论文部分内容阅读
摘要： 通过对新课程标准对圆锥曲线提出的新的教学要求的研究，数形结合思想在圆锥曲线教学中有至关重要作用。本文尝试通过介绍数形结合思想在圆锥曲线的知识教学以及解题教学中的运用，论证数形结合思想在圆锥曲线教学中的重要地位。通过运用数形结合思想帮助中等职业学校艺术类专业的学生解决学习圆锥曲线的困难
关键词： 中等职业学校 艺术类专业 数形结合思想
【中图分类号】G421【文献标识码】B【文章编号】2236-1879（2017）18-0287-02
新课程对在内容上坚持“首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题”的处理问题的数形结合的数学思想方法。相对旧课程明确提出了对数形结合思想的要求。在高考题中圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质是小题的热点，直线与椭圆位置关系是解答题的热点。
一、数形结合思想概述
数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系，也就是说“数”和“形”是数学研究的基本对象。数，准确地刻画事物，具有一般性和严谨性，但抽象；形，直观。数与形是事物的两种表现。数形结合是运用形和数的相互关系来解决数学问题的思想方法。数形结合思想方法可以使学生对研究的数学问题有个感性和理性的全面认识，开拓视野，发展思维，培养和提高分析问题、解决问题的能力。著名数学家华罗庚先生曾说：“数，形结合百般好，隔裂分家万事休”。并风趣教导我们千万不要“得意忘形”。解析几何沟通了数学内数与形，代数与几何等最基本对象之间的联系，几何的概念得以用代数方式表示，几何目标得以用代数方法达到，反过来，代数语言可得到几何解释而变得直观、易懂，数形达到完美结合。
二、数形结合思想在知识教学中的作用
教学案例 椭圆的定义引入
新课标中要求通过丰富的实例引入圆锥曲线，使学生了解圆锥曲线的背景和应用。在传统的“填鸭式”教学过程中，教师往往只重视对于椭圆方程的教学。旧教学过程中，教师直接通过给出椭圆的定义和图形，由定义得到椭圆的方程。旧的教学方式缺少让学生通过“形”的认识。《处理好信息技术与动手操作的关系——美国“椭圆的性质和特点”教学案例》一文中介绍了美国课堂上如何使用信息技术进行课堂教学的。在多媒体教学中，可以看出数形结合思想在课堂中渗透中的作用。教师通过多媒体像学生展示行星运行轨迹如图（1）。亚里士多德认为行星轨迹是圆形，几个世纪后的哥白尼和布拉赫·第比也持此观点。在演示过程中，不要告诉学生不是圆形。在布拉赫时代，行星运行的轨迹方程还没有被发现，当时认为所有的轨道都是圆的，但是没有一个圆完全符合观测数据。直到布拉赫的一个助手——开普勒用椭圆代替圆轨道，椭圆这种二次曲线与所有行星的数据吻合。再给学生展示地球运行轨迹如图（2），的确也是椭圆。通过多媒体让学生从实例中得到椭圆“形”的感性认识，在感性认识的基础上，接着介绍椭圆的定义，用椭圆的定义求出轨迹方程。用“数”阐述出椭圆的本质，达到对椭圆的理性认识。对椭圆是一个怎样的曲线有了一个全面的认识。
相比于旧的教学方式，新课标强调通过丰富的背景来引入圆锥曲线，通过多媒体提供的“形”很好的完成任务。旧的教学方式下，学生学完椭圆知识点往往不知道椭圆有什么价值，与生活找不到联系。美国课堂的教学方式让学生从“形”先体会学习椭圆的价值，紧贴着生活。数与形的认识就是对圆锥曲线的理性和感性认识。“感性认识是理性认识的基础，离开了感性认识，理性认识就会成为无源之水，无本之木”。数形结合让学生对圆锥曲线有了全面的认识，为后面学习圆锥曲线几何性质打好基础。
三、 数形结合思想在解题教学中的作用
1、以形助数。
对一些比较抽象的数学知识和问题，特别是对有些数学问题如能借助图形直观，将这些问题直观化，形象化，不仅有利于问题的解决，而且还能使学生感受、体验创新思维和形象思维的功能，进而训练和培养学生的创新思维和形象思维能力。
例1 解方程x2-4x+5+x2+4x+5=6
分析：这是一个很复杂的无理数的方程求解问题，如果直接求解方程必须将方程两边平方，计算量将会非常大，但是如果我们认真观察分析方程的形式，将x2-4x+5+x2+4x+5进行变形变为（x-2）2+1+（x+2）2+1，这个式子表示类似到平面内两点距离之和，仔细分析式子，如果另y2=1，则（x-2）2+y2+（x+2）2+y2=6，它表示动点P （x，y）到定点（2，0），（-2，0）的距离之和为6。由椭圆的定义它就是椭圆x29+y25=1，这样我们就将解方程的代数问题转化为椭圆曲线图像知识解决。把y2=1代入到x29+y25=1，得到x=±655。经检验x=±655是原方程的根。题中将问题的数量关系式，构造适量关系式的形——圆锥曲线，从而使解题过程趋于简洁，开拓学生的视野，发展了学生的创新思维，培养学生了分析问题和解决问题的能力。如果我们将式子加以变形。变式 1 解方程x2-4x+5-x2+4x+5=1
让学生自己分析题目，可以构造出（x-2）2+1-（x+2）2+1=1，同样另y2=1，则题目变成（x-2）2+y2-（x+2）2+y2=1，它表示的是动点P （x，y）到定点（2，0），（-2，0）的距离之差为1.有双曲线的定义它就是x2-y23=1的右支，将y2=1代入方程，解得x=±233，由于图像表示的是双曲线的右支，所以x=233，经检验x=233是原方程的根。在例1的基础上学生运用数学结合的思想，自己分析问题和解决问题，进一步培养了学生分析问题和解决问题的能力。
2、以数解形。
以数解形就是借助于数的精确性来阐明形的某些属性。对于有些数学问题，如果对于图形画的标准要求较高，如果片面夸大“形”的作用，意图快速运算，往往会使解题陷入困境或导致错误。此时我们就需要借助数的精确性来阐明形的某些属性。圆锥曲线作为高中解析几何核心内容之一，本身就是用代数的方法解决几何问题。通过以数解形的运用，帮助学生培养和提高分析问题和解决问题能力。
例 4若抛物线y2=x2+m与椭圆x22+y2=1有4个不同的交点，则m的取值范围是（ ）。
分析：错解：读完题目，学生很容易想到画出椭圆与抛物线的图形，把抛物线y2=x2+m由y=x2向下移动，分析图形，若有4个交点，必有m-1，若继续下降，当抛物线经过点时，A，B 就是2个切点。把x=±2代入抛物线方程，得m=-2。综上：如有4个交点，则-2 这种直接从图像观察得到结果的做法很多同学都存在，究其原因是因为学生的作图不能很准确，分析问题不够透彻，把“数形结合”片面理解为“用纯粹图形来解决数量关系”，把A，B两点误认为是2个切点。这时我们就要发挥代数的严谨性解决曲线交点这一几何问题。
正解：抛物线y2=x2+m与椭圆x22+y2=1消去x2，得： 2y2+y-m-2=0（1）由于椭圆与抛物线的交点关于y轴对称，所以y轴一侧的交点纵坐标由方程（1）所确定。当2个交点重合时，方程（1）的判别式为零，即1+8（m+2）=0，所以m=-178。因此m的取值范围为-178 文章主要论证数形结合思想在新课程下圆锥曲线知识教学和解题教学中的作用，让读者意识到数形结合思想在圆锥曲线，甚至是整个高中数学的重要作用。教师在教学中注意渗透数形结合思想，学生在学习过程中学会利用数形结合思想解题，提高自己的思维品质和分析问题、解决问题的能力。从而更好帮助中等职业学校艺术类专业的学生解决学习圆锥曲线的困难
参考文献
[1]黄金鹏；浅析解析几何蕴涵的数形结合思想[J] 丹东师专学报2002
[2]齐伟； 处理好信息技术与動手操作的关系——美国“椭圆的性质和特点”教学案例[J] 现代数学2005
[3]陶德麟，王展飞等；马克思主义基本原理概论[M] 高等教育出版社2008
[4]张宏良；浅谈数学教学中的数形结合思想[J] 衡水学院学报2005
关键词： 中等职业学校 艺术类专业 数形结合思想
【中图分类号】G421【文献标识码】B【文章编号】2236-1879（2017）18-0287-02
新课程对在内容上坚持“首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题”的处理问题的数形结合的数学思想方法。相对旧课程明确提出了对数形结合思想的要求。在高考题中圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质是小题的热点，直线与椭圆位置关系是解答题的热点。
一、数形结合思想概述
数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系，也就是说“数”和“形”是数学研究的基本对象。数，准确地刻画事物，具有一般性和严谨性，但抽象；形，直观。数与形是事物的两种表现。数形结合是运用形和数的相互关系来解决数学问题的思想方法。数形结合思想方法可以使学生对研究的数学问题有个感性和理性的全面认识，开拓视野，发展思维，培养和提高分析问题、解决问题的能力。著名数学家华罗庚先生曾说：“数，形结合百般好，隔裂分家万事休”。并风趣教导我们千万不要“得意忘形”。解析几何沟通了数学内数与形，代数与几何等最基本对象之间的联系，几何的概念得以用代数方式表示，几何目标得以用代数方法达到，反过来，代数语言可得到几何解释而变得直观、易懂，数形达到完美结合。
二、数形结合思想在知识教学中的作用
教学案例 椭圆的定义引入
新课标中要求通过丰富的实例引入圆锥曲线，使学生了解圆锥曲线的背景和应用。在传统的“填鸭式”教学过程中，教师往往只重视对于椭圆方程的教学。旧教学过程中，教师直接通过给出椭圆的定义和图形，由定义得到椭圆的方程。旧的教学方式缺少让学生通过“形”的认识。《处理好信息技术与动手操作的关系——美国“椭圆的性质和特点”教学案例》一文中介绍了美国课堂上如何使用信息技术进行课堂教学的。在多媒体教学中，可以看出数形结合思想在课堂中渗透中的作用。教师通过多媒体像学生展示行星运行轨迹如图（1）。亚里士多德认为行星轨迹是圆形，几个世纪后的哥白尼和布拉赫·第比也持此观点。在演示过程中，不要告诉学生不是圆形。在布拉赫时代，行星运行的轨迹方程还没有被发现，当时认为所有的轨道都是圆的，但是没有一个圆完全符合观测数据。直到布拉赫的一个助手——开普勒用椭圆代替圆轨道，椭圆这种二次曲线与所有行星的数据吻合。再给学生展示地球运行轨迹如图（2），的确也是椭圆。通过多媒体让学生从实例中得到椭圆“形”的感性认识，在感性认识的基础上，接着介绍椭圆的定义，用椭圆的定义求出轨迹方程。用“数”阐述出椭圆的本质，达到对椭圆的理性认识。对椭圆是一个怎样的曲线有了一个全面的认识。
相比于旧的教学方式，新课标强调通过丰富的背景来引入圆锥曲线，通过多媒体提供的“形”很好的完成任务。旧的教学方式下，学生学完椭圆知识点往往不知道椭圆有什么价值，与生活找不到联系。美国课堂的教学方式让学生从“形”先体会学习椭圆的价值，紧贴着生活。数与形的认识就是对圆锥曲线的理性和感性认识。“感性认识是理性认识的基础，离开了感性认识，理性认识就会成为无源之水，无本之木”。数形结合让学生对圆锥曲线有了全面的认识，为后面学习圆锥曲线几何性质打好基础。
三、 数形结合思想在解题教学中的作用
1、以形助数。
对一些比较抽象的数学知识和问题，特别是对有些数学问题如能借助图形直观，将这些问题直观化，形象化，不仅有利于问题的解决，而且还能使学生感受、体验创新思维和形象思维的功能，进而训练和培养学生的创新思维和形象思维能力。
例1 解方程x2-4x+5+x2+4x+5=6
分析：这是一个很复杂的无理数的方程求解问题，如果直接求解方程必须将方程两边平方，计算量将会非常大，但是如果我们认真观察分析方程的形式，将x2-4x+5+x2+4x+5进行变形变为（x-2）2+1+（x+2）2+1，这个式子表示类似到平面内两点距离之和，仔细分析式子，如果另y2=1，则（x-2）2+y2+（x+2）2+y2=6，它表示动点P （x，y）到定点（2，0），（-2，0）的距离之和为6。由椭圆的定义它就是椭圆x29+y25=1，这样我们就将解方程的代数问题转化为椭圆曲线图像知识解决。把y2=1代入到x29+y25=1，得到x=±655。经检验x=±655是原方程的根。题中将问题的数量关系式，构造适量关系式的形——圆锥曲线，从而使解题过程趋于简洁，开拓学生的视野，发展了学生的创新思维，培养学生了分析问题和解决问题的能力。如果我们将式子加以变形。变式 1 解方程x2-4x+5-x2+4x+5=1
让学生自己分析题目，可以构造出（x-2）2+1-（x+2）2+1=1，同样另y2=1，则题目变成（x-2）2+y2-（x+2）2+y2=1，它表示的是动点P （x，y）到定点（2，0），（-2，0）的距离之差为1.有双曲线的定义它就是x2-y23=1的右支，将y2=1代入方程，解得x=±233，由于图像表示的是双曲线的右支，所以x=233，经检验x=233是原方程的根。在例1的基础上学生运用数学结合的思想，自己分析问题和解决问题，进一步培养了学生分析问题和解决问题的能力。
2、以数解形。
以数解形就是借助于数的精确性来阐明形的某些属性。对于有些数学问题，如果对于图形画的标准要求较高，如果片面夸大“形”的作用，意图快速运算，往往会使解题陷入困境或导致错误。此时我们就需要借助数的精确性来阐明形的某些属性。圆锥曲线作为高中解析几何核心内容之一，本身就是用代数的方法解决几何问题。通过以数解形的运用，帮助学生培养和提高分析问题和解决问题能力。
例 4若抛物线y2=x2+m与椭圆x22+y2=1有4个不同的交点，则m的取值范围是（ ）。
分析：错解：读完题目，学生很容易想到画出椭圆与抛物线的图形，把抛物线y2=x2+m由y=x2向下移动，分析图形，若有4个交点，必有m-1，若继续下降，当抛物线经过点时，A，B 就是2个切点。把x=±2代入抛物线方程，得m=-2。综上：如有4个交点，则-2
正解：抛物线y2=x2+m与椭圆x22+y2=1消去x2，得： 2y2+y-m-2=0（1）由于椭圆与抛物线的交点关于y轴对称，所以y轴一侧的交点纵坐标由方程（1）所确定。当2个交点重合时，方程（1）的判别式为零，即1+8（m+2）=0，所以m=-178。因此m的取值范围为-178
参考文献
[1]黄金鹏；浅析解析几何蕴涵的数形结合思想[J] 丹东师专学报2002
[2]齐伟； 处理好信息技术与動手操作的关系——美国“椭圆的性质和特点”教学案例[J] 现代数学2005
[3]陶德麟，王展飞等；马克思主义基本原理概论[M] 高等教育出版社2008
[4]张宏良；浅谈数学教学中的数形结合思想[J] 衡水学院学报2005