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浙江杭州外国语学校310023
摘要：勾股定理是初中数学中一个重要而有趣的定理. 勾股定理的发现导致了上千年的证明热潮，这反映出了它的无穷魅力. 观察、实验、归纳是发现勾股定理经历的过程；不断构造几何图形来证明勾股定理是人类智慧的体现. 毕达哥拉斯、欧几里得、赵爽、华罗庚等无数的数学天才照耀着勾股定理，使勾股定理影响深远. 在中学阶段，勾股定理是一个数形结合的完美例子，也是一个应用广泛的定理.
关键词：勾股定理；毕达哥拉斯；历史；弦图；探索
勾股定理是初中数学一个重要而有趣的定理. 之所以重要，在于定理本身是用代数式刻画几何关系，是数形结合的完美体现，定理也有着广泛的运用，是解决许多问题的工具. 勾股定理的发现源于毕达哥拉斯学派，其证明丰富多彩充满魅力. 对于这样一个有着特殊知识内涵，又有悠久历史内涵的定理，如何学才能既掌握定理本身，又能体验数学的无穷魅力，甚至尝试发现定理的成功，都是值得认真思量的事情.
在义务教育标准试验教科书中，《探索勾股定理》是放在《特殊三角形》一章的，作为特殊三角形之一的直角三角形的性质出现. 学生已经学习了三角形、全等三角形、等腰三角形以及直角三角形，也有了多种的研究方法（证明全等、计算面积等），为发现勾股定理提供了经验，也为理论证明勾股定理做好了铺垫.
本节课还有一个“历史”的使命，就是其本身蕴涵的丰富历史见证了数学不断发展超越的历程，是学生了解数学史的大好机会，同时对提高学习数学的热情也大有裨益. 因此，“探索”勾股定理的来龙去脉是本节课的明线，而勾股定理的发展史则是一条暗线，相辅相成，共同演绎这一精彩的“千古第一定理”.
[⇩]探索定理
探索什么样的关系？
结合自然现象研究，台风过后，街道上一片狼藉，随处可见折断的树枝. 设想情景：折断的大树，竖立部分高4 m，树尖到树根距离3 m，你知道折断前树的高度吗？
[4 m][3 m]
图1
如何探索三边的关系？
在上例的实际问题中，要得到第三边的长度，可以通过测量的办法. 在数千年的数学发展史上，我们有无数的知识都是通过实际操作得到，再加以理论化的，勾股定理正是如此. 我们可以分组画出给定两边长的直角三角形，再测量第三边的长度，从而根据三边的数据猜测边之间满足的关系. 为了使所得数据更清晰地反映这种关系，我们可以设计一些特殊的值.
[直角边a\&直角边b\&斜边c\&猜想关系\&结论\&3\&4\&\& 32+42…\&\&\&12\&13\&\&…\&\&\&\&]
三边具有什么样的关系？
勾股定理具有十分悠久的历史，是人类智慧的结晶，当然也体现了古人对真理孜孜不倦的追求. 勾股定理的发现，以及上千年来持续不断的证明热潮，正是它的无穷魅力的体现，学习勾股定理，也要学习这段历史，学习这份热情.
历史1：为什么叫毕达哥拉斯定理？
[H][M][B][A][G][C][D][E][32+42=52]
图2
在国际数学界，勾股定理往往被称为“毕达哥拉斯定理”，源于定理是该学派的一个重要发现，其发现过程与我们探索过程有异曲同工之妙，它利用地板的面积，巧妙地得到了结论，由此加以推广，这就是著名的AC2+BA2=BC2.
把刚才测量的数据代入，可以看到它们都能很好地满足这种关系，我们还可以用数学工具“几何画板”来验证：无论如何运动A，B两点，即改变直角三角形三边的长度，他们始终满足这种关系.
实践、观察、归纳，是一个重要而普遍的数学方法. 勾股定理的探索，我们既有特殊数据的测量，又有运动变化的验证，从而得出的结论就深刻地体现了这种理念. 当然，这个方法还有最后一步，也是最重要的一步，就是验证——用理论证明结论.
[⇩]证明定理
历史2：为什么叫勾股定理？
前面提到，国际上把该定理称为毕达哥拉斯定理，而中国则一直把它称为勾股定理，这是为什么呢？原来，在中华民族的悠久历史上，早就有对勾股定理的研究，它是我们古人数学研究的璀璨成果中的一颗闪亮的明星. 尤其是赵爽的“弦图”，更是该定理一个无与伦比的诠释，也是我们将之称为“勾股定理”的缘由.
[C][D][E][A][B][弦（c）][勾（a）][股（b）]
图4
容易得到，正方形ABDE的面积为c2.
再拼成的四个三角形面积与中间小正方形面积之和4×ab+（b－a）2=a2+b2.
即是a2+b2=c2.
勾股定理的证明是妙不可言的. 首先，它是对猜测、归纳得到的结论的严格论证，使之成为真正意义上的“定理”，反面的例子是著名的哥德巴赫猜想，虽然计算机验证到了非常大的数，陈景润也无限地接近了，但面对缺少严格证明的现实，我们终究只能把它叫做“猜想”，因为数学，只有严密！其次，勾股定理本身是代数与几何的完美结合，包含了数学的统一美，而定理证明的过程体现了这一思想，用正方形（几何）的面积，得到等式（代数）. 另外，构图的方法也开启了证明勾股定理的先河.
历史3：延续了上千年的证明热潮！
勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有政要权贵，甚至有国家总统. 也许是因为勾股定理既重要又简单且实用，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证. 1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法. 实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法. 这是任何定理无法比拟的. 下面介绍几种著名的方法：
1. 毕达哥拉斯的证明.
大正方形面积：c2+4×ab=c2+2ab=（a+b）2=a2+2ab+b2，
化简即得.
[a][b][a][b][c][c][c][c][b][a][a][b]
[a][b][c][b][a][a][c][b][b][a]
图5
2. 美国总统Garfield的证明.
梯形的面积：（a＋b）（a＋b）=2×·ab+c2，
化简即得.
[a][b][b][c][c][a]
图6
3. 欧几里得的证明.
容易证明△ACE≌△AIB.
又S正方形ACHI＝2×S△AIB，S长方形AEFG＝2×S△ACE，
所以S正方形ACHI＝S长方形AEFG .
同理，以BC为边的正方形面积＝S长方形BDFG .
相加得AC2+BC2＝AB2.
[H][I][C][B][G][A][E][F][D]
图7
4. 利用射影定理证明.
在Rt△ACB中，作高CD，则由射影定理得
AC2=AB·AD，
BC2=AB·BD，
[A][D][B][C]
图8
相加得AC2+BC2=AB·AD+AB·BD=AB（AD＋BD）＝AB2.
[⇩]实践运用定理
当希帕斯提出既不是整数又不是分数的时候，震惊了当时的学界，这标志着“万物皆可数”的缺憾，同时也发现了新的数——无理数，史称“第一次数学危机”. 事实证明，一次危机就是一次机会，当危机出现的时候，数学已经向前跨越了一大步. 勾股定理也与无理数有着千丝万缕的联系. 试想一个直角三角形两直角边长都是1，那么斜边呢？正是！
从勾股定理的代数表达式看，a2+b2=c2是一个等式，如果知道了其中的一些量，那么就可以求出其他的量，也就是一个方程. 这是一种解决数学问题的有用的方法和思想. 在《九章算术》中就记载了这么一个问题.
如图9，一竖直芦苇露出水面1尺，被风吹动后倾斜，且苇尖刚好到达水面，已知芦苇水平移动距离是5尺，问水深及芦苇长度.
[1尺][5尺]
图9
分析可设水深x尺，则芦苇长（x＋1）尺，正好构成一个直角三角形，得等式（方程）
x2+52＝（x+1）2，
解得x＝12，即水深12尺，芦苇长13尺.
无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学. 毕达哥拉斯说，我相信，数学是我们信仰永恒的与严格真理的主要根源，也是信仰有一个超感的可知世界的主要根源. 思想要比感官更高贵而思想的对象要比感官知觉的对象更真实，很自然地可以再进一步论证，即一切严格的推理只能应用于与可感觉的对象相对立的理想对象. 诚如所言，人们发现勾股定理的灵感来自于直观的感受，而证明过程即是思想的火花.
追寻勾股定理的千年历程，也是世界发展的一部历史. 例如在欧洲的大航海时代，毕达哥拉斯学派中最朴实、却也最灿烂的成就——勾股定理一样起了巨大作用. 一方面，航海者的安身立命之本，另一方面，在航海者对付土著的三大法宝——火炮、《圣经》和科学技术中，起到推动作用的，亦有勾股定理. 而大航海时代又恰恰是第一、二次工业革命和现代社会的开端，多么惊人地巧合. 值得一提的是，勾股定理也被认为是测试一个种族是否有智能的条件，中国著名数学家华罗庚建议，用一幅数形关系图作为与外星“人”交谈的语言. 这幅图中有三个大小不同的正方形，它们又相互连结围成一个三角形. 三个正方形都被分成了大小相同的一些小方格，并且每条边上小方格的个数，与这条边长度的数字相等. 两个小正方形的小方格数分别为9和16，其和为25，恰好等于大正方形的小方格数，即勾股定理.
一个定理，对整个世界史的发展起到了如此重大的影响，甚至被用作不同物种间沟通的条件. 由此可见，勾股定理，不愧是世界数学史上的一个奇迹.
摘要：勾股定理是初中数学中一个重要而有趣的定理. 勾股定理的发现导致了上千年的证明热潮，这反映出了它的无穷魅力. 观察、实验、归纳是发现勾股定理经历的过程；不断构造几何图形来证明勾股定理是人类智慧的体现. 毕达哥拉斯、欧几里得、赵爽、华罗庚等无数的数学天才照耀着勾股定理，使勾股定理影响深远. 在中学阶段，勾股定理是一个数形结合的完美例子，也是一个应用广泛的定理.
关键词：勾股定理；毕达哥拉斯；历史；弦图；探索
勾股定理是初中数学一个重要而有趣的定理. 之所以重要，在于定理本身是用代数式刻画几何关系，是数形结合的完美体现，定理也有着广泛的运用，是解决许多问题的工具. 勾股定理的发现源于毕达哥拉斯学派，其证明丰富多彩充满魅力. 对于这样一个有着特殊知识内涵，又有悠久历史内涵的定理，如何学才能既掌握定理本身，又能体验数学的无穷魅力，甚至尝试发现定理的成功，都是值得认真思量的事情.
在义务教育标准试验教科书中，《探索勾股定理》是放在《特殊三角形》一章的，作为特殊三角形之一的直角三角形的性质出现. 学生已经学习了三角形、全等三角形、等腰三角形以及直角三角形，也有了多种的研究方法（证明全等、计算面积等），为发现勾股定理提供了经验，也为理论证明勾股定理做好了铺垫.
本节课还有一个“历史”的使命，就是其本身蕴涵的丰富历史见证了数学不断发展超越的历程，是学生了解数学史的大好机会，同时对提高学习数学的热情也大有裨益. 因此，“探索”勾股定理的来龙去脉是本节课的明线，而勾股定理的发展史则是一条暗线，相辅相成，共同演绎这一精彩的“千古第一定理”.
[⇩]探索定理
探索什么样的关系？
结合自然现象研究，台风过后，街道上一片狼藉，随处可见折断的树枝. 设想情景：折断的大树，竖立部分高4 m，树尖到树根距离3 m，你知道折断前树的高度吗？
图1
如何探索三边的关系？
在上例的实际问题中，要得到第三边的长度，可以通过测量的办法. 在数千年的数学发展史上，我们有无数的知识都是通过实际操作得到，再加以理论化的，勾股定理正是如此. 我们可以分组画出给定两边长的直角三角形，再测量第三边的长度，从而根据三边的数据猜测边之间满足的关系. 为了使所得数据更清晰地反映这种关系，我们可以设计一些特殊的值.
[直角边a\&直角边b\&斜边c\&猜想关系\&结论\&3\&4\&\& 32+42…\&\&\&12\&13\&\&…\&\&\&\&]
三边具有什么样的关系？
勾股定理具有十分悠久的历史，是人类智慧的结晶，当然也体现了古人对真理孜孜不倦的追求. 勾股定理的发现，以及上千年来持续不断的证明热潮，正是它的无穷魅力的体现，学习勾股定理，也要学习这段历史，学习这份热情.
历史1：为什么叫毕达哥拉斯定理？
图2
在国际数学界，勾股定理往往被称为“毕达哥拉斯定理”，源于定理是该学派的一个重要发现，其发现过程与我们探索过程有异曲同工之妙，它利用地板的面积，巧妙地得到了结论，由此加以推广，这就是著名的AC2+BA2=BC2.
把刚才测量的数据代入，可以看到它们都能很好地满足这种关系，我们还可以用数学工具“几何画板”来验证：无论如何运动A，B两点，即改变直角三角形三边的长度，他们始终满足这种关系.
实践、观察、归纳，是一个重要而普遍的数学方法. 勾股定理的探索，我们既有特殊数据的测量，又有运动变化的验证，从而得出的结论就深刻地体现了这种理念. 当然，这个方法还有最后一步，也是最重要的一步，就是验证——用理论证明结论.
[⇩]证明定理
历史2：为什么叫勾股定理？
前面提到，国际上把该定理称为毕达哥拉斯定理，而中国则一直把它称为勾股定理，这是为什么呢？原来，在中华民族的悠久历史上，早就有对勾股定理的研究，它是我们古人数学研究的璀璨成果中的一颗闪亮的明星. 尤其是赵爽的“弦图”，更是该定理一个无与伦比的诠释，也是我们将之称为“勾股定理”的缘由.
图4
容易得到，正方形ABDE的面积为c2.
再拼成的四个三角形面积与中间小正方形面积之和4×ab+（b－a）2=a2+b2.
即是a2+b2=c2.
勾股定理的证明是妙不可言的. 首先，它是对猜测、归纳得到的结论的严格论证，使之成为真正意义上的“定理”，反面的例子是著名的哥德巴赫猜想，虽然计算机验证到了非常大的数，陈景润也无限地接近了，但面对缺少严格证明的现实，我们终究只能把它叫做“猜想”，因为数学，只有严密！其次，勾股定理本身是代数与几何的完美结合，包含了数学的统一美，而定理证明的过程体现了这一思想，用正方形（几何）的面积，得到等式（代数）. 另外，构图的方法也开启了证明勾股定理的先河.
历史3：延续了上千年的证明热潮！
勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有政要权贵，甚至有国家总统. 也许是因为勾股定理既重要又简单且实用，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证. 1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法. 实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法. 这是任何定理无法比拟的. 下面介绍几种著名的方法：
1. 毕达哥拉斯的证明.
大正方形面积：c2+4×ab=c2+2ab=（a+b）2=a2+2ab+b2，
化简即得.
图5
2. 美国总统Garfield的证明.
梯形的面积：（a＋b）（a＋b）=2×·ab+c2，
化简即得.
图6
3. 欧几里得的证明.
容易证明△ACE≌△AIB.
又S正方形ACHI＝2×S△AIB，S长方形AEFG＝2×S△ACE，
所以S正方形ACHI＝S长方形AEFG .
同理，以BC为边的正方形面积＝S长方形BDFG .
相加得AC2+BC2＝AB2.
图7
4. 利用射影定理证明.
在Rt△ACB中，作高CD，则由射影定理得
AC2=AB·AD，
BC2=AB·BD，
图8
相加得AC2+BC2=AB·AD+AB·BD=AB（AD＋BD）＝AB2.
[⇩]实践运用定理
当希帕斯提出既不是整数又不是分数的时候，震惊了当时的学界，这标志着“万物皆可数”的缺憾，同时也发现了新的数——无理数，史称“第一次数学危机”. 事实证明，一次危机就是一次机会，当危机出现的时候，数学已经向前跨越了一大步. 勾股定理也与无理数有着千丝万缕的联系. 试想一个直角三角形两直角边长都是1，那么斜边呢？正是！
从勾股定理的代数表达式看，a2+b2=c2是一个等式，如果知道了其中的一些量，那么就可以求出其他的量，也就是一个方程. 这是一种解决数学问题的有用的方法和思想. 在《九章算术》中就记载了这么一个问题.
如图9，一竖直芦苇露出水面1尺，被风吹动后倾斜，且苇尖刚好到达水面，已知芦苇水平移动距离是5尺，问水深及芦苇长度.
图9
分析可设水深x尺，则芦苇长（x＋1）尺，正好构成一个直角三角形，得等式（方程）
x2+52＝（x+1）2，
解得x＝12，即水深12尺，芦苇长13尺.
无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学. 毕达哥拉斯说，我相信，数学是我们信仰永恒的与严格真理的主要根源，也是信仰有一个超感的可知世界的主要根源. 思想要比感官更高贵而思想的对象要比感官知觉的对象更真实，很自然地可以再进一步论证，即一切严格的推理只能应用于与可感觉的对象相对立的理想对象. 诚如所言，人们发现勾股定理的灵感来自于直观的感受，而证明过程即是思想的火花.
追寻勾股定理的千年历程，也是世界发展的一部历史. 例如在欧洲的大航海时代，毕达哥拉斯学派中最朴实、却也最灿烂的成就——勾股定理一样起了巨大作用. 一方面，航海者的安身立命之本，另一方面，在航海者对付土著的三大法宝——火炮、《圣经》和科学技术中，起到推动作用的，亦有勾股定理. 而大航海时代又恰恰是第一、二次工业革命和现代社会的开端，多么惊人地巧合. 值得一提的是，勾股定理也被认为是测试一个种族是否有智能的条件，中国著名数学家华罗庚建议，用一幅数形关系图作为与外星“人”交谈的语言. 这幅图中有三个大小不同的正方形，它们又相互连结围成一个三角形. 三个正方形都被分成了大小相同的一些小方格，并且每条边上小方格的个数，与这条边长度的数字相等. 两个小正方形的小方格数分别为9和16，其和为25，恰好等于大正方形的小方格数，即勾股定理.
一个定理，对整个世界史的发展起到了如此重大的影响，甚至被用作不同物种间沟通的条件. 由此可见，勾股定理，不愧是世界数学史上的一个奇迹.