，肯定学生的画法，并让学生借助物体上圆形的面，能描出圆。
2.展示学生用圆规画出的圆，让学生介绍画法，顺势引导学生认识圆规组成部分：笔头、双腿与两个脚尖。
3.你能用老师的这只大圆规教其他同学画出一个圆吗？教师协助学生画圆。看了这位同学画圆的全过程，大家觉得在用圆规画圆的时候应该注意些什么？
4.如果要让画出的圆在不同位置，怎么办？圆的位置不变，要画大一些的圆该怎么做呢？
（引导学生感悟：画圆时，圆的位置与针尖固定的一点位置有关，圆的大小与圆规两脚尖叉开的距离有关。适时板书：位置 大小）
（二）第二次画圆
所有学生用圆规画出一个圆，要求同桌两人画的圆要一样大。
学生同桌两人商量，动手画圆。选取符合要求的学生作业展示，请他们汇报是怎样做到“两人画的圆要一样大”这个要求的，引导所有学生再次感悟：圆规两个脚尖叉开的距离决定了画出圆的大小。
【教学思考】让学生自主尝试探究圆的画法，学生可以借助物体上圆形的面描出圆，也可以用圆规画出圆，重点引导学生掌握用圆规画圆的方法。在画圆工具和圆的画法中蕴含了圆的特征，在此过程中虽然没有揭示圆各部分的名称，但适时变化画圆的要求，学生能真切感受到影响圆的位置和大小的因素。如第二次画圆要求同桌两人画得一样大，同桌两人自然地将圆规脚尖叉开进行比对，叉开的距离相等，才能保证画出的圆一样大。
三、依托画法，丰富表象，形成概念——建认知
（一）认识圆心
当圆画出来以后，这一条封闭的曲线，在数学里叫做“圆”，而这个曲线里面的区域叫做“圆内”，那曲线外面的部分叫“圆外”（多媒体配合演示）。
1.学生观察课件（图3）。我们可以在圆内画出许多的点，哪一个点是比较特殊的？这一点特殊在哪里？你能给这一点取个名字吗？追问引发学生深入思考：点的位置在哪儿才是圆的中心即圆心？联系刚才画圆过程，圆心的位置还可以怎样描述？（板书 圆心O 的位置）
2.其他图形我们也能找到它们的中心点，连接中心点到边线的任意一点，得到的线段长度相等吗？（图4、图5）从这个角度比较圆与其他平面图形，你有什么发现？古希腊著名的数学家毕达哥拉斯说：“在一切平面图形中，圆是最美的”，你是怎样理解这句话的？
（二）认识半径
再次联想画圆的过程，圆的大小与什么有关？引导学生再次将圆规在画出的圆上比划一下。如，问学生能画出一条线段，表示圆规两脚叉开的距离吗？（图6）如何确定这条线段的两个端点？
小结：像这样，连接圆心到圆上任意一点的线段（OA）是半径，通常用字母r表示。
板书：半径r，适时要求学生画出多条半径，你能画出多少条圆的半径？
在刚刚画好的圆上画出一条半径，并量出半径的长度。现在能用半径的长度描述你画的圆的大小吗？再次运用度量半径长度的方法，验证同桌两人画的圆大小是不是一样（指出：半径决定圆的大小）。
（三）认识直径
课件出示（图7），教师引导：在圆上也可以画出许多点，如果把圆上的两个点联系起来，可以得到很多的线段。你们看一看，在所有这些线段中，哪一些线段是比较特殊的？特殊在哪儿呢？
引导学生观察比较后发现：经过圆心的这些线段比较特殊。
揭示概念：通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，直径通常用字母d表示。（板书 直径 d ）找圆的直径，学生首先会关注哪些点？（画出几条直径，能画多少条？）
（四）练习
图中哪些线段是半径，哪些是直径，哪些不是，为什么？判断并说明理由
【教学思考】苏教版教材中，介绍圆各部分名称时都是基于圆的画法进行描述，比如，画圆时针尖固定的一点是圆心；连接圆心到圆上任意一点的线段是半径；通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径。借助这样的描述学生虽然也能接受圆心、半径和直径的概念，但是学生对这些概念的认识与理解却是单一和肤浅的，学生不能结合具体图形深刻理解这些数学概念的本质内涵，这也在一定程度上影响到学生对圆基本特征的把握。我在教学时，虽然也基于圆的画法，但力求引导学生观察、操作、探究，借助课件演示，给学生数学的视角，有意识地关注这些概念的数学本质内涵。
四、动手操作，思考交流，沟通联系——促深化
知道圆各个部分的名称与含义，我们对圆的认识更进一步了，想不想继续深入研究圆的特征呢？接下来学生小组合作，互相交流，完成学习单。
（一）利用手中的圆，画一画，折一折，比一比，同桌互相讨论
1.关于圆心，你有什么发现？说说你的理由
2.关于半径、直径，你有什么发现？说说你的理由；
3.圆是轴对称图形吗？它有多少条对称轴？说说你的理由；
4.你还有什么发现？
（二）操作探究，交流汇报，即时呈现与调整
1.关于圆心，你有什么发现？说说你的想法
2.关于半径、直径，你有什么发现？说说你的想法
3.圆是轴对称图形吗？它有多少条对答轴？说说你的想法
【教学思考】引导学生动手操作、合作交流，深化对圆特征的认识。小组汇报时创新性地运用课件中对话框，即时性地输入每个学生的发现，引导学生通过操作感悟，借助图形说理，及时修正完善学生的表达。如，“圆的半径有无数条”这个结论，学生既可以通过实际操作——“怎么画也画不完”来感悟；也可以借助图形进行说理——因为圆上有无数个点，连接圆心到圆上的无数个点，就得到无数条半径。再如，“同一个圆内，直径长度是半径的两倍”，学生既可以联系画圆过程来阐述，也可以通过度量用数据来说明。引导学生分别建立圆心、半径和直径的概念后，此教学环节重点是引导学生借助操作工具，自主探究，发现并阐述概念之间的联系。如圆心和半径、半径和直径、直径和对称轴之间的关系，通过师生、生生对话，丰富深化学生对圆的认识，优化学生的数学表达。
五、梳理小结，变换画法，回归本质——妙延伸
这节课我们更加深入地认识了圆，认识了圆心（确定了圆的位置）、半径（决定圆的大小）和直径（直径所在的直线是圆的对称轴），还学会用圆规画圆，想象一下，如果用直尺能画出圆吗？比如用直尺能不能画出一个半径5厘米的圆？
学生思考，给予提示：早在两千多年前我国古代就有了关于圆的精确记载，思想家墨子在他的著作中这样描述到：“圆，一中同长也”。你知道“一中”指的是什么吗？ “同长”呢？如果用直尺画圆，如何先确定“一中”即圆心，怎么确定同长呢？
课堂小结：今天我们研究了圆的特征，还认识了东西方古代两位数学家、思想家毕达哥拉斯和墨子。他们说的“在一切平面图形中，圆是最美的”和“圆，一中同长也”有着共通之处，为我们撩开圆神秘的面纱，希望同学们在今后的学习中，继续努力探索圆的更多秘密。
【教学思考】由鼓励学生利用直尺画出圆，引出墨子的“圆，一中同长也”。画圆工具和画圆方法的变化是对圆数学本质认识的回归，与课开始无数个点形成一个圆遥相呼应。引导学生比较东西方两位思想巨人关于圆的表述，巧妙延伸。让学生初步领悟到两种表述相互印证，阐因释果，正是因为“圆，一中同长也”，所以“在一切平面图形中，圆是最美的。”
六、整体教学思考
好的数学课，课已停，意犹存，余味（数学味）无穷。一节具有生长性的数学课，一定会在学生心中播下数学知识本质的种子。随着学生数学学习的深入，这粒种子会继续萌芽、生长、拔苗，长成根深叶茂的数学大树。
（一）以“退步”的方式前进——从原点出发
五年级学生对于圆形有着较为丰富的直观认识，但学生的这些认识往往是零散肤浅的，有数学的也有非数学的，有正确的也有错误的。学生在认识数学意义上的圆之前，已经掌握哪些平面图形的知识和技能（知识背景）？学生通过本节课的学习应该掌握哪些关于圆的知识（认知目标）？我研读课标：在小学第一学段，要求学生能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等集合体；能辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形；会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图；第二学段通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆，知道扇形，会用圆规画圆。我更加关注学生在获得这些知识的过程中，哪些能力得到训练和发展，积累到怎样的数学活动经验。 圆是学生在小学阶段认识的最后一个平面图形。我在教学圆的认识过程中，力求激活学生已有的知识，作为学生认识圆的有力支撑，在“退步”中前进。我引导学生从最基本的平面图形“点”开始，连点成线段，连线段成多边形，从多边形的角度引出圆（初步渗透极限思想），由简单到复杂，让学生在初识圆形时，能通过比较感悟圆的本质特点。课中，认识圆的半径是借助线段的端点，比较圆的大小借助线段的长短。学生自主探究圆的特征时，运用轴对称图形的旧知等等，都是学生在“退步”中前进。课尾，学生已学会用圆规画圆，再一次 “退步”，引导学生思考尝试“用直尺能画出圆吗？”引出墨子的“圆，一中同长也”，从点的视角，感悟圆的本质特征。
（二）用“透视”的方式思考——向本质迈进
教学圆心、半径、直径等概念，我力求给学生更宽广更深厚的平面图形知识背景，借助直观手段，引导学生通过比较，深刻理解概念的本质内涵，而不是仅仅知道一个名称那么简单。
1.关于圆心
圆心概念的揭示，是在揭示圆上、圆内和圆外概念基础上，展示圆内的几个点，观察这些点的位置，让学生找出其中哪一个点位置特殊。学生凭直觉指出圆心所在的点位置特殊，是最中心的位置。追问学生点的位置在哪儿才是圆的中心即圆心？此时虽然没有“圆心到圆上任意一点的距离都相等”的精确数学表达，但借助课件演示，学生对这一数学本质的认识却是非常到位的。再次引导学生以这样的视角（中心点到边线距离是否相等），将圆与其他平面图形进行直观对比，学生不仅对圆心的认识更加丰富，对圆（区别于椭圆）的本质特征有更深的感悟。
2.关于半径
圆半径概念的引入，基于圆的画法，产生于表征圆大小的需要。学生在画圆时，首先体会到圆的大小与圆规两脚尖叉开的距离有关。让学生画出一条线段，表示圆规两脚叉开的距离，学生在确定线段的端点时，必然要关注圆心与圆上的任意一点（线段的两个端点），而画出的线段实际上就是圆的半径。学生在理解半径概念的同时，也感悟到半径长短决定了圆的大小。
3.关于直径
圆的直径概念也没有采用课本上对照图形直接描述的方式揭示，而是引导学生观察、比较多条两端都在圆上的线段，找出哪一条线段比较特殊，特殊在哪里，由此引入直径概念。在实际教学时，学生阐述这一条线段“特殊在哪里”时，学生不仅仅会发现这条线段通过圆心，两端都在圆上这一本质特点，还附带着发现在同类所有线段中这一条最长，这条线段将圆“一分为二”，这条线段就相当于是两条半径……学生视角多变，发现多样，生动表达，对直径特征的认识也更加丰富和深刻。引导学生用“透视”的方式思考，促进学生向数学知识点本质迈进。
4.关于美
有不少教师在执教“圆的认识”时都会引用毕达哥拉斯的名言“在一切平面图形中，圆是最美的”，但往往肤浅地认为在建筑设计、工业制造、工艺品设计中运用到圆形，圆就是最美的，并没有真正理解圆均衡、对称、和谐的数学美的本质。古希腊毕达哥拉斯学派是西方美学史上最早探讨美的本质的学派，他们从数学研究中发现和谐之美，称“一切立体图形最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。”用现代物理学中对称操作来证明，它们是最完美的。对几何球形来说，通过球心的任何直线都可以成为旋转对称轴，转动到任何角度都可以和原图重合。任何通过球心的平面，都是把球分成两半的镜像对称面，这就证明球是最完美的对称。同样，在圆所在的平面，通过圆心竖一根对称轴，按此轴旋转至任何角度，都与原图重合，就像没有转过一样；含对称轴的任何平面都是镜像对称面，可见，圆是平面中最完美的对称。圆的这一本质特征，我国战国初期的思想家墨子简捷形象地归纳的“圆，一中同长也”，这与古希腊学者的说法有异曲同工之妙。
参考文献：
[1]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006.
[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[3][美]齐斯·德福林.数学的语言-化无形为可见[M].广西：广西师范大学出版社，2013.