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摘 要：《二面角、二面角的平面角》这一知识点课标的要求降低了，高考中对这一知识点的考察主要是借助空间直角坐标系来进行的，大多数学教师在讲这一节课的时候重点就放在了面面垂直的判定定理上，对这一概念做了淡化处理。但在2016年新课标1卷的第18题中非常巧妙地把空间的平行关系和二面角的平面角结合在一起，给广大数学教师敲响了警钟——“二面角的平面角”这一概念要认真地设计教学，努力让学生体验这个概念的生成过程，从而正真理解这一概念。
关键词：二面角；二面角的平面角；概念的生成
一、本案例的教学过程
1.引入
教師提问：“开关门”这个动作，我们每天都要做好几遍，大家有没有想过这也是一种空间图形？学生纷纷摇头。
设计意图：引发学生从生活中抽象几何模型，体会数学是从生活中来，又服务于生活的。
教师提问：大家一起观察这几张图片，看它们有什么特点？
教师利用PPT播放下列图片：“墙与门”、“山坡”、“翻开的书”、“经纬度的度量”、“水坝面与水平面”、“卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度”。
设计意图：为下个环节做准备，从具体事物中抽象出模型——硬纸板做的二面角，进而抽象出二面角这个图形。
2.探究1
教师提问：大家一起再一次观察这些图片，结合模型，思考它们有哪些共同特点？学生小组讨论，得出它们的组成部分相同：两个相交平面。
设计意图： 从图形到语言描述，引发思维的冲突。
教师追问：结合平面的无限延展性，这样描述是否妥当？学生讨论得出不妥当。
设计意图：引出“半平面”。
教师追问：两个半平面的公共部分是什么？学生发现是交线。
设计意图：引出二面角的棱，进而得出二面角的定义。
教师板书二面角的定义，并介绍二面角的记法。
设计意图：加深学生对定义的理解。
3.即时训练1
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，有几个二面角？分别指出构成这些二面角的面和棱。
设计意图：现学现用，巩固对定义的理解。
4.探究2
教师提问：即时训练1中每一个二面角的大小的是多少？
学生有些说“不知道”，有些说是90°。
设计意图：引出“任意的二面角该怎样度量”这一问题。
教师提问：我们都学过哪些角？分别怎样度量？
设计意图：复习旧知，得出结论：异面直线所成角和线面角都是转化为平面中的角之后再进行的度量的。引出要想解决二面角的度量问题，就要先想办法把空间中的二面角转化为平面中的角。
教师提问：把一个二面角转化为平面中的角，这个平面中的角，它的顶点在哪里？边又在哪里？学生分小组讨论。一致认为这个角的顶点要在棱上，两边分别在两个面内。
教师追问：从方便性这一角度考虑，这个平面中的角，其顶点和边还要分别满足什么条件？学生小组讨论，得出这个角的顶点可以在棱的任意位置，两条边除了分别在两个半平面内外，还应该都垂直于棱。
设计意图：联系旧知，发现新知，引发思维冲突，进而引出二面角的平面角的定义。
教师板书定义。加深学生对定义的理解。
5.即时训练2
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABC1D1与正方体的各个面所成二面角的大小分别是多少？
学生小组讨论，回答。
设计意图：现学现用，进一步加深学生对定义的理解。
6.例题与练习
例题：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，求二面角D-AC-D1的余弦值。
教师讲解，重申通法“一作图二说明三计算”的解题步骤。
设计意图：联系旧知，通法解决问题。
练习：三棱锥V-ABC中，VA=VB=AC
=BC=2，AB=2，VC=1，试求二面角V-AB-C的大小。
设计意图：在练习中进一步加深对二面角、二面角的平面角这两个概念的理解。
7.小结
学生小组讨论总结。教师补充。
设计意图：培养学生的自主总结的能力。
8.作业（要求画图清晰、过程规范）
（1）基础作业：课本78页复习参考题A组第7题。
（2）拔高作业（2016高考真题改编）：
在以A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°。证明：四边形CDFE是等腰梯形。
设计意图：巩固今日所学。
2016年这道高考真题，总有学生不理解为什么四边形CDFE是等腰梯形，所以我把这个问题添加在这一节的课后作业中。
二、案例分析
（1）本案例试图引导学生通过观察实物模型、PPT图片，认识二面角和二面角的平面角的结构特征，并在这种直观感知的基础上用自然语言描述二面角和二面角的平面角的定义，体会数学语言的严谨性、简洁性，促使学生参与到这两个概念的生成过程中来。
（2）本案例把训练分为两部分，一部分以长方体为载体，在具体的长方体中通过对图形的观察、实验和说理，促进学生巩固二面角及其平面角的定义，培养学生的空间想象能力和使用数学语言表述几何对象位置关系的能力；另一部分以其它几何体为载体，在典型习题的设置中，通过对问题的分析探索，加深学生对二面角及其平面角定义的理解，培养学生运用数学知识分析问题解决问题的能力，并从中体会数学思想与方法。
（3）本案例以问题串为索引，不愤不启不悱不发，激发学生学习的兴趣，引起学生思维的冲突与碰撞，学生在问题中自主地思考、交流、合作、探索，经历了数学概念生成的全过程，在这个过程中培养了空间观念和几何直觉。
三、启发和反思
我认为，本节课在揭示数学概念“二面角及其平面角”的生成过程中，以下几点做的比较好：
（1）把空间几何图形具体化、直观化（可以借助事物模型、多媒体计算机等等）。
学生的空间想象能力不是凭空而来，是需要教师一步步、循序渐进地引导和培养的，所以教师在设计教学的时候就需要降低门槛，从具体的、直观的空间图形出发，抽象出几何模型，总结出几何图形的特点，从而揭示了数学概念“二面角及其平面角”的生成过程。
（2）在数学课堂上多设计一些问题。问题是思维的向导，课堂提问是课堂教学实践的催化剂。问题的设计只要遵从学生认知发展规律，符合学生的学习心理，同时教师又指导有方、鼓励及时，往往能把学生带入一个奇妙的问题世界，在这个世界里学生经历了概念的生成过程，体会了数学思想与方法，学生积极思考问题，主动寻求解决问题的途径和答案，从而培养学生分析问题、解决问题的能力，有效地提高课堂教学效率。
关键词：二面角；二面角的平面角；概念的生成
一、本案例的教学过程
1.引入
教師提问：“开关门”这个动作，我们每天都要做好几遍，大家有没有想过这也是一种空间图形？学生纷纷摇头。
设计意图：引发学生从生活中抽象几何模型，体会数学是从生活中来，又服务于生活的。
教师提问：大家一起观察这几张图片，看它们有什么特点？
教师利用PPT播放下列图片：“墙与门”、“山坡”、“翻开的书”、“经纬度的度量”、“水坝面与水平面”、“卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度”。
设计意图：为下个环节做准备，从具体事物中抽象出模型——硬纸板做的二面角，进而抽象出二面角这个图形。
2.探究1
教师提问：大家一起再一次观察这些图片，结合模型，思考它们有哪些共同特点？学生小组讨论，得出它们的组成部分相同：两个相交平面。
设计意图： 从图形到语言描述，引发思维的冲突。
教师追问：结合平面的无限延展性，这样描述是否妥当？学生讨论得出不妥当。
设计意图：引出“半平面”。
教师追问：两个半平面的公共部分是什么？学生发现是交线。
设计意图：引出二面角的棱，进而得出二面角的定义。
教师板书二面角的定义，并介绍二面角的记法。
设计意图：加深学生对定义的理解。
3.即时训练1
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，有几个二面角？分别指出构成这些二面角的面和棱。
设计意图：现学现用，巩固对定义的理解。
4.探究2
教师提问：即时训练1中每一个二面角的大小的是多少？
学生有些说“不知道”，有些说是90°。
设计意图：引出“任意的二面角该怎样度量”这一问题。
教师提问：我们都学过哪些角？分别怎样度量？
设计意图：复习旧知，得出结论：异面直线所成角和线面角都是转化为平面中的角之后再进行的度量的。引出要想解决二面角的度量问题，就要先想办法把空间中的二面角转化为平面中的角。
教师提问：把一个二面角转化为平面中的角，这个平面中的角，它的顶点在哪里？边又在哪里？学生分小组讨论。一致认为这个角的顶点要在棱上，两边分别在两个面内。
教师追问：从方便性这一角度考虑，这个平面中的角，其顶点和边还要分别满足什么条件？学生小组讨论，得出这个角的顶点可以在棱的任意位置，两条边除了分别在两个半平面内外，还应该都垂直于棱。
设计意图：联系旧知，发现新知，引发思维冲突，进而引出二面角的平面角的定义。
教师板书定义。加深学生对定义的理解。
5.即时训练2
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABC1D1与正方体的各个面所成二面角的大小分别是多少？
学生小组讨论，回答。
设计意图：现学现用，进一步加深学生对定义的理解。
6.例题与练习
例题：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，求二面角D-AC-D1的余弦值。
教师讲解，重申通法“一作图二说明三计算”的解题步骤。
设计意图：联系旧知，通法解决问题。
练习：三棱锥V-ABC中，VA=VB=AC
=BC=2，AB=2，VC=1，试求二面角V-AB-C的大小。
设计意图：在练习中进一步加深对二面角、二面角的平面角这两个概念的理解。
7.小结
学生小组讨论总结。教师补充。
设计意图：培养学生的自主总结的能力。
8.作业（要求画图清晰、过程规范）
（1）基础作业：课本78页复习参考题A组第7题。
（2）拔高作业（2016高考真题改编）：
在以A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°。证明：四边形CDFE是等腰梯形。
设计意图：巩固今日所学。
2016年这道高考真题，总有学生不理解为什么四边形CDFE是等腰梯形，所以我把这个问题添加在这一节的课后作业中。
二、案例分析
（1）本案例试图引导学生通过观察实物模型、PPT图片，认识二面角和二面角的平面角的结构特征，并在这种直观感知的基础上用自然语言描述二面角和二面角的平面角的定义，体会数学语言的严谨性、简洁性，促使学生参与到这两个概念的生成过程中来。
（2）本案例把训练分为两部分，一部分以长方体为载体，在具体的长方体中通过对图形的观察、实验和说理，促进学生巩固二面角及其平面角的定义，培养学生的空间想象能力和使用数学语言表述几何对象位置关系的能力；另一部分以其它几何体为载体，在典型习题的设置中，通过对问题的分析探索，加深学生对二面角及其平面角定义的理解，培养学生运用数学知识分析问题解决问题的能力，并从中体会数学思想与方法。
（3）本案例以问题串为索引，不愤不启不悱不发，激发学生学习的兴趣，引起学生思维的冲突与碰撞，学生在问题中自主地思考、交流、合作、探索，经历了数学概念生成的全过程，在这个过程中培养了空间观念和几何直觉。
三、启发和反思
我认为，本节课在揭示数学概念“二面角及其平面角”的生成过程中，以下几点做的比较好：
（1）把空间几何图形具体化、直观化（可以借助事物模型、多媒体计算机等等）。
学生的空间想象能力不是凭空而来，是需要教师一步步、循序渐进地引导和培养的，所以教师在设计教学的时候就需要降低门槛，从具体的、直观的空间图形出发，抽象出几何模型，总结出几何图形的特点，从而揭示了数学概念“二面角及其平面角”的生成过程。
（2）在数学课堂上多设计一些问题。问题是思维的向导，课堂提问是课堂教学实践的催化剂。问题的设计只要遵从学生认知发展规律，符合学生的学习心理，同时教师又指导有方、鼓励及时，往往能把学生带入一个奇妙的问题世界，在这个世界里学生经历了概念的生成过程，体会了数学思想与方法，学生积极思考问题，主动寻求解决问题的途径和答案，从而培养学生分析问题、解决问题的能力，有效地提高课堂教学效率。