论文部分内容阅读
[摘 要]
几何直观是《义务教育数学课程标准（2011年）》新增四大核心概念之一，通过课题立项加强教学实践，经过一年多的课程标准以及对应教材的实施，学生“几何直观”能力是怎样的？是否存在差异？以本校二年级的全体学生进行问卷调查，并进行系列的数据分析，发现学生整体的情况良好，并从四个维度进行具体的分析，发现学生现有的运用“几何直观”的能力存在一定的差异。
[关键词]
几何直观；能力发展；小学教学
“几何直观”是《义务教育课程标准（2011年版）》提出的，经过两年的课程标准的实施以及配套教材的使用，老师们在教学实践中有意识加强并践行，学生们的几何直观运用的意识是否较强，思维能力是否得到发展，为促进学生在后续的学习奠定基础？我们通过问卷调查对本校二年级的学生进行了较深入的了解，进而探讨二年级学生现有的“几何直观”能力的现况，以便更好地开展相关的教学实践研究。
一、小学“几何直观”的教学目标
（一）几何直观的含义
“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”
（二）几何直观的培养包含四个方面
1.在教学中使学生逐步养成画图习惯；
2.重视变换——让图形动起来；
3.学会从“数”与“形”两个角度认识数学；
4.掌握、运用一些基本图形解决问题。
（三）学段要求
在小学阶段，可从学段目标中，分辨出几何直观的学段要求如下。
1.新标准在第一学段提出：“感受平移、旋转、轴对称现象；认识物体的相对位置；掌握初步的测量、识图和画图的技能”“在观察、操作等活动中，能提出一些简单的猜想。”
2.第二学段提出：“掌握测量、识图和画图的基本方法”“初步形成数感和空间观念，感受符号和几何直观的作用。”
查看新的人教版配套小学数学教材中，“几何直观”的教学内容无处不在，外显的有：如数的认识过程中把具体的实物抽象为数学符号，继而才抽象为数；识别几何图形、在数与代数的问题解决过程中，在“怎样解答”“解答正确吗”两个步骤中已经引入了“几何直观”等等，通过将近两年的新教材的配套学习，学生在几何直观这一方面表现的情况如何，是我们所关注的。
二、研究方法
为了有效进行研究，主要采用问卷调查法来搜集一手的资料。
（一）资料收集的方法：问卷调查法
1.问卷中题目的选编依据
根据人教版一、二年级课本中含有“几何直观”的内容或解题思路的呈现，“几何直观”能力培养的四个方面，选取苏教版和北师大版教材中相对应学习内容的相关练习题为问卷调查的题目，并结合自己的教学实践，编制了一些题目，设置了一个调查问卷。
2.问卷中题目的观察维度
（1）会看图并进行简单的描述（问卷中的第1、2、3题）
（2）图形变换（问卷中的第7、8题）
（3）细致观察情境图并进行推理的能力（问卷中的第4、6、11题）
（4）会自行运用图形进行描述与分析解决问题（问卷中的第5、9、10、12题）
3.问卷的搜集情况
本调查通过对我校二年级的学生发放问卷的方式，进行全体测试。测试时间40分钟。共发放问卷252份，各班发放的情况如下。
（二）资料整理的方法
对每一份调查问卷都进行统一标准的批阅，记录下相关数据，根据数据整体认识和把握，再分不同的方面，对照《义务教育课程标准》的要求，结合数据进行分析。
三、资料分析
（一）整体上学生运用“几何直观”的意识与能力良好
如下图，从图一可感知，学生能运用“几何直观”来解答题目，占据的比例明显偏高，运用的意识总体上来说是比较好的；从图二可以发现，在解答正确的学生中，能运用“几何直观”来解决问题，并正确解决问题的同学还是比较多的。即学生运用“几何直观”的意识强，且运用“几何直观”指导自己正确解决问题，几何直观的运用能力总体不错。
（二）学生的“几何直观”运用情况的分类分析
1.学生看图并进行简单描述的能力较强（问卷中的第1、2、3题）
这三题都是看图写出得数或列出算式，图形比较简单，图形表达的数学关系清晰、简单、明了。从图三、图四可以看出，学生看稍抽象图形的能力相当好，明确图形中隐含的数量关系，并能正确地用数学语言、符号表示出来。
学生会看图形明确数与数量关系是学习运用几何直观的第一步，以后学生还要继续如何画图、看更复杂的图形……。会看蕴含简单的数量关系的图形为学生后续学习，达成会画、会用图形表达数学关系，奠定良好的基础。
2.图形操作的能力较好（问卷中的第7、8题）
从图五可以看出，这组题学生答题的正确率较高，但其实第七题的正确率为50%，学生都会分割，出错的原因是因为：第一，学生刚学或有的班级还没开始学习角，对于角的变式辨认有一定的难度。第二，对于分割后图形的变化、识别的能力较差（见例1）。若学生学了角的认识，并加以适当训练，相信学生是会有更出色的表现。但有个别的学生思维比较灵活，能打破剪一刀可以是剪曲线的想法（见例2）。
3.细致观察情境图并进行推理的能力有待提高（问卷中的第4、6、11题）
从图六可知，这组题回答的正确率较低，只有40%。也就是说，学生对于将直观图像进行数学加工，进行数学化思考，实现图形与代数问题之间的互相转化的能力有待加强。如第4题，学生对于情境图中雪梨与苹果的个数与整体的关系不明确，图中，可看到：雪梨已经显示了2个，可推断雪梨最少也要有2个，篮子里的可以全部是苹果，即苹果最多有13个，但能从情境图中推理得出正确结果的人数极少。第6题也一样，题目出示了数“23”的图形表示，有不少的学生难以实现图与数量的转化，建立图与数量的关系：1个大正方形表示10，1个小正方形表示1。 而且，从表二的统计可以发现，不少的学生是通过列式计算来解答，占的比例出乎了所有老师的意外，如：第6题，显示的是图，有的学生列式为：10 10 10 10 1=41。学生还是习惯性地用平时常用的方式“列式计算”来进行思考问题。也有极个别的学生对第6题，会用文字来解答（见例3），也有的学生用平时学习用的小棒图（见例4）、正方形（见例5）表示具体的量，而没有读懂题目建立形与数的联系进行推理。从这可见学生受常用数学知识的思维定势还是很大的。
表二：第4、6两题列式解答的情况统计一览表
又如第11题，从图七就可知，超过9成的学生能对图形进行推理补缺，但有近3成的学生虽然有画图补缺，也未能回答正确，究其原因，是因为学生补缺后出现数错的情况（见例6）。也就是说，学生观察不细致，混淆了已知与缺了的墙砖。可从下面的组图例7、8、9中可知，孩子们观察的能力差距还是挺大的，思维能力强的学生会用“数形结合”“推理”“几何直观”等思维策略帮助自己有效地进行细致观察、推理判断，几个策略同时运用的学生解答的正确率几乎是100%的。
可见，在谈及“几何直观”的同时，把数与数量关系有机结合起来，而且能灵活运用多种思维策略思考问题、找到数、数量关系与问题之间的本质联系进行解决问题是我们非常乐于看到的，是学生具有良好的数学思考的方法、数学思维能力强的表现。
4.学生具有自行运用图形进行思维与分析问题的能力（问卷中的第5、9、10、12）
这组题的题目都是文字，学生可自行选择不同的解决问题的方法来解决问题，从图八、图九可知，“几何直观”是学生思考问题时常用、自觉运用的思考方式，而且学生运用“几何直观”来准确答题的学生是占较大的比例，可以看出，第一，“几何直观”是学生比较乐于运用的、比较容易接受的一种解决问题的方法、策略；第二，学生自觉运用的意识以及运用其准确解题的能力较强；第三，“几何直观”对于学生来说是可以通过学习与训练获得的。
从学生的答题来看，第12题在命题的时候就给学生造成了困扰，因为命题的目的就是要检测学生运用“几何直观”解决问题的能力，从图十可以看出，学生运用几何直观的方法解决问题，但由于题目中的细节，“每相隔两棵树之间”，大概有五分子一的学生看成是“每两棵树之间”而导致出错（见例12）。
从上面的组图可获知，即使学生明确是“在两棵树之间”，但对“……之间”不理解（见例10、11），也就是说，学生对题目的正确理解有待老师在教学实践中给予指导。可能还有个别学生没看懂题目，出现没有解答，因此，本题的解答率也是所有题目中最低的。可解答正确的学生中，大部分都是通过画图得出正确答案的，可以看出，几何直观确实能有效帮助学生解决问题。
解决问题的策略是多样化的，而几何直观是最适合学生年龄心理特征的策略之一。自行运用几何直观，能把抽象的数量关系形象化，数学问题简单化，进行解决问题，不仅能帮助学生比较形象地分析问题、抓住信息与问题的关键，理解问题，而且有助于培养学生的数学直觉、数学思考的能力。
四、结论与讨论
（一）研究结论
根据义务教育课程标准（2011版）的要求与调查的数据资料分析，本校二年级学生的几何直观运用的意识与能力不错，在看图并进行简单的描述、图形变换后对图形本质的把握等方面表现良好，而运用几何直观进行推理、预测结果、通过图形描述问题与信息并确定问题本质的能力有待加强，学生们能达成课程标准（2011年版）对“几何直观”的学习要求，并能为后续的学习奠定良好的基础。
（二）分析与讨论
在批阅学生调查问卷的时候，对于学生们不同的思维策略的运用，我们非常激动，却不能纳入我们统计的范围（见例13）。学生思考问题时的思考策略、思维层次的高低有必要划分吗？若要，如何划分（见例13、14）？我们初步觉得，低年段的学生的思维是汲取的过程，开放的思维、引导、教学不同的思考策略，是每一个数学教师在教学过程中都要努力做好做强的，顺应数学思维的特征，而不强加，丰富学生的思维角度、思维途径，才是数学学习之本。
[参 考 文 献]
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会组织编写.义务教育数学课程标准解读（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012（2）.
[3]王光明，范文贵.新版课程标准解析与教学指导.小学数学[M].北京：北京师范大学出版社，2012（7）.
（责任编辑：李雪虹）
几何直观是《义务教育数学课程标准（2011年）》新增四大核心概念之一，通过课题立项加强教学实践，经过一年多的课程标准以及对应教材的实施，学生“几何直观”能力是怎样的？是否存在差异？以本校二年级的全体学生进行问卷调查，并进行系列的数据分析，发现学生整体的情况良好，并从四个维度进行具体的分析，发现学生现有的运用“几何直观”的能力存在一定的差异。
[关键词]
几何直观；能力发展；小学教学
“几何直观”是《义务教育课程标准（2011年版）》提出的，经过两年的课程标准的实施以及配套教材的使用，老师们在教学实践中有意识加强并践行，学生们的几何直观运用的意识是否较强，思维能力是否得到发展，为促进学生在后续的学习奠定基础？我们通过问卷调查对本校二年级的学生进行了较深入的了解，进而探讨二年级学生现有的“几何直观”能力的现况，以便更好地开展相关的教学实践研究。
一、小学“几何直观”的教学目标
（一）几何直观的含义
“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”
（二）几何直观的培养包含四个方面
1.在教学中使学生逐步养成画图习惯；
2.重视变换——让图形动起来；
3.学会从“数”与“形”两个角度认识数学；
4.掌握、运用一些基本图形解决问题。
（三）学段要求
在小学阶段，可从学段目标中，分辨出几何直观的学段要求如下。
1.新标准在第一学段提出：“感受平移、旋转、轴对称现象；认识物体的相对位置；掌握初步的测量、识图和画图的技能”“在观察、操作等活动中，能提出一些简单的猜想。”
2.第二学段提出：“掌握测量、识图和画图的基本方法”“初步形成数感和空间观念，感受符号和几何直观的作用。”
查看新的人教版配套小学数学教材中，“几何直观”的教学内容无处不在，外显的有：如数的认识过程中把具体的实物抽象为数学符号，继而才抽象为数；识别几何图形、在数与代数的问题解决过程中，在“怎样解答”“解答正确吗”两个步骤中已经引入了“几何直观”等等，通过将近两年的新教材的配套学习，学生在几何直观这一方面表现的情况如何，是我们所关注的。
二、研究方法
为了有效进行研究，主要采用问卷调查法来搜集一手的资料。
（一）资料收集的方法：问卷调查法
1.问卷中题目的选编依据
根据人教版一、二年级课本中含有“几何直观”的内容或解题思路的呈现，“几何直观”能力培养的四个方面，选取苏教版和北师大版教材中相对应学习内容的相关练习题为问卷调查的题目，并结合自己的教学实践，编制了一些题目，设置了一个调查问卷。
2.问卷中题目的观察维度
（1）会看图并进行简单的描述（问卷中的第1、2、3题）
（2）图形变换（问卷中的第7、8题）
（3）细致观察情境图并进行推理的能力（问卷中的第4、6、11题）
（4）会自行运用图形进行描述与分析解决问题（问卷中的第5、9、10、12题）
3.问卷的搜集情况
本调查通过对我校二年级的学生发放问卷的方式，进行全体测试。测试时间40分钟。共发放问卷252份，各班发放的情况如下。
（二）资料整理的方法
对每一份调查问卷都进行统一标准的批阅，记录下相关数据，根据数据整体认识和把握，再分不同的方面，对照《义务教育课程标准》的要求，结合数据进行分析。
三、资料分析
（一）整体上学生运用“几何直观”的意识与能力良好
如下图，从图一可感知，学生能运用“几何直观”来解答题目，占据的比例明显偏高，运用的意识总体上来说是比较好的；从图二可以发现，在解答正确的学生中，能运用“几何直观”来解决问题，并正确解决问题的同学还是比较多的。即学生运用“几何直观”的意识强，且运用“几何直观”指导自己正确解决问题，几何直观的运用能力总体不错。
（二）学生的“几何直观”运用情况的分类分析
1.学生看图并进行简单描述的能力较强（问卷中的第1、2、3题）
这三题都是看图写出得数或列出算式，图形比较简单，图形表达的数学关系清晰、简单、明了。从图三、图四可以看出，学生看稍抽象图形的能力相当好，明确图形中隐含的数量关系，并能正确地用数学语言、符号表示出来。
学生会看图形明确数与数量关系是学习运用几何直观的第一步，以后学生还要继续如何画图、看更复杂的图形……。会看蕴含简单的数量关系的图形为学生后续学习，达成会画、会用图形表达数学关系，奠定良好的基础。
2.图形操作的能力较好（问卷中的第7、8题）
从图五可以看出，这组题学生答题的正确率较高，但其实第七题的正确率为50%，学生都会分割，出错的原因是因为：第一，学生刚学或有的班级还没开始学习角，对于角的变式辨认有一定的难度。第二，对于分割后图形的变化、识别的能力较差（见例1）。若学生学了角的认识，并加以适当训练，相信学生是会有更出色的表现。但有个别的学生思维比较灵活，能打破剪一刀可以是剪曲线的想法（见例2）。
3.细致观察情境图并进行推理的能力有待提高（问卷中的第4、6、11题）
从图六可知，这组题回答的正确率较低，只有40%。也就是说，学生对于将直观图像进行数学加工，进行数学化思考，实现图形与代数问题之间的互相转化的能力有待加强。如第4题，学生对于情境图中雪梨与苹果的个数与整体的关系不明确，图中，可看到：雪梨已经显示了2个，可推断雪梨最少也要有2个，篮子里的可以全部是苹果，即苹果最多有13个，但能从情境图中推理得出正确结果的人数极少。第6题也一样，题目出示了数“23”的图形表示，有不少的学生难以实现图与数量的转化，建立图与数量的关系：1个大正方形表示10，1个小正方形表示1。 而且，从表二的统计可以发现，不少的学生是通过列式计算来解答，占的比例出乎了所有老师的意外，如：第6题，显示的是图，有的学生列式为：10 10 10 10 1=41。学生还是习惯性地用平时常用的方式“列式计算”来进行思考问题。也有极个别的学生对第6题，会用文字来解答（见例3），也有的学生用平时学习用的小棒图（见例4）、正方形（见例5）表示具体的量，而没有读懂题目建立形与数的联系进行推理。从这可见学生受常用数学知识的思维定势还是很大的。
表二：第4、6两题列式解答的情况统计一览表
又如第11题，从图七就可知，超过9成的学生能对图形进行推理补缺，但有近3成的学生虽然有画图补缺，也未能回答正确，究其原因，是因为学生补缺后出现数错的情况（见例6）。也就是说，学生观察不细致，混淆了已知与缺了的墙砖。可从下面的组图例7、8、9中可知，孩子们观察的能力差距还是挺大的，思维能力强的学生会用“数形结合”“推理”“几何直观”等思维策略帮助自己有效地进行细致观察、推理判断，几个策略同时运用的学生解答的正确率几乎是100%的。
可见，在谈及“几何直观”的同时，把数与数量关系有机结合起来，而且能灵活运用多种思维策略思考问题、找到数、数量关系与问题之间的本质联系进行解决问题是我们非常乐于看到的，是学生具有良好的数学思考的方法、数学思维能力强的表现。
4.学生具有自行运用图形进行思维与分析问题的能力（问卷中的第5、9、10、12）
这组题的题目都是文字，学生可自行选择不同的解决问题的方法来解决问题，从图八、图九可知，“几何直观”是学生思考问题时常用、自觉运用的思考方式，而且学生运用“几何直观”来准确答题的学生是占较大的比例，可以看出，第一，“几何直观”是学生比较乐于运用的、比较容易接受的一种解决问题的方法、策略；第二，学生自觉运用的意识以及运用其准确解题的能力较强；第三，“几何直观”对于学生来说是可以通过学习与训练获得的。
从学生的答题来看，第12题在命题的时候就给学生造成了困扰，因为命题的目的就是要检测学生运用“几何直观”解决问题的能力，从图十可以看出，学生运用几何直观的方法解决问题，但由于题目中的细节，“每相隔两棵树之间”，大概有五分子一的学生看成是“每两棵树之间”而导致出错（见例12）。
从上面的组图可获知，即使学生明确是“在两棵树之间”，但对“……之间”不理解（见例10、11），也就是说，学生对题目的正确理解有待老师在教学实践中给予指导。可能还有个别学生没看懂题目，出现没有解答，因此，本题的解答率也是所有题目中最低的。可解答正确的学生中，大部分都是通过画图得出正确答案的，可以看出，几何直观确实能有效帮助学生解决问题。
解决问题的策略是多样化的，而几何直观是最适合学生年龄心理特征的策略之一。自行运用几何直观，能把抽象的数量关系形象化，数学问题简单化，进行解决问题，不仅能帮助学生比较形象地分析问题、抓住信息与问题的关键，理解问题，而且有助于培养学生的数学直觉、数学思考的能力。
四、结论与讨论
（一）研究结论
根据义务教育课程标准（2011版）的要求与调查的数据资料分析，本校二年级学生的几何直观运用的意识与能力不错，在看图并进行简单的描述、图形变换后对图形本质的把握等方面表现良好，而运用几何直观进行推理、预测结果、通过图形描述问题与信息并确定问题本质的能力有待加强，学生们能达成课程标准（2011年版）对“几何直观”的学习要求，并能为后续的学习奠定良好的基础。
（二）分析与讨论
在批阅学生调查问卷的时候，对于学生们不同的思维策略的运用，我们非常激动，却不能纳入我们统计的范围（见例13）。学生思考问题时的思考策略、思维层次的高低有必要划分吗？若要，如何划分（见例13、14）？我们初步觉得，低年段的学生的思维是汲取的过程，开放的思维、引导、教学不同的思考策略，是每一个数学教师在教学过程中都要努力做好做强的，顺应数学思维的特征，而不强加，丰富学生的思维角度、思维途径，才是数学学习之本。
[参 考 文 献]
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会组织编写.义务教育数学课程标准解读（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012（2）.
[3]王光明，范文贵.新版课程标准解析与教学指导.小学数学[M].北京：北京师范大学出版社，2012（7）.
（责任编辑：李雪虹）