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【摘要】根据师范类本科院校的培养目标，对《高等代数》在课程内容的选取、教学等方面提出几点思考。通过本课程的教学，使学生把握高等代数课程的内部联系和主线，有益于从本源上提升学生对该课程的理解，培养学生对《高等代数》的学习兴趣，达到培养优秀师范生人才的目标。
【关键词】师范类本科院校 高等代数 教学方法
【基金项目】湖南省自然科学基金青年项目（2017JJ3044）;湖南省教育厅一般项目（17C0333）。
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）25-0124-02
《高等代数》是数学专业的最主要、最基础课程之一。教育部在《关于进一步加强高等学校本科教学工作的若干意见》中指出“要继续推进课程体系、教学内容、教学方法和手段的改革，构建新的课程结构。鼓励教师开展教学理论研究、教学实践探索和优质教学资源开发。加强教材建设，确保高质量教材进课堂。要大力锤炼精品教材，并把精品教材作为教材选用的主要目标”。为适应当前教学改革和素质教育的需要，解决同学们在高等代数学习中遇到的问题，本文结合师范类本科院校的培养目标对传统高等代数教学做一些探索。
1.优化教材，注重高等代数的内部联系
根据师范类本科院校培养目标以及学生的实际水平，我们课程教材选用了王萼芳编著的《高等代数教程》（上下册），此教材共有十章，其中上册是第一章至第五章，下册是第六章至第十章[1]。另外，我们选用了北京大学数学系前代数小组编著的《高等代数》（第四版）作为配套丛书，其中部分内容穿插到主讲课程教材中[2]。在教学大纲的基本要求下，本着重基础、突重点原则，基于对师范生后续发展的考虑，我们对教材内容进行了如下划分：将对称多项式、拉普拉斯定理、？姿-矩阵、最小二乘法作为选学内容，教师只利用2～3课时给学生作简单的指导。将多项式、行列式、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、欧式空间作为重点讲授内容，它们是高等代数的核心部分。基于学生后续研究生阶段学习考虑，补充了双线性函数和辛空间相关知识。整个课程按章节具体授课安排如下：
第一章主要研究行列式。由于行列式与线性方程组、向量组的线性相关性、矩阵是否可逆、特征值等知识有着紧密联系，因此教学过程中需要学生理解行列式的定义，重点掌握行列式的计算、性质和展开公式及其应用。
第二章讲授线性方程组时，先从初中学过的三元一次方程组讲起，自然延伸到n元一次方程组的解法——消元法化阶梯型方程组。为了使方程组书写简便，自然地引入系数矩阵及矩阵的初等变换等概念。重点要求学生会用初等变换判别方程组是否有解、以及会求通解。由于线性方程组可以等价于矩阵方程，矩阵又可以分成向量，因此，讲授方程组有解判别定理与解的结构性质时，授课内容建议与第三章矩阵的运算等内容相结合，利用矩阵理论证明线性方程组解的结构。另外，本章讲授向量组线性相关性时要与方程组的解相联系，把向量组线性相关等价于线性方程组有非零解，把向量组线性无关等价于线性方程组只有零解。
第三章研究矩阵，主要讨论矩阵的加减乘运算和运算性质、矩阵的秩和性质、以及一些常见的特殊矩阵。由于多个向量可以组合成一个矩阵，一个矩阵也可以分块成多个向量，建议把第三章的矩阵与第二章的向量结合起来讲授。同时需要指出，向量也是一个特殊的矩阵：一个n维行向量可以看成是一个1行n列的矩阵，一个n维列向量可以看成是一个n行1列的矩阵，因此矩阵的加减乘运算及性质对向量都成立。
第四章讲授矩阵的对角化，主要研究矩阵的特征值和特征向量以及它们的运算及性质，再由特征值和特征向量给出矩阵相似的定义和矩阵可对角化所需的条件。
第八章和第十章主要研究线性空间和欧式空间，其中欧式空间是一个特殊的线性空间，它只是在空间中定义了内积。在讲第十章欧式空间时，补充对偶空间和辛空间[2]。
第九章线性变换可以与第四章矩阵的特征值与特征向量结合起来处理。由于线性变换在基下可以定义矩阵，因此线性变换的特征值与特征向量问题可以等价于矩阵的特征值与特征向量问题[2]。另外，本章末尾补充线性函数等相关知识[2]，该部分知识在很多重点大学研究生入学考试试题中都会出现，本部分内容的补充旨在为学生后续研究生深造打下基础。
综上，高等代数本质上是以行列式、矩阵、向量作为工具，研究线性变换、线性空间、线性方程的解的一门课程。行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值和特征向量、线性空间和线性变换等概念之间有着紧密联系。
2.高等代数课程学习兴趣的培养
师范类院校的数学教育更应重视对学生学习兴趣的培养。因为对于大部分数学专业的师范生来说，他们以后走上工作岗位将是数学教师。如果连自身对数学的学习都毫无兴趣，他们又怎么能培养下一代学生树立正确的数学观呢？初高中学生对数学的兴趣，更多的源于外界的刺激。例如家长经常教育学生：数学学得好、考高分，将来更有希望考上好大学，考上大学你就轻松了，等等类似的言论。考上大学之后，这种刺激急剧减少，加上大学数学本身的抽象性更强，这时学生对大学数学的学习动机充满了困惑，不再以升学作为主要目的，学生对数学的兴趣自然明显减弱。本文认为，师范生的数学教育必须重视对学生学习兴趣的培养。当同学们知道学习某门课有巨大用途和价值的时候，自然更乐于学习。高等代数在数学专业的硕士研究生入学考试中占150分，分值占比非常高。对于非数学专业的理工科学生来说，线性代数也是研究生入学考试的必考科目之一。因此，学好高等代数或者线性代数是理工科学生后续攻读硕士研究生的重要保障。
培养学生学习兴趣的关键因素是：要使学生听得懂、会应用，只有听得懂的东西大家才会更感兴趣。这就需要教师授课时启发同学们从最基础、最熟悉的知识点讲起。例如，在中学代数课程中，我们解二元一次方程组、三元一次方程组都是采用加减消元法和代入消元法。自然的，学生会问：大学高等代數中解线性方程组的方法和初中有什么区别与联系呢？通过对比，学生发现高等代数中解方程组的方法和初中数学消元法在本质上是相同的，只是大学高等代数引入了矩阵和初等变换等概念，其目的是为了解方程组时书写更简便，同时也为了计算机可以输入矩阵并且识别矩阵的运算。换句话说，如果学生会初中的消元法解二元一次方程组，那么平行的推广知识点至更高维，学生就可以掌握高等代数中线性方程组的求解方法。把大学复杂抽象的数学内容简化为初中较容易理解的知识点，可以使绝大多数同学更容易理解高等代数这门课程，进而增加学生对高等代数课程的学习兴趣。 本人查阅相关资料得出：高等代数在经济学、空间解析几何、数学建模、计算机等课程中都有着广泛前沿的应用[3-5]。考虑到当前已是信息化时代，计算机技术在高等代数的应用中非常广泛，特别地，Matlab作为数学应用型工具使用更是相当简便快捷。因此，在授课过程中，我们还补充了运用Matlab计算行列式、求解方程组、求矩阵的逆、求特征值与特征向量等相关知识，突出高等代数与计算机等学科的交叉应用价值，培养学生对高等代数的学习兴趣。
3.高等代数课程教学环节的改革
（1）采取线上与线下相结合的授课模式
当前信息化时代，教师可以采取视频课堂与线下课堂相结合的模式授课。教师提前把下周需要讲的课程与教案上传至超星学习通，让学生先自行观看视频预习。视频时间不宜太长，控制在15-20分钟一节课，主要突出章节的重难点和解题思路，使得学生对知识点有个整体的把握。课后，教师建立QQ群，在群中布置QQ作业和发布群消息，在线批改作业。另外，教师还可以结合腾讯会议直播的形式每周特定一个时间段对学生进行在线答疑。通过实践发现，线下课堂结合超星学习通、QQ群、腾讯会议等线上辅助教学，可以有利地提升学生的学习水平和学习兴趣。
（2）以学生为主体，调动学生的积极性
课堂上，建议教师多引导学生积极参与讨论，以学生为主体，充分调动学生的主观能动性。把抽象枯燥的数学知识尽可能地生动化、趣味化、实际化。在此，本文简单列举高等代数与数学建模授课的一个片段，期望作为一案例供各位学者讨论和提出有益指导。
老师：“假如让你在长沙市建一个自来水厂，把自来水厂建到哪里最合适？请同学们思考回答。”
学生甲：“当然建在水最多的地方啦，自来水厂首先要能够供水。”
老师：“这位同学回答得非常好。但是，请问建自来水厂只考虑水源吗？比如咱们长沙，湘江边上水源当然最丰富。但是，你可能把水厂建在市中心的湘江边上吗？那地方的地价那么贵。肯定不会，经济上不划算嘛。”
学生乙：“建在土地最便宜的地方，因为建水厂占地面积较大，土地越便宜成本越低。当然，前提是那块地得有较充足的水源。”
老师：“这位同学回答地也很好。他考虑了两个因素，水源和地价。既然说到了成本，同学们不妨再接着想，水厂还有哪些最基本的供水成本？”
同学丙：“水厂最基本的一个用途是给全市供水，而供水需要水管接通到家家户户。因此，可以把自来水厂想象成地图上的某个点，把每个家庭、单位也都抽象成地图上的密密麻麻的其它许多个点。那么这个问题就等效于在地图上选一个点，使得该点与其它点的连线的距离之和最短。这应该是最优的，因为距离最短，管道成本最低。”
老师：“这位同学的思路非常经典，用到了数学建模的抽象思维。把这一实际问题抽象成最短路径问题，从而借助方程组解出最优解。但是，这个方案仍然有不足之处。实际中，假设水厂离某户家庭直线距离很短，但是恰好它们之间有一座山。你不可能为了使距离最短而把山挖个隧道用来通水管吧？所以，这位同学主要少了可行性分析这一环节。”
同学丁：“老师，您说到可行性我突然想起来还要考虑周围的环境因素。选取的自来水厂周围不能有太多污染源，最好远离工厂。否则的话，即使经济上再便宜也不可行。”
老师：“这位同学思考方向也很有参考价值。事实上，我们只需把几位同学的思路综合起来考虑就是一个较好的方案，需要考虑水源、地价、周围的环境、管道成本、选取位置的可行性等多个因素，每一个因素都设成一个参数，找出这些参数之间的关系并且建立模型，然后求出最优解。高等代数课程中的最小二乘法恰好是处理优化问题的重要工具。当然，实际生活中还有许多其它因素，不可能尽善尽美地把所有因素都考虑进去。我们只需要尽可能地找到一个理论上的较合理的最优解即可。”
4.结语
作为本科师范类院校，《高等代数》的教学不仅关系到学生专业课学习，也关系到学生后续的研究生阶段的深造。我们期望通过本课程的教学，使学生能够对高等代数课程有着较全面、深刻的理解，同时使学生更深刻地理解数学的思维与应用，从而达到培养优秀师范生人才的目标。
参考文献：
[1]王萼芳.高等代数教程（上、下册）[M].北京：清华大学出版社，1997：1-267.
[2]北京大学数学系前代数小组.高等代数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2013：273-290.
[3]王建军.线性代数及其应用[M].上海：上海交通大學出版社，2005：146-166.
[4]曾令淮，段辉明，李玲.高等代数与解析几何[M].北京：清华大学出版社，2014：34-76.
[5]周誓达.线性代数与线性规划[M].北京：中国人民大学出版社，2005：14-17.
作者简介：
卢霖（1987-），男，汉族，安徽阜南人，博士，研究方向：常微分方程与动力系统。
【关键词】师范类本科院校 高等代数 教学方法
【基金项目】湖南省自然科学基金青年项目（2017JJ3044）;湖南省教育厅一般项目（17C0333）。
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）25-0124-02
《高等代数》是数学专业的最主要、最基础课程之一。教育部在《关于进一步加强高等学校本科教学工作的若干意见》中指出“要继续推进课程体系、教学内容、教学方法和手段的改革，构建新的课程结构。鼓励教师开展教学理论研究、教学实践探索和优质教学资源开发。加强教材建设，确保高质量教材进课堂。要大力锤炼精品教材，并把精品教材作为教材选用的主要目标”。为适应当前教学改革和素质教育的需要，解决同学们在高等代数学习中遇到的问题，本文结合师范类本科院校的培养目标对传统高等代数教学做一些探索。
1.优化教材，注重高等代数的内部联系
根据师范类本科院校培养目标以及学生的实际水平，我们课程教材选用了王萼芳编著的《高等代数教程》（上下册），此教材共有十章，其中上册是第一章至第五章，下册是第六章至第十章[1]。另外，我们选用了北京大学数学系前代数小组编著的《高等代数》（第四版）作为配套丛书，其中部分内容穿插到主讲课程教材中[2]。在教学大纲的基本要求下，本着重基础、突重点原则，基于对师范生后续发展的考虑，我们对教材内容进行了如下划分：将对称多项式、拉普拉斯定理、？姿-矩阵、最小二乘法作为选学内容，教师只利用2～3课时给学生作简单的指导。将多项式、行列式、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、欧式空间作为重点讲授内容，它们是高等代数的核心部分。基于学生后续研究生阶段学习考虑，补充了双线性函数和辛空间相关知识。整个课程按章节具体授课安排如下：
第一章主要研究行列式。由于行列式与线性方程组、向量组的线性相关性、矩阵是否可逆、特征值等知识有着紧密联系，因此教学过程中需要学生理解行列式的定义，重点掌握行列式的计算、性质和展开公式及其应用。
第二章讲授线性方程组时，先从初中学过的三元一次方程组讲起，自然延伸到n元一次方程组的解法——消元法化阶梯型方程组。为了使方程组书写简便，自然地引入系数矩阵及矩阵的初等变换等概念。重点要求学生会用初等变换判别方程组是否有解、以及会求通解。由于线性方程组可以等价于矩阵方程，矩阵又可以分成向量，因此，讲授方程组有解判别定理与解的结构性质时，授课内容建议与第三章矩阵的运算等内容相结合，利用矩阵理论证明线性方程组解的结构。另外，本章讲授向量组线性相关性时要与方程组的解相联系，把向量组线性相关等价于线性方程组有非零解，把向量组线性无关等价于线性方程组只有零解。
第三章研究矩阵，主要讨论矩阵的加减乘运算和运算性质、矩阵的秩和性质、以及一些常见的特殊矩阵。由于多个向量可以组合成一个矩阵，一个矩阵也可以分块成多个向量，建议把第三章的矩阵与第二章的向量结合起来讲授。同时需要指出，向量也是一个特殊的矩阵：一个n维行向量可以看成是一个1行n列的矩阵，一个n维列向量可以看成是一个n行1列的矩阵，因此矩阵的加减乘运算及性质对向量都成立。
第四章讲授矩阵的对角化，主要研究矩阵的特征值和特征向量以及它们的运算及性质，再由特征值和特征向量给出矩阵相似的定义和矩阵可对角化所需的条件。
第八章和第十章主要研究线性空间和欧式空间，其中欧式空间是一个特殊的线性空间，它只是在空间中定义了内积。在讲第十章欧式空间时，补充对偶空间和辛空间[2]。
第九章线性变换可以与第四章矩阵的特征值与特征向量结合起来处理。由于线性变换在基下可以定义矩阵，因此线性变换的特征值与特征向量问题可以等价于矩阵的特征值与特征向量问题[2]。另外，本章末尾补充线性函数等相关知识[2]，该部分知识在很多重点大学研究生入学考试试题中都会出现，本部分内容的补充旨在为学生后续研究生深造打下基础。
综上，高等代数本质上是以行列式、矩阵、向量作为工具，研究线性变换、线性空间、线性方程的解的一门课程。行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值和特征向量、线性空间和线性变换等概念之间有着紧密联系。
2.高等代数课程学习兴趣的培养
师范类院校的数学教育更应重视对学生学习兴趣的培养。因为对于大部分数学专业的师范生来说，他们以后走上工作岗位将是数学教师。如果连自身对数学的学习都毫无兴趣，他们又怎么能培养下一代学生树立正确的数学观呢？初高中学生对数学的兴趣，更多的源于外界的刺激。例如家长经常教育学生：数学学得好、考高分，将来更有希望考上好大学，考上大学你就轻松了，等等类似的言论。考上大学之后，这种刺激急剧减少，加上大学数学本身的抽象性更强，这时学生对大学数学的学习动机充满了困惑，不再以升学作为主要目的，学生对数学的兴趣自然明显减弱。本文认为，师范生的数学教育必须重视对学生学习兴趣的培养。当同学们知道学习某门课有巨大用途和价值的时候，自然更乐于学习。高等代数在数学专业的硕士研究生入学考试中占150分，分值占比非常高。对于非数学专业的理工科学生来说，线性代数也是研究生入学考试的必考科目之一。因此，学好高等代数或者线性代数是理工科学生后续攻读硕士研究生的重要保障。
培养学生学习兴趣的关键因素是：要使学生听得懂、会应用，只有听得懂的东西大家才会更感兴趣。这就需要教师授课时启发同学们从最基础、最熟悉的知识点讲起。例如，在中学代数课程中，我们解二元一次方程组、三元一次方程组都是采用加减消元法和代入消元法。自然的，学生会问：大学高等代數中解线性方程组的方法和初中有什么区别与联系呢？通过对比，学生发现高等代数中解方程组的方法和初中数学消元法在本质上是相同的，只是大学高等代数引入了矩阵和初等变换等概念，其目的是为了解方程组时书写更简便，同时也为了计算机可以输入矩阵并且识别矩阵的运算。换句话说，如果学生会初中的消元法解二元一次方程组，那么平行的推广知识点至更高维，学生就可以掌握高等代数中线性方程组的求解方法。把大学复杂抽象的数学内容简化为初中较容易理解的知识点，可以使绝大多数同学更容易理解高等代数这门课程，进而增加学生对高等代数课程的学习兴趣。 本人查阅相关资料得出：高等代数在经济学、空间解析几何、数学建模、计算机等课程中都有着广泛前沿的应用[3-5]。考虑到当前已是信息化时代，计算机技术在高等代数的应用中非常广泛，特别地，Matlab作为数学应用型工具使用更是相当简便快捷。因此，在授课过程中，我们还补充了运用Matlab计算行列式、求解方程组、求矩阵的逆、求特征值与特征向量等相关知识，突出高等代数与计算机等学科的交叉应用价值，培养学生对高等代数的学习兴趣。
3.高等代数课程教学环节的改革
（1）采取线上与线下相结合的授课模式
当前信息化时代，教师可以采取视频课堂与线下课堂相结合的模式授课。教师提前把下周需要讲的课程与教案上传至超星学习通，让学生先自行观看视频预习。视频时间不宜太长，控制在15-20分钟一节课，主要突出章节的重难点和解题思路，使得学生对知识点有个整体的把握。课后，教师建立QQ群，在群中布置QQ作业和发布群消息，在线批改作业。另外，教师还可以结合腾讯会议直播的形式每周特定一个时间段对学生进行在线答疑。通过实践发现，线下课堂结合超星学习通、QQ群、腾讯会议等线上辅助教学，可以有利地提升学生的学习水平和学习兴趣。
（2）以学生为主体，调动学生的积极性
课堂上，建议教师多引导学生积极参与讨论，以学生为主体，充分调动学生的主观能动性。把抽象枯燥的数学知识尽可能地生动化、趣味化、实际化。在此，本文简单列举高等代数与数学建模授课的一个片段，期望作为一案例供各位学者讨论和提出有益指导。
老师：“假如让你在长沙市建一个自来水厂，把自来水厂建到哪里最合适？请同学们思考回答。”
学生甲：“当然建在水最多的地方啦，自来水厂首先要能够供水。”
老师：“这位同学回答得非常好。但是，请问建自来水厂只考虑水源吗？比如咱们长沙，湘江边上水源当然最丰富。但是，你可能把水厂建在市中心的湘江边上吗？那地方的地价那么贵。肯定不会，经济上不划算嘛。”
学生乙：“建在土地最便宜的地方，因为建水厂占地面积较大，土地越便宜成本越低。当然，前提是那块地得有较充足的水源。”
老师：“这位同学回答地也很好。他考虑了两个因素，水源和地价。既然说到了成本，同学们不妨再接着想，水厂还有哪些最基本的供水成本？”
同学丙：“水厂最基本的一个用途是给全市供水，而供水需要水管接通到家家户户。因此，可以把自来水厂想象成地图上的某个点，把每个家庭、单位也都抽象成地图上的密密麻麻的其它许多个点。那么这个问题就等效于在地图上选一个点，使得该点与其它点的连线的距离之和最短。这应该是最优的，因为距离最短，管道成本最低。”
老师：“这位同学的思路非常经典，用到了数学建模的抽象思维。把这一实际问题抽象成最短路径问题，从而借助方程组解出最优解。但是，这个方案仍然有不足之处。实际中，假设水厂离某户家庭直线距离很短，但是恰好它们之间有一座山。你不可能为了使距离最短而把山挖个隧道用来通水管吧？所以，这位同学主要少了可行性分析这一环节。”
同学丁：“老师，您说到可行性我突然想起来还要考虑周围的环境因素。选取的自来水厂周围不能有太多污染源，最好远离工厂。否则的话，即使经济上再便宜也不可行。”
老师：“这位同学思考方向也很有参考价值。事实上，我们只需把几位同学的思路综合起来考虑就是一个较好的方案，需要考虑水源、地价、周围的环境、管道成本、选取位置的可行性等多个因素，每一个因素都设成一个参数，找出这些参数之间的关系并且建立模型，然后求出最优解。高等代数课程中的最小二乘法恰好是处理优化问题的重要工具。当然，实际生活中还有许多其它因素，不可能尽善尽美地把所有因素都考虑进去。我们只需要尽可能地找到一个理论上的较合理的最优解即可。”
4.结语
作为本科师范类院校，《高等代数》的教学不仅关系到学生专业课学习，也关系到学生后续的研究生阶段的深造。我们期望通过本课程的教学，使学生能够对高等代数课程有着较全面、深刻的理解，同时使学生更深刻地理解数学的思维与应用，从而达到培养优秀师范生人才的目标。
参考文献：
[1]王萼芳.高等代数教程（上、下册）[M].北京：清华大学出版社，1997：1-267.
[2]北京大学数学系前代数小组.高等代数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2013：273-290.
[3]王建军.线性代数及其应用[M].上海：上海交通大學出版社，2005：146-166.
[4]曾令淮，段辉明，李玲.高等代数与解析几何[M].北京：清华大学出版社，2014：34-76.
[5]周誓达.线性代数与线性规划[M].北京：中国人民大学出版社，2005：14-17.
作者简介：
卢霖（1987-），男，汉族，安徽阜南人，博士，研究方向：常微分方程与动力系统。