平时学习中，大家都要做大量的习题，其中不少习题的解法具有多样性，题目本身具有典型性、发展性，对这些问题的图形和条件进行一些变化，就会产生一个个颇具思维含量的考试题.下面对一道有关平行线问题进行多角度求解，并进行变式训练，以发展同学们的思维能力.
　　图1
　　题目：如图1，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，射线BE与CE交于E.
　　求证：BE⊥CE.
　　分析1：由角平分线的定义易得∠ 1、∠2与∠BCD、∠ABC之间的倍分关系，再利用“两直线平行，同旁内角互补”的结论进行整体代换，即可解决问题.
　　解法1：整体转化法
　　因为BE平分∠ABC，
　　所以
　　∠2=12∠ABC
　　（角平分线的定义），
　　同理∠1=12∠BCD，
　　所以∠1+∠2=12（∠BCD+∠ABC）（等式性质）.
　　又AB∥CD，
　　所以∠BCD+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
　　所以∠1+∠2=12×180°=90°（等量代换）.
　　所以∠E=180°-（∠1+∠2）=180°-90°=90°（三角形的内角和等于180°）.
　　即BE⊥CE（垂直的定义）.
　　点评：解法1综合运用的知识点有：角平分线定义、垂直定义、平行线的性质、等式性质、等量代换、三角形内角和等，运用的数学思想方法是整体代换和转化思想.
　　分析2：作平行线把∠E分成两个角，并将这两个角与∠1、∠2联系起来，进行有效转化.
　　图2
　　解法2：分解转化法
　　如图2，过点E作EF∥AB交BC于F，又AB∥CD，
　　所以AB∥EF∥CD（平行线的传递性），
　　所以∠BEF=∠ABE=∠2=12∠ABC （平行线的性质、角平分线的定义）
　　所以∠FEC=∠ECD=∠1=12∠BCD（同上），
　　所以∠BEC=∠BEF+∠FEC=
　　12（∠ABC+∠BCD）（等量代换），
　　又由AB∥CD知∠ABC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补），
　　所以∠BEC=12×180°=90° （等量代换）.
　　即BE⊥CE（垂直的定义）.
　　点评：解法2运用作平行线的方法把∠E分成两个角，并运用平行线的性质和等量代换解题.运用的数学思想方法是分解思想（即化整为零）和转化思想.
　　变式1：在原图基础上，增加另一组同旁内角的平分线.
　　图3
　　例1（2012年安徽中考题）如图3，已知AB∥CD，BE、CE、BF、CF分别是∠ABC、∠BCD、∠NCB、∠MBC的角平分线，BC不与ND垂直，则图中与∠FBE相等的角共有 个.
　　解析：由原命题的解答可知∠E=90
　　°，同理可得：∠F=90°； 又
　　∠FBE=∠FBC+∠CBE=
　　12（∠MBC+∠CBA）=
　　12×180°=90°，
　　同理可得
　　∠FCE=90°.因此∠FBE=∠E=∠F=∠FCE=90°.
　　即与∠FBE相等的角共有3个.
　　变式2：在原图基础上，增添两个相等的角或一组平行线.
　　图4
　　例2（2012年希望杯试题）如图4，∠GEF与∠DFE的角平分线交于点H，AB∥CD，∠B=∠D.
　　求证：EH⊥HF.
　　证明：因为AB∥CD，
　　所以∠A=∠C（两直线平行，内错角相等），
　　又∠B=∠D， 所以∠AEB=∠DFC（三角形内角和），
　　又∠AEB=∠GEF，∠DFC=∠MFE（对顶角相等），
　　所以∠GEF=∠MFE（等量代换），
　　所以EG∥FD（内错角相等，两直线平行），
　　则∠GEF+∠EFD=180° （两直线平行，同旁内角互补），
　　又EH、FH为角平分线，
　　所以∠HEF+∠EFH=12（∠GEF+∠EFD）=
　　12×180°=90°（角平分线的定义），
　　即BE⊥CE（垂直定义）.
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