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“一元二次不等式及其解法”是高中数学的重要内容。在教学实践中，人们往往将注意力集中在解法而忽视其实际背景，回到了数学大纲教材的老路，失去发展学生数学建模素养的良好机会。事实上，对于“一元二次不等式及其解法”的教学，运用视觉化表征既能呈现数学建模的过程，又能将一元二次不等式图解法、解题程序框图等连在一起，使视觉化贯穿整个课堂教学，发展学生的数学核心素养。
问题的表征方式影响着信息的组织、解释和利用，对解题策略的选择及问题的最终解决起关键作用。视觉化表征是抽象思维的基础，它有助于减少工作记忆负荷或降低认知负荷，简化复杂关系形式，对信息进行编码和处理。对高中生而言，引导他们使用视觉化等多种手段表征问题，往往能帮助他们在繁杂的问题情境中找到解题的思路。
为了让学生更直观、更深入地理解一元二次不等式及其解法，笔者借助各种视觉化手段，激发学生的学习兴趣、信心与成就感，提高数学课堂教学效率。
一、说教材
“一元二次不等式及其解法”是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修5第三章“不等式”的教学内容。其主要内容有三部分：案例引入、解具体的一元二次不等式、归纳解一元二次不等式的一般方法。本课通过现实生活中的具体问题情境，使学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系，在了解不等式（组）产生的实际背景前提下，体会解一元二次不等式的必要性及其解题策略，旨在培养学生敏锐的问题意识，增强学生的建模能力，提升学生的数学核心素养。
二、说教学目标
1知识与技能
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法，培养数形结合、分类讨论、抽象概括能力和逻辑思维能力等。
2过程与方法
（1）借助图表整理数据，寻找数据内部的联系，经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；
（2）通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，寻求一元二次不等式的解；
（3）利用表格、流程图等系列可视化介质，直观呈现解一元二次不等式的方法，感受图表的直观与便捷，建立用图表解决问题的意识。
3情感、态度与价值观
激发学生学习数学的热情，培养学生勇于探索、创新的精神，使学生体会事物之间普遍联系的辩证思想。
三、说教学重点、难点
教学重点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系及一元二次不等式的解法。
教学难点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。
四、说教学方法
简单来说，数学视觉化是将不可见或抽象的数学信息用有意义的图表、数学图象、视觉效果或图片等来表示，使数学信息在人们的感觉和想象中可视，让人们对数学学习对象有一个形象、直观、整体的认识和理解。数学视觉化教学策略/方法是通过数学视觉化手段，借助视觉化工具或技术，将数学概念、原理、数学思想方法用图表、数学图象、框图等形式呈现，使学生能更直观地理解与学习。本次说课主要采用数学视觉化教学方法，让视觉化渗透于课堂教学的各个环节，发展学生运用视觉化思考数学的良好习惯，有效开展“一元二次不等式及其解法”教学。
五、说教学流程
结合教材的编排特点和学生的认知水平，笔者将本课的教学流程分为以下三个环节。
环节一：设置问题背景
（1）创设情境，引入概念
以课本内容引入。
上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分，因特网服务公司（Internet Service Provider）的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用。
某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择。公司A每小时收费15元；公司B的收费原则如图1所示，即在用户上网的第1小时内收费17元，第2小时内收费16元，以后每小时减少01元（若用户一次上网的时间超过17小时，按17小时算）。
一般来说，一次上网时间不会超过17个小时，所以，不妨假设一次上网时间总小于17小时，那么，一次上网在多长时间内能够保证选择公司A的上网费用小于或等于选择公司B所需费用？
【问题分析】课本利用上网费用的例子进行引入，而这个例子对于大多数学生来说过于抽象，尤其是题目给出的图表，其形式有别于学生在之前学习中所遇到的图表的形式，超出大多数学生的理解范围，使得题目更显复杂。因为学生不熟悉、不理解，教师要在课堂上讲明白，难度就更大了，这意味着教师在课堂上要花更多的时间讲解。因为多数一线教师认为，本课的基本任务应该是教会学生解一般的一元二次不等式，解题技能的训练更为重要，所以他们往往选择直接跳过例子，让学生课后自学，直接进入一元二次方程的解法的讲授。笔者认为，引例正是提升学生数学核心素养的关键所在，其中主要涉及数学抽象、数学建模与数学运算等能力。
为化解建立不等式模型这一难点，笔者利用表格，让学生先分析单独每个小时的上网费用，从而得出第x个小时的上网费用，在表格中单列出每个小时的上网费用（见表1），从而更容易从中发现各个量之间的关系，发现前x个小时的上网费用是各个小时费用之和，从而列出表达式，结合前章所学的数列求和知识，得出前x个小时上网总费用，由此列出最终的不等式。利用图表等视觉化方法能更直观、更有规律地呈现數据，让学生直观体会数据之间的关联，感受其中蕴含的数学文化，发展学生的数学核心素养。
运用表格进行的具体建模过程如下。
不妨设一次上网时间为x个小时，则易知选择公司A上网所需费用为15x，选择公司B所需费用见表1。
环节二：特殊一元二次不等式解法的探究 （1）特例探究
此时，学生已经认识到x2-5x<0是一个具体的一元二次不等式，如何确定这个不等式的解集？
我们不妨通过它的图象寻找其解题路径，利用几何画板的“画图”功能，选择“绘图”的“绘制新函数”功能，输入函数解析式，按“确定”（如图2），即出现函数y=x2-5x的图象（如图3）。
利用图象探究：
①二次方程的根与二次函数的零点的关系
易知，二次方程有两个实数根x1=0，x2=5；二次函数有两个零点x1=0，x2=5。不难发现，二次方程的根就是二次函数的零点。
②观察图象，获得解集
由二次函数y=x2-5x的图象可知，当x<0或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时y>0，即x2-5x>0；当0 所以，不等式x2-5x<0的解集是 ，从而解决了环节一提出的问题。
借助信息技术手段作出函数图象，学生从图中直观发现不等式x2-5x<0的解集与二次方程x2-5x=0、函数y=x2-5x零点的关联性，从而为下一环节借助该例寻求一般的一元二次不等式解法做铺垫，实现从特殊到一般的有效转化。
（2）变式加深
当一元二次不等式的二次项系数为负数时，对应不等式的解集又是什么？同理，可画出y=-x2+3x-2的图象，易知-x2+3x-2>0或-x2+3x-2<0的解集也由函数图象的零点决定（如图4、图5，过程略）。
环节三：从特殊到一般——一元二次不等式的解法
（1）數形结合，直观明了
对于任意的一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）或ax2+bx+c<0（a>0），怎样确定其解集呢？学生通过独立思考与合作学习，参照上述具体案例，借助函数图象不难得到不等式的解集，见表2。
（2）抽象提升，把握本质
从表2不难看出，求一元二次不等式ax2+bx+c>0 （a>0）或ax2+bx+c<0 （a>0）的解集与求一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）、二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的解有其共同的本质——配方法。
显而易见，在数学教学中，数学抽象与数学视觉化是相辅相成的，如果仅仅提供符号化、形式化言语表征，常常使学生望而却步，难以理解数学符号的本质，甚至丧失学习数学的信心。教师合理运用视觉化表征，能促进和增强学生的数学理解，提高数学抽象能力。因此，课本选择用图表的方法呈现，并将某些部分留空，让学生补充完成，以此培养学生阅读并运用图表解决问题的意识。
（3）流程图归纳，领悟解题程序
最后，我们可以用程序框图呈现一般一元二次不等式的求解过程，即解一元二次不等式的一般步骤：①把二次项系数化为正数；②计算判别式Δ；③解对应的一元二次方程；④根据一元二次方程的根并结合图象，写出不等式的解集。
解题流程图的视觉化，展现了解题的思维过程，将内隐的数学方法外显出来，并将流程图、框图等运用于新知识的学习中，前后呼应，连贯一致。
六、专家点评
1将视觉化教学理念贯穿于数学课堂教学之中，发展学生视觉化思考数学的良好习惯
运用列表建立引例的一元二次不等式模型，借助二次函数图象求解一元二次不等式，程序框图（可视为一种思维导图）呈现解决一元二次不等式基本程序以突出解题思路的探索过程等，表格、数学图象、信息技术生成的图象（如思维导图）等常见的视觉化工具交互使用，课堂教学始终渗透视觉化教学思想，这是本次说课的一大亮点。教师如此设计将有助于发展学生运用视觉化思考数学的良好习惯。
2渗透数学文化，发展学生数学建模素养
新世纪数学课程改革实施以来，数学课程标准重视数学应用/建模问题解决教育，数学教材也不遗余力、想方设法设置数学应用/建模问题，高考数学试卷几乎每年都设有数学应用问题（大题），数学期望课程、数学实施课程与数学获得课程一致重视数学应用/建模问题教育，可谓盛世空前，也取得了一定成绩。但毋庸讳言，总体而言，学生的数学应用/建模问题解决能力或素养却不尽如人意，成绩原地踏步，裹足不前。原因何在？一个不容忽视的原因是数学应用/建模问题教学出现了偏差，教学策略和方法缺失，照本宣科、无效教学（不讲或少讲数学应用/建模问题）是常态[1]。就本节课而言，与以往旧的大纲教材直接求解给定的一元二次不等式不同，新的课标教材增加了数学实际应用问题引例——上网费用选择问题（数列求和），起着承上（数列）启下（一元二次不等式）的作用，也为讲解其后的例3刹车距离问题、例4流水线问题奠定基础，同时践行了渗透数学文化、发展数学建模素养的课程理念。遗憾的是，我们常常看到，很多课堂教学实践回避了该引例，认为其费时费力、得不偿失，直接解答[SX（]x[DK]（35-x）[]20[SX）]≥15x立竿见影，省时省力。这样处理，实际上是“穿新鞋走老路”，失去了渗透数学文化、发展学生数学建模素养的良好机会。本次说课教学设计在尊重教材的基础上，借助列表法突破学生的建模难点，展示建模过程，切实贯彻数学教育即数学文化教育的思想，发展学生信息获取、数据分析等数学核心素养，值得提倡。
参考文献：
[1]廖运章，李美珍.实施视觉化教学，发展数学建模素养[J].中小学课堂教学研究，2017（8）：8-13.
问题的表征方式影响着信息的组织、解释和利用，对解题策略的选择及问题的最终解决起关键作用。视觉化表征是抽象思维的基础，它有助于减少工作记忆负荷或降低认知负荷，简化复杂关系形式，对信息进行编码和处理。对高中生而言，引导他们使用视觉化等多种手段表征问题，往往能帮助他们在繁杂的问题情境中找到解题的思路。
为了让学生更直观、更深入地理解一元二次不等式及其解法，笔者借助各种视觉化手段，激发学生的学习兴趣、信心与成就感，提高数学课堂教学效率。
一、说教材
“一元二次不等式及其解法”是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修5第三章“不等式”的教学内容。其主要内容有三部分：案例引入、解具体的一元二次不等式、归纳解一元二次不等式的一般方法。本课通过现实生活中的具体问题情境，使学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系，在了解不等式（组）产生的实际背景前提下，体会解一元二次不等式的必要性及其解题策略，旨在培养学生敏锐的问题意识，增强学生的建模能力，提升学生的数学核心素养。
二、说教学目标
1知识与技能
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法，培养数形结合、分类讨论、抽象概括能力和逻辑思维能力等。
2过程与方法
（1）借助图表整理数据，寻找数据内部的联系，经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；
（2）通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，寻求一元二次不等式的解；
（3）利用表格、流程图等系列可视化介质，直观呈现解一元二次不等式的方法，感受图表的直观与便捷，建立用图表解决问题的意识。
3情感、态度与价值观
激发学生学习数学的热情，培养学生勇于探索、创新的精神，使学生体会事物之间普遍联系的辩证思想。
三、说教学重点、难点
教学重点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系及一元二次不等式的解法。
教学难点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。
四、说教学方法
简单来说，数学视觉化是将不可见或抽象的数学信息用有意义的图表、数学图象、视觉效果或图片等来表示，使数学信息在人们的感觉和想象中可视，让人们对数学学习对象有一个形象、直观、整体的认识和理解。数学视觉化教学策略/方法是通过数学视觉化手段，借助视觉化工具或技术，将数学概念、原理、数学思想方法用图表、数学图象、框图等形式呈现，使学生能更直观地理解与学习。本次说课主要采用数学视觉化教学方法，让视觉化渗透于课堂教学的各个环节，发展学生运用视觉化思考数学的良好习惯，有效开展“一元二次不等式及其解法”教学。
五、说教学流程
结合教材的编排特点和学生的认知水平，笔者将本课的教学流程分为以下三个环节。
环节一：设置问题背景
（1）创设情境，引入概念
以课本内容引入。
上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分，因特网服务公司（Internet Service Provider）的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用。
某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择。公司A每小时收费15元；公司B的收费原则如图1所示，即在用户上网的第1小时内收费17元，第2小时内收费16元，以后每小时减少01元（若用户一次上网的时间超过17小时，按17小时算）。
一般来说，一次上网时间不会超过17个小时，所以，不妨假设一次上网时间总小于17小时，那么，一次上网在多长时间内能够保证选择公司A的上网费用小于或等于选择公司B所需费用？
【问题分析】课本利用上网费用的例子进行引入，而这个例子对于大多数学生来说过于抽象，尤其是题目给出的图表，其形式有别于学生在之前学习中所遇到的图表的形式，超出大多数学生的理解范围，使得题目更显复杂。因为学生不熟悉、不理解，教师要在课堂上讲明白，难度就更大了，这意味着教师在课堂上要花更多的时间讲解。因为多数一线教师认为，本课的基本任务应该是教会学生解一般的一元二次不等式，解题技能的训练更为重要，所以他们往往选择直接跳过例子，让学生课后自学，直接进入一元二次方程的解法的讲授。笔者认为，引例正是提升学生数学核心素养的关键所在，其中主要涉及数学抽象、数学建模与数学运算等能力。
为化解建立不等式模型这一难点，笔者利用表格，让学生先分析单独每个小时的上网费用，从而得出第x个小时的上网费用，在表格中单列出每个小时的上网费用（见表1），从而更容易从中发现各个量之间的关系，发现前x个小时的上网费用是各个小时费用之和，从而列出表达式，结合前章所学的数列求和知识，得出前x个小时上网总费用，由此列出最终的不等式。利用图表等视觉化方法能更直观、更有规律地呈现數据，让学生直观体会数据之间的关联，感受其中蕴含的数学文化，发展学生的数学核心素养。
运用表格进行的具体建模过程如下。
不妨设一次上网时间为x个小时，则易知选择公司A上网所需费用为15x，选择公司B所需费用见表1。
环节二：特殊一元二次不等式解法的探究 （1）特例探究
此时，学生已经认识到x2-5x<0是一个具体的一元二次不等式，如何确定这个不等式的解集？
我们不妨通过它的图象寻找其解题路径，利用几何画板的“画图”功能，选择“绘图”的“绘制新函数”功能，输入函数解析式，按“确定”（如图2），即出现函数y=x2-5x的图象（如图3）。
利用图象探究：
①二次方程的根与二次函数的零点的关系
易知，二次方程有两个实数根x1=0，x2=5；二次函数有两个零点x1=0，x2=5。不难发现，二次方程的根就是二次函数的零点。
②观察图象，获得解集
由二次函数y=x2-5x的图象可知，当x<0或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时y>0，即x2-5x>0；当0
借助信息技术手段作出函数图象，学生从图中直观发现不等式x2-5x<0的解集与二次方程x2-5x=0、函数y=x2-5x零点的关联性，从而为下一环节借助该例寻求一般的一元二次不等式解法做铺垫，实现从特殊到一般的有效转化。
（2）变式加深
当一元二次不等式的二次项系数为负数时，对应不等式的解集又是什么？同理，可画出y=-x2+3x-2的图象，易知-x2+3x-2>0或-x2+3x-2<0的解集也由函数图象的零点决定（如图4、图5，过程略）。
环节三：从特殊到一般——一元二次不等式的解法
（1）數形结合，直观明了
对于任意的一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）或ax2+bx+c<0（a>0），怎样确定其解集呢？学生通过独立思考与合作学习，参照上述具体案例，借助函数图象不难得到不等式的解集，见表2。
（2）抽象提升，把握本质
从表2不难看出，求一元二次不等式ax2+bx+c>0 （a>0）或ax2+bx+c<0 （a>0）的解集与求一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）、二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的解有其共同的本质——配方法。
显而易见，在数学教学中，数学抽象与数学视觉化是相辅相成的，如果仅仅提供符号化、形式化言语表征，常常使学生望而却步，难以理解数学符号的本质，甚至丧失学习数学的信心。教师合理运用视觉化表征，能促进和增强学生的数学理解，提高数学抽象能力。因此，课本选择用图表的方法呈现，并将某些部分留空，让学生补充完成，以此培养学生阅读并运用图表解决问题的意识。
（3）流程图归纳，领悟解题程序
最后，我们可以用程序框图呈现一般一元二次不等式的求解过程，即解一元二次不等式的一般步骤：①把二次项系数化为正数；②计算判别式Δ；③解对应的一元二次方程；④根据一元二次方程的根并结合图象，写出不等式的解集。
解题流程图的视觉化，展现了解题的思维过程，将内隐的数学方法外显出来，并将流程图、框图等运用于新知识的学习中，前后呼应，连贯一致。
六、专家点评
1将视觉化教学理念贯穿于数学课堂教学之中，发展学生视觉化思考数学的良好习惯
运用列表建立引例的一元二次不等式模型，借助二次函数图象求解一元二次不等式，程序框图（可视为一种思维导图）呈现解决一元二次不等式基本程序以突出解题思路的探索过程等，表格、数学图象、信息技术生成的图象（如思维导图）等常见的视觉化工具交互使用，课堂教学始终渗透视觉化教学思想，这是本次说课的一大亮点。教师如此设计将有助于发展学生运用视觉化思考数学的良好习惯。
2渗透数学文化，发展学生数学建模素养
新世纪数学课程改革实施以来，数学课程标准重视数学应用/建模问题解决教育，数学教材也不遗余力、想方设法设置数学应用/建模问题，高考数学试卷几乎每年都设有数学应用问题（大题），数学期望课程、数学实施课程与数学获得课程一致重视数学应用/建模问题教育，可谓盛世空前，也取得了一定成绩。但毋庸讳言，总体而言，学生的数学应用/建模问题解决能力或素养却不尽如人意，成绩原地踏步，裹足不前。原因何在？一个不容忽视的原因是数学应用/建模问题教学出现了偏差，教学策略和方法缺失，照本宣科、无效教学（不讲或少讲数学应用/建模问题）是常态[1]。就本节课而言，与以往旧的大纲教材直接求解给定的一元二次不等式不同，新的课标教材增加了数学实际应用问题引例——上网费用选择问题（数列求和），起着承上（数列）启下（一元二次不等式）的作用，也为讲解其后的例3刹车距离问题、例4流水线问题奠定基础，同时践行了渗透数学文化、发展数学建模素养的课程理念。遗憾的是，我们常常看到，很多课堂教学实践回避了该引例，认为其费时费力、得不偿失，直接解答[SX（]x[DK]（35-x）[]20[SX）]≥15x立竿见影，省时省力。这样处理，实际上是“穿新鞋走老路”，失去了渗透数学文化、发展学生数学建模素养的良好机会。本次说课教学设计在尊重教材的基础上，借助列表法突破学生的建模难点，展示建模过程，切实贯彻数学教育即数学文化教育的思想，发展学生信息获取、数据分析等数学核心素养，值得提倡。
参考文献：
[1]廖运章，李美珍.实施视觉化教学，发展数学建模素养[J].中小学课堂教学研究，2017（8）：8-13.