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【摘要】数学开放题可分为五种不同的层次：第一个层次为“一题多解”；第二个层次为“一题多变”；第三个层次为以跨学科的概念为主题的数学任务；第四个层次为以工业设计为主题、基于学生小组活动的数学任务；第五个层次为以现实主题和角色扮演的方法布置的复杂的数学探索问题。它们适合小学生在日常课堂中、课外兴趣小组以及夏令营中使用。
【关键词】数学教育；开放题；五个层次
【中图分类号】G622.3 【文献标识码】A 【文章编号】1005-6009（2015）05-0019-02
【作者简介】1.安嵩，美国德克萨斯大学教育学院（美国德克萨斯州，79902）助理教授，数学教育哲学博士，博士生导师，《数学教育学报（美国）》总编助理；2.Danile Tillman，美国德克萨斯大学教育学院（美国德克萨斯州，79902）助理教授，教育科技哲学博士，博士生导师。
是否需要向美国等西方国家学习数学教育的方法，是近二十年教育研究者、教师和家长们热烈争论的话题之一。其中关于开放式的教学模式是否适用于中国课堂的讨论尤为激烈：一方面的观点认为，美国创新性人才层出不穷是源于美国提供给了学生足够的开放空间，让学生无拘无束地发挥想象力；另一方面的观点认为，美国基础教育薄弱，相比于在应试体制下成长的中国学生而言，美国学生的数学能力明显不足。
目前，让教师学会摆脱对学生布置那种已经有唯一标准答案的和需要使用常规方法来解决的数学问题，是美国数学课程研究者的重点研究课题之一。虽然教育研究者们反复强调，数学课需要大量引入基于生活的、能够吸引学生积极投入数学思考的问题，但是能够广泛地在各个学校里普遍推广的课程还极其有限。一个优秀的数学教师要具备自己设计和改编每一道题目的能力。
本文将简要介绍我们对开放题的研究成果：数学开放题可分为五种不同的层次，它们适合小学生在日常课堂中、课外兴趣小组以及夏令营中使用，并取得了一定的成果。
第一个层次：“一题多解”
“一题多解”是第一个层次的数学开放题。要解决此层次的数学问题，需要学生在使用非常规思维的情况下，使用高层次的思维来获取并且验证答案。
比如：“请列举出三个数，让三个数之和等于54”，针对这样的开放题，需要学生运用逆向思维的方式和代数的思维方法，在大脑中进行多次猜想和运算，利用三个“未知数”之间的关系去得到一组答案。解决此题，学生不仅可以使用加、减法，还可以使用乘、除法，甚至可以列举方程。在比对不同解题方法和不同答案的同时，可以加深学生对“变量”的理解，为以后学习代数打下坚实的思维基础。
第二个层次：“一题多变”
“一题多变”是第二个层次的数学开放题。要解决此层次的数学问题，需要学生联系多个数学学科概念（包括算术、几何、统计、概率和代数等）。
比如：“请在世界杯决赛阶段找出30项与数学有关的数据，并根据你的数据排列出你心目中的世界杯最佳阵容”，解决此题目，学生需要通过观看世界杯的比赛，阅读每场比赛的数据，并时刻留意与数学相关的细节，从而得到属于自己的答案。解决此类问题时，不仅需要学生同时考虑若干数学概念（包括时间、空间），还需要他们利用其间的联系去组织数学内容从而得出结论。
第三个层次：以跨学科的概念为主题的数学任务
以跨学科的概念为主题的数学任务是数学开放题的第三个层次。要解决此层次的问题，需要学生在不同学科之间寻找联系，在探索数学学科之外的某一个主题（如物理、化学、生物、音乐、美术等）时，利用数学知识获取结果。
比如：“请观察水在植物生长中的作用，并且用实验来验证你的发现”，解决此题，需要学生利用自己所学的生物学知识，来选取某一个植物进行实验。在实验中利用数学测量的方法获取数据，用数学方法分析数据，最后用数学方法来展示数据并报告最终的结论。此层次的数学任务可以提高学生对数学与其他学科之间的联系的认识，有利于学生树立起正确的数学价值观。
第四个层次：以工业设计为主题、基于学生小组活动的数学任务
以工业设计为主题、基于学生小组活动的数学任务是第四层次的数学开放题。解决此层次的问题，学生可以做到寓学于乐，在探索数学的同时又能创造出可以使用的某种产品。
比如：“请用电脑设计出一款新型的厨房用具（比如汤勺），并用3D打印机打印出自己的产品，请计算如何利用最少的材料制作出有最大容积的汤勺”，要解决此题，学生不仅要在这项工业设计中利用各种几何知识（包括未学的），考虑自己设计的产品在生活中的实用性，还需要自己设计计算方法来测量它的容积及其所需要的材料的体积。学生在进行工业设计和制造的过程中可以有机会了解数学所起的作用，通过与班里其他同学的产品进行比较，学生可以知道什么样的设计最好，还可以知道为什么那样的设计比较好。
第五个层次：以现实主题和角色扮演的方法布置的复杂的数学探索问题
以现实主题和角色扮演的方法布置的复杂的数学探索问题是开放题的最高层次。解决此层次的问题，学生需要在共同协商的情况下，通过收集数据、数学计算、图形表达来找到一个最佳的而不是唯一的问题解决方案。
比如：教师可以让学生分组选取并扮演不同的社会角色（如工程师、环保工作者、医生、政治家、商人等），来商讨“如何在确保经济发展的情况下有效地治理首都圈的雾霾问题”。此题目中有诸多变量，且其中的关系并非此消彼长的简单线性关系，扮演不同角色的学生要通过图书馆、互联网、档案室等收集与自己职业相关的数据、文件和资料，并且要在制订自己的预案时兼顾其他职业角色的需求，以统计数据和数学模型为依据，提出一个各方可以共赢的方案。此层次的开放题可以让学生在探索数学、利用数学的同时，为社会实际存在的重大问题找到可能的解决方案，有利于学生树立正确的职业选择和人生理想。
在中小学阶段，我们的教育目的并不是把学生都培养成数学家，而是要培养学生掌握通用的“数学语言”和缜密的思维能力，并为他们以后接受高等教育的专科（特别是理工科类的专业）学习打好基础。
我们眼中的开放，是一种贯穿学校学科的开放和连接学校与生活的开放。成功的开放性数学教学应该基于一些与实际生活紧密相关的活动，比如让学生通过开展工程设计、软件设计、城市规划等活动来探索数学和应用数学。课外的以及非正式的教育，也是学生积累学科和综合知识的另一个重要的渠道，博物馆、天文台、动物园、植物园、体育馆、火车站、超市等都可以成为学生进行自主探索的场所。只有接受、包容和理解学生数学学习过程中遇到的困难，顺应学生的成长需求，才能真正做到数学教育的开放。
高质量的数学教育是需要在数学概念、数学过程以及实际生活间贯通的。数学教师和课程设计者需要解放自己的思想，开放自己的思维，把一些“看似与数学无关”的课题（比如城市交通规划、环境保护、科技创新、国家政治等）作为数学探索的主题。
我们坚信：让学生在解题过程中培养和发展创造力，远比得到一个正确的答案重要得多。当学生可以自觉地把数学作为一种有效地处理生活中的各种问题的“工具”时，我们才能有信心让我们的学生以后在航天工程、生物科技、人工智能、软件开发、建筑设计及其他任何需要数学的领域成为栋梁之才。■
【关键词】数学教育；开放题；五个层次
【中图分类号】G622.3 【文献标识码】A 【文章编号】1005-6009（2015）05-0019-02
【作者简介】1.安嵩，美国德克萨斯大学教育学院（美国德克萨斯州，79902）助理教授，数学教育哲学博士，博士生导师，《数学教育学报（美国）》总编助理；2.Danile Tillman，美国德克萨斯大学教育学院（美国德克萨斯州，79902）助理教授，教育科技哲学博士，博士生导师。
是否需要向美国等西方国家学习数学教育的方法，是近二十年教育研究者、教师和家长们热烈争论的话题之一。其中关于开放式的教学模式是否适用于中国课堂的讨论尤为激烈：一方面的观点认为，美国创新性人才层出不穷是源于美国提供给了学生足够的开放空间，让学生无拘无束地发挥想象力；另一方面的观点认为，美国基础教育薄弱，相比于在应试体制下成长的中国学生而言，美国学生的数学能力明显不足。
目前，让教师学会摆脱对学生布置那种已经有唯一标准答案的和需要使用常规方法来解决的数学问题，是美国数学课程研究者的重点研究课题之一。虽然教育研究者们反复强调，数学课需要大量引入基于生活的、能够吸引学生积极投入数学思考的问题，但是能够广泛地在各个学校里普遍推广的课程还极其有限。一个优秀的数学教师要具备自己设计和改编每一道题目的能力。
本文将简要介绍我们对开放题的研究成果：数学开放题可分为五种不同的层次，它们适合小学生在日常课堂中、课外兴趣小组以及夏令营中使用，并取得了一定的成果。
第一个层次：“一题多解”
“一题多解”是第一个层次的数学开放题。要解决此层次的数学问题，需要学生在使用非常规思维的情况下，使用高层次的思维来获取并且验证答案。
比如：“请列举出三个数，让三个数之和等于54”，针对这样的开放题，需要学生运用逆向思维的方式和代数的思维方法，在大脑中进行多次猜想和运算，利用三个“未知数”之间的关系去得到一组答案。解决此题，学生不仅可以使用加、减法，还可以使用乘、除法，甚至可以列举方程。在比对不同解题方法和不同答案的同时，可以加深学生对“变量”的理解，为以后学习代数打下坚实的思维基础。
第二个层次：“一题多变”
“一题多变”是第二个层次的数学开放题。要解决此层次的数学问题，需要学生联系多个数学学科概念（包括算术、几何、统计、概率和代数等）。
比如：“请在世界杯决赛阶段找出30项与数学有关的数据，并根据你的数据排列出你心目中的世界杯最佳阵容”，解决此题目，学生需要通过观看世界杯的比赛，阅读每场比赛的数据，并时刻留意与数学相关的细节，从而得到属于自己的答案。解决此类问题时，不仅需要学生同时考虑若干数学概念（包括时间、空间），还需要他们利用其间的联系去组织数学内容从而得出结论。
第三个层次：以跨学科的概念为主题的数学任务
以跨学科的概念为主题的数学任务是数学开放题的第三个层次。要解决此层次的问题，需要学生在不同学科之间寻找联系，在探索数学学科之外的某一个主题（如物理、化学、生物、音乐、美术等）时，利用数学知识获取结果。
比如：“请观察水在植物生长中的作用，并且用实验来验证你的发现”，解决此题，需要学生利用自己所学的生物学知识，来选取某一个植物进行实验。在实验中利用数学测量的方法获取数据，用数学方法分析数据，最后用数学方法来展示数据并报告最终的结论。此层次的数学任务可以提高学生对数学与其他学科之间的联系的认识，有利于学生树立起正确的数学价值观。
第四个层次：以工业设计为主题、基于学生小组活动的数学任务
以工业设计为主题、基于学生小组活动的数学任务是第四层次的数学开放题。解决此层次的问题，学生可以做到寓学于乐，在探索数学的同时又能创造出可以使用的某种产品。
比如：“请用电脑设计出一款新型的厨房用具（比如汤勺），并用3D打印机打印出自己的产品，请计算如何利用最少的材料制作出有最大容积的汤勺”，要解决此题，学生不仅要在这项工业设计中利用各种几何知识（包括未学的），考虑自己设计的产品在生活中的实用性，还需要自己设计计算方法来测量它的容积及其所需要的材料的体积。学生在进行工业设计和制造的过程中可以有机会了解数学所起的作用，通过与班里其他同学的产品进行比较，学生可以知道什么样的设计最好，还可以知道为什么那样的设计比较好。
第五个层次：以现实主题和角色扮演的方法布置的复杂的数学探索问题
以现实主题和角色扮演的方法布置的复杂的数学探索问题是开放题的最高层次。解决此层次的问题，学生需要在共同协商的情况下，通过收集数据、数学计算、图形表达来找到一个最佳的而不是唯一的问题解决方案。
比如：教师可以让学生分组选取并扮演不同的社会角色（如工程师、环保工作者、医生、政治家、商人等），来商讨“如何在确保经济发展的情况下有效地治理首都圈的雾霾问题”。此题目中有诸多变量，且其中的关系并非此消彼长的简单线性关系，扮演不同角色的学生要通过图书馆、互联网、档案室等收集与自己职业相关的数据、文件和资料，并且要在制订自己的预案时兼顾其他职业角色的需求，以统计数据和数学模型为依据，提出一个各方可以共赢的方案。此层次的开放题可以让学生在探索数学、利用数学的同时，为社会实际存在的重大问题找到可能的解决方案，有利于学生树立正确的职业选择和人生理想。
在中小学阶段，我们的教育目的并不是把学生都培养成数学家，而是要培养学生掌握通用的“数学语言”和缜密的思维能力，并为他们以后接受高等教育的专科（特别是理工科类的专业）学习打好基础。
我们眼中的开放，是一种贯穿学校学科的开放和连接学校与生活的开放。成功的开放性数学教学应该基于一些与实际生活紧密相关的活动，比如让学生通过开展工程设计、软件设计、城市规划等活动来探索数学和应用数学。课外的以及非正式的教育，也是学生积累学科和综合知识的另一个重要的渠道，博物馆、天文台、动物园、植物园、体育馆、火车站、超市等都可以成为学生进行自主探索的场所。只有接受、包容和理解学生数学学习过程中遇到的困难，顺应学生的成长需求，才能真正做到数学教育的开放。
高质量的数学教育是需要在数学概念、数学过程以及实际生活间贯通的。数学教师和课程设计者需要解放自己的思想，开放自己的思维，把一些“看似与数学无关”的课题（比如城市交通规划、环境保护、科技创新、国家政治等）作为数学探索的主题。
我们坚信：让学生在解题过程中培养和发展创造力，远比得到一个正确的答案重要得多。当学生可以自觉地把数学作为一种有效地处理生活中的各种问题的“工具”时，我们才能有信心让我们的学生以后在航天工程、生物科技、人工智能、软件开发、建筑设计及其他任何需要数学的领域成为栋梁之才。■