论文部分内容阅读
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形，在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用，是一种重要的基本技能．
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．
一、公式法（立方和、立方差公式）
由于因式分解与整式乘法互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：
[a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)]；
[a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)].
运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．
例1用立方和或立方差公式分解多项式：[0.125-27b3].
分析[0.125=0.53,27b3=(3b)3]．
解[0.125-27b3=0.53-(3b)3]
[=(0.5-3b)[0.52+0.5×3b+(3b)2]]
[=(0.5-3b)(0.25+1.5b+9b2)].
点评在运用立方和（差）公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如[8a3b3=(2ab)3]，这里逆用了法则[(ab)n=anbn]．
二、分组分解法
能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如[ma2+mb2+na+nb]既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．
1．分组后能提取公因式
例2把[ab(c2-d2)-(a2-b2)cd]分解因式．
分析按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．
解 [ab(c2-d2)-(a2-b2)cd=abc2-abd2-a2cd+b2cd]
[=(abc2-a2cd)+(b2cd-abd2)]
[=ac(bc-ad)+bd(bc-ad)=(bc-ad)(ac+bd)].
点评分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．
2．分组后能直接运用公式
例3把[2x2+4xy+2y2-8z2]分解因式．
分析先将系数2提出后，得到[x2+2xy+y2-4z2]，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．
解[2x2+4xy+2y2-8z2=2(x2+2xy+y2-4z2)]
[=2[(x+y)2-(2z)2]=2(x+y+2z)(x+y-2z)]
点评如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．
三、十字相乘法
1．[x2+(p+q)x+pq]型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：
（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数之积；
（3）一次项系数是常数项的两个因数之和．
[x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq]
[=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)].
因此，[x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)].运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
例4把下列各式因式分解：
（1）[x2-7x+6]；（2）[x2-2x-15] .
解（1）[∵ 6=(-1)×(-6),(-1)+(-6)=-7],
[∴ x2-7x+6=[x+(-1)][x+(-6)]=(x-1)(x-6).]
（2）[∵ -15=(-5)×3,(-5)+3=-2],
[∴ x2-2x-15=[x+(-5)](x+3)=(x-5)(x+3)].
點评常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．
2．一般二次三项式[ax2+bx+c]型的因式分解
大家知道，[(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+(a1c2+][a2c1)x+c1c2]．反过来，就得到：[a1a2x2+(a1c2+a2c1)x][+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2)].我们发现，二次项系数[a]分解成[a1a2]，常数项[c]分解成[c1c2]，把[a1,a2,c1,c2]写成[a1a2×c1c2]，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到[a1c2+a2c1]，如果它正好等于[ax2+bx+c]的一次项系数[b]，那么[ax2+bx+c]就可以分解成[(a1x+c1)(a2x+c2)]，其中[a1、c1]位于上一行，[a2、c2]位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
注意分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．
例5分解因式：[5x2+6xy-8y2].
解[5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y)] [15×2y-4y]
点评用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法“凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法“凑”，先“凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．
四、其它因式分解的方法
1．配方法
例6分解因式:[x2+6x-16].
解[x2+6x-16=x2+2×x×3+32-32-16]
[=(x+3)2-52=(x+3+5)(x+3-5)]
[=(x+8)(x-2)].
点评这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．
2．拆、添项法
例7分解因式:[x3-3x2+4].
分析此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．但式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．
解[x3-3x2+4=(x3+1)-(3x2-3)]
[=(x+1)(x2-x+1)-3(x+1)(x-1)]
[=(x+1)[(x2-x+1)-3(x-1)]]
[=(x+1)(x2-4x+4)=(x+1)(x-2)2].
点评本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，凑成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将[-3x2]拆成[x2-4y2]，将多项式分成两组[(x3+x2)]和[-4x2+4]．
小结一般，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：
（1）若多项式各项有公因式，先提取公因式；
（2）若各项没有公因式，可以尝试运用公式来分解；
（3）若用上述方法不能分解，可以尝试用分组或其它方法（如十字相乘法）来分解；
（4）分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
[【练习】]
1．分解因式：[x3-4xy2-2x2y+8y3].
2．已知[a+b=23,ab=2]，求代数式[a2b+2a2b2][+ab2]的值．
3．证明：当[n]为大于2的整数时，[n5-5n3+4n]能被120整除．
4．已知[a+b+c=0]，求证：[a3+a2c+b2c-abc][+b3=0]．
[【参考答案】]
1．[(x-2y)2(x+2y)]．
2．[283].
3．提示：[n5-5n3+4n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2).]
4．提示：
[a3+a2c+b2c-abc+b3][=(a2-ab+b2)(a+b+c).]
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．
一、公式法（立方和、立方差公式）
由于因式分解与整式乘法互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：
[a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)]；
[a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)].
运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．
例1用立方和或立方差公式分解多项式：[0.125-27b3].
分析[0.125=0.53,27b3=(3b)3]．
解[0.125-27b3=0.53-(3b)3]
[=(0.5-3b)[0.52+0.5×3b+(3b)2]]
[=(0.5-3b)(0.25+1.5b+9b2)].
点评在运用立方和（差）公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如[8a3b3=(2ab)3]，这里逆用了法则[(ab)n=anbn]．
二、分组分解法
能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如[ma2+mb2+na+nb]既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．
1．分组后能提取公因式
例2把[ab(c2-d2)-(a2-b2)cd]分解因式．
分析按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．
解 [ab(c2-d2)-(a2-b2)cd=abc2-abd2-a2cd+b2cd]
[=(abc2-a2cd)+(b2cd-abd2)]
[=ac(bc-ad)+bd(bc-ad)=(bc-ad)(ac+bd)].
点评分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．
2．分组后能直接运用公式
例3把[2x2+4xy+2y2-8z2]分解因式．
分析先将系数2提出后，得到[x2+2xy+y2-4z2]，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．
解[2x2+4xy+2y2-8z2=2(x2+2xy+y2-4z2)]
[=2[(x+y)2-(2z)2]=2(x+y+2z)(x+y-2z)]
点评如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．
三、十字相乘法
1．[x2+(p+q)x+pq]型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：
（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数之积；
（3）一次项系数是常数项的两个因数之和．
[x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq]
[=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)].
因此，[x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)].运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
例4把下列各式因式分解：
（1）[x2-7x+6]；（2）[x2-2x-15] .
解（1）[∵ 6=(-1)×(-6),(-1)+(-6)=-7],
[∴ x2-7x+6=[x+(-1)][x+(-6)]=(x-1)(x-6).]
（2）[∵ -15=(-5)×3,(-5)+3=-2],
[∴ x2-2x-15=[x+(-5)](x+3)=(x-5)(x+3)].
點评常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．
2．一般二次三项式[ax2+bx+c]型的因式分解
大家知道，[(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+(a1c2+][a2c1)x+c1c2]．反过来，就得到：[a1a2x2+(a1c2+a2c1)x][+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2)].我们发现，二次项系数[a]分解成[a1a2]，常数项[c]分解成[c1c2]，把[a1,a2,c1,c2]写成[a1a2×c1c2]，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到[a1c2+a2c1]，如果它正好等于[ax2+bx+c]的一次项系数[b]，那么[ax2+bx+c]就可以分解成[(a1x+c1)(a2x+c2)]，其中[a1、c1]位于上一行，[a2、c2]位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
注意分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．
例5分解因式：[5x2+6xy-8y2].
解[5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y)] [15×2y-4y]
点评用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法“凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法“凑”，先“凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．
四、其它因式分解的方法
1．配方法
例6分解因式:[x2+6x-16].
解[x2+6x-16=x2+2×x×3+32-32-16]
[=(x+3)2-52=(x+3+5)(x+3-5)]
[=(x+8)(x-2)].
点评这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．
2．拆、添项法
例7分解因式:[x3-3x2+4].
分析此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．但式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．
解[x3-3x2+4=(x3+1)-(3x2-3)]
[=(x+1)(x2-x+1)-3(x+1)(x-1)]
[=(x+1)[(x2-x+1)-3(x-1)]]
[=(x+1)(x2-4x+4)=(x+1)(x-2)2].
点评本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，凑成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将[-3x2]拆成[x2-4y2]，将多项式分成两组[(x3+x2)]和[-4x2+4]．
小结一般，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：
（1）若多项式各项有公因式，先提取公因式；
（2）若各项没有公因式，可以尝试运用公式来分解；
（3）若用上述方法不能分解，可以尝试用分组或其它方法（如十字相乘法）来分解；
（4）分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
[【练习】]
1．分解因式：[x3-4xy2-2x2y+8y3].
2．已知[a+b=23,ab=2]，求代数式[a2b+2a2b2][+ab2]的值．
3．证明：当[n]为大于2的整数时，[n5-5n3+4n]能被120整除．
4．已知[a+b+c=0]，求证：[a3+a2c+b2c-abc][+b3=0]．
[【参考答案】]
1．[(x-2y)2(x+2y)]．
2．[283].
3．提示：[n5-5n3+4n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2).]
4．提示：
[a3+a2c+b2c-abc+b3][=(a2-ab+b2)(a+b+c).]