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摘 要：空间思维能力是一种普遍的思维能力，培养学生的空间思维能力是小学数学的教学目标之一。文章作者利用Flash和GeoGebra软件创建的立方体模型，结合实物模型和打印在纸上的平面图，围绕物体空间位置的描述、记忆和旋转等方面进行了教学设计。这些活动对帮助学生建立空间方向感、建立心理图像、提高空间思维能力具有重要的作用。
关键词：三维软件;空间思维能力;教学设计;培养策略
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2021）31-0061-02
在日常生活中，人们需要运用不同的空间思维能力来传输、编码或操纵特定的图形和图像信息，这些技能也被用于建筑、医学、虚拟现实技术等多个领域。在小学数学教学中，培养学生的空间思维能力是教学的目标之一，也是教学的难点之一。在传统的几何教学过程中，教师使用语言描述和模型演示来授课，这要求学生不仅要理解空间物体有关的概念，还要具有视觉信息分析能力，即要求学生能够在头脑中想象出一个心理图像，同时又能以外部的口头语言、文本或模型为中介转换成图像，并能在心里调整和运作它。也就是说，这种教学方法要求教师和学生凭借语言的、文字的、模型的或者混合的方式进行图像沟通，在图像之间进行转换。而这经常由于教师教的图像与学生头脑中的图像不一致，从而影响了学生学习的效果，使其成为教学难点。3D建模技术为空间图像的可视化提供了新的教学途径，利用Flash和GeoGebra应用软件建立模型，并整合到小学数学立方体的教学中，是一种有益的探索。
学界的许多研究都集中在学生三维立体思维的发展上，强调发展学生三维几何思维的重要性。学生的三维可视化能力直接影响他们能否识别三维物体及其属性、表示和比较三维物体，能否计算出三维物体的表面积和体积。发展学生的三维物体的概念化能力是学习几何学和空间的重要组成部分，这对教师的教学能力要求很高。本文研究的重点是探讨教师在书面任务上促进学生三维几何思维发展的策略
一、空间思维能力的含义
空间思维能力是教育心理学研究的一个重要领域。然而，空间思维能力与其他类型的能力不同，学界对空间思维能力一词的含义并没有形成真正的共识。一些人认为空间思维能力是在想象中操纵一个物体或图案的能力，而另一些人则认为空间思维能力涉及对空间呈现信息的复杂的多步骤操作。还有人认为空间思维能力是对空间信息的心理操纵，以确定给定的空间构型在部分构型被旋转、折叠、重新定位或以其他方式转换时会如何出现。空间思维能力及基于心理图像的推理能力的发展都跟几何思维能力的提高有关。空间思维能力被认为是一种基于视觉空间元素的推理，包括心理意象的构建、表征以及必要时的适当转换。这个过程对数学思维发展的贡献程度取决于它是否会导致抽象和泛化。学生的视觉和空间推理解码、编码对确定数学任务信息非常重要。学生通过解码视觉信息来理解任务，然后将其编码成他们自己的心理表征。在三维几何任务中，解码的过程与学生的一些能力有关，包括在不同的表现形式中识别3D形状，专注于它们的组成部分，调查它们的属性，根据不同3D对象的属性建立关系等。另外，编码过程包括学生根据解码结果构建自己的心理表征的能力。
从认知心理学观点出发，空间思维能力的发展分为三个阶段。在第一阶段，学习拓扑技能。拓扑技能主要是二维的，大多数儿童在3～5岁时就已经掌握。有了这些技能，儿童就能识别出一个物体与其他物体之间的亲密关系，该物体在群体中的秩序，以及它在更大的环境中的孤立或封闭。能够拼出拼图的儿童通常会获得这种技能。在发展的第二阶段，儿童会获得投射空间能力。第二个阶段包括将三维物体形象化，并从不同角度感知它们的外观，并感知当它们在空间中旋转或变形，会变成什么样子。大多数人在青少年时期就已经获得了这种能力，因为他们可以从日常生活中熟悉这些东西。如果对象是学生不熟悉的，或者包含了像运动这样的新特征，那么在这个发展阶段，许多高中生甚至大学生在视觉化方面会难以理解这些东西。在视觉化模型发展的第三阶段，人们能够将面积、体积、距离、平移、旋转和反射等概念形象化。在该阶段，人们能够将测量概念和他们的投射技能结合起来。
二、教学材料设计
在认识立方体的教学中，教师和学生关于图像的沟通需要学生能够产生、分析、转换和交流真实物体、模型与几何概念有关的视觉信息。当学生使用图像来解决数学问题时，会涉及心理图像、外部模型和模型位置描述以及模型旋转等多个方面的要素。这些因素影响了学生的空间感知能力。学生要想正确地感知，要能够感知空间物体，识别空间位置和记忆图像等。为此，笔者设计了立方体的实物模型、打印在纸上的立方体以及立方体电脑动画模型。
实物立方体模型使用硬纸板制作，为了使模型更容易辨识，同时提高教学活动的吸引力，笔者在立方体的各个面画上了不同的动物或植物简笔画。这些简笔画对描述立方体的位置具有很重要的作用，它解决了教师和学生在教学活动中描述立方体位置时的模糊性问题。教师和学生可以通过各个面上的图案来确定立方体的位置，且不会在理解上产生偏差。同时，将不同位置和角度的立方体拍照打印到纸上，这样是将立方体典型的位置固定下来，在学习过程中更有利于学生观察。
笔者使用Adobe Flash应用程序创建了一个3D立方体模型，同时在立方体的各个面绘制了与实物立方体模型相同的简笔画。并使3D立方体模型能够三维旋转，即立方体模型可以围绕三个正交轴旋转正负90°。为了清晰地标识旋转的方向，笔者在立方体上設计了六个箭头，指示旋转的方向。箭头同时可以作为按钮，当点击其中一个箭头时，立方体就会进行相应的旋转。笔者还在立方体模型边上设计了一个“返回”按钮，当点击“返回”按钮时，立方体会自动返回到到起始位置。这样，当学生出错时，可以让立方体返回初始位置，重新开始运转。
GeoGebra软件是一个跨平台的动态数学软件，能够为各种类型的数学教学提供支持，集中了几何、代数、统计和微积分等多个领域的辅助教学功能。使用GeoGebra创建立方体模型，在立方体的各个面上装饰与实物模型相同的简笔画，同时使立方体模型可以自由旋转。在模型上同样设计了一个“返回”按钮，单击该按钮，立方体可以自动移到起始位置。为了方便操纵该立方体，笔者对立方体在空间选择上进行了限制。例如，允许立方体围绕Z轴自由旋转，但不允许同时绕X轴和Y轴旋转，以此来降低旋转的复杂性。 三、教学活动设计
提高学生空间思维能力的关键是能将现实中的实体与头脑中的模型联系起来。在教学设计中，教师要帮助学生理解平面、剖面和立方体的旋转，以此作为解决问题的关键。教学活动设计需要围绕三种形式的立方体，并结合不同的表现形式来创建、分析和转换立方体的心理图像，从而培养学生的空间思维能力。
首先，利用实物模型，学会描述空间物体位置。对于小学生来说，对三维空间中的立方体位置进行描述是个难点，因为其需要借助多个面的位置，才能描述清楚立方体的位置。一方面，教师在教学中要先将立方体实物模型摆好位置，并引导学生将看到的相邻面上的简笔画说出来用以描述立方体位置。另一方面，教师要指导学生记忆立方体的位置，根据看到的立方体上的部分图案，说出没有显现出来的各面的图案。教师也可以利用打印在纸上的立方体平面图与实物模型位置进行对比，找出不同，帮助学生认识三维空间中立方体的角度。通过对立方体的位置描述、位置记忆和角度观察，为下一步小学生在头脑中建立三维立体模型打下基础。
其次，利用Flash模型引导学生理解三维模型的旋转。空间方向感是认识立方体的基础，正确表达模型方向是从旋转模型开始的。通过旋转模型让学生学习如何围绕XYZ三个轴中的任何一个进行立方体的旋转，从而形成特定的方向感。教师可以使用实物立方体模型介绍旋转含义以及由此带来的立方体位置变化。然后，介绍用Flash设计的立方体模型，让学生了解屏幕箭头的含义和功能，这样学生就知道如何操作按钮来旋转立方体。教师也可在教学中利用打印在纸上的平面图，引导学生通过操作旋转按钮将立方体调整到相应的位置或者是先旋转Flash模型，然后找出与模型相对应的平面图。通过计算机动态立方体的旋转活动，培养了学生的空间方向感。这样，学生更容易将现实中的立方体与心理图像连接起来，形成动态的空间概念。
最后，为模型移动想象路径，实现心理图像的运动。教师将GeoGebra设计的立方体设置到初始位置，然后从打印纸平面图上找出一个平面图，要求学生想象出立方体模型旋转的两个不同的路径，并写下来。教师再让学生操作GeoGebra设计模型，并按照他们想象的路径来旋转模型，从而判断是否能实现想象的目标。另一種方法是将GeoGebra设计的立方体模型移动到与打印立方体相同的位置。为了做到这一点，学生将电脑中的立方体与打印出来的立方体匹配起来，以便进行比较，并决定它们是否匹配。通过这些活动有助于学生在心里实现对图像的操作，进而提升空间思维能力。因为他们依赖的是想象路线，软件模型的操作只是对想象结果的验证。
四、反思与小结
培养小学生的空间思维能力可以提高他们的数学能力与思维水平。笔者利用Flash和GeoGebra应用程序设计可以旋转的立方体，并结合实物模型、打印在纸上的平面图以及软件模型设计了教学活动。这些活动可以帮助学生描述立方体的位置，记忆、识别空间关系。从心理图像旋转等方面入手，使学生能够生成心理图像并使用可视化技能，从而培养学生空间思维能力。
小学生在识别打印的立方体是否与屏幕立方体匹配时，一般的策略是旋转屏幕上的立方体，试图将其中一个面放置在与打印的立方体一个面相同的位置，并观察其他面是否也匹配。但教师在教学实践中发现Flash立方体比GeoGebra立方体更容易受到学生的欢迎，教学的效果也更好。在旋转GeoGebra立方体时，虽然加上了一定的限制，但学生直接比较GeoGebra多维数模型和打印纸上的立方体，对学生的想象能力和观察能力要求更高。因此，在教学实践中要根据学生的理解情况，运用不同的教学策略。
[参考文献]
[1]苏 敏.小学数学课堂教学中培养空间思维能力之我见[J].数学教学通讯，2021（7）：73-74.
[2]郭金妹.生活化教学在小学生数学空间思维能力培养中的运用策略探究[J].考试周刊，2021（3）：82-83.
[3]朱伯公.培养学生的空间观念[J].小学科学（教师版），2020（9）：12-13.
[4]董玉云.数学空间思维能力提升的策略研究[J].教育界，2020（10）：58-59.
[5]张碧玉.空间思维能力提升数学核心素养[J].教育，2020（21）：73.
作者简介：王 峰（1980— ），男，山东淄博人，一级教师，研究方向：教育信息化。
关键词：三维软件;空间思维能力;教学设计;培养策略
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2021）31-0061-02
在日常生活中，人们需要运用不同的空间思维能力来传输、编码或操纵特定的图形和图像信息，这些技能也被用于建筑、医学、虚拟现实技术等多个领域。在小学数学教学中，培养学生的空间思维能力是教学的目标之一，也是教学的难点之一。在传统的几何教学过程中，教师使用语言描述和模型演示来授课，这要求学生不仅要理解空间物体有关的概念，还要具有视觉信息分析能力，即要求学生能够在头脑中想象出一个心理图像，同时又能以外部的口头语言、文本或模型为中介转换成图像，并能在心里调整和运作它。也就是说，这种教学方法要求教师和学生凭借语言的、文字的、模型的或者混合的方式进行图像沟通，在图像之间进行转换。而这经常由于教师教的图像与学生头脑中的图像不一致，从而影响了学生学习的效果，使其成为教学难点。3D建模技术为空间图像的可视化提供了新的教学途径，利用Flash和GeoGebra应用软件建立模型，并整合到小学数学立方体的教学中，是一种有益的探索。
学界的许多研究都集中在学生三维立体思维的发展上，强调发展学生三维几何思维的重要性。学生的三维可视化能力直接影响他们能否识别三维物体及其属性、表示和比较三维物体，能否计算出三维物体的表面积和体积。发展学生的三维物体的概念化能力是学习几何学和空间的重要组成部分，这对教师的教学能力要求很高。本文研究的重点是探讨教师在书面任务上促进学生三维几何思维发展的策略
一、空间思维能力的含义
空间思维能力是教育心理学研究的一个重要领域。然而，空间思维能力与其他类型的能力不同，学界对空间思维能力一词的含义并没有形成真正的共识。一些人认为空间思维能力是在想象中操纵一个物体或图案的能力，而另一些人则认为空间思维能力涉及对空间呈现信息的复杂的多步骤操作。还有人认为空间思维能力是对空间信息的心理操纵，以确定给定的空间构型在部分构型被旋转、折叠、重新定位或以其他方式转换时会如何出现。空间思维能力及基于心理图像的推理能力的发展都跟几何思维能力的提高有关。空间思维能力被认为是一种基于视觉空间元素的推理，包括心理意象的构建、表征以及必要时的适当转换。这个过程对数学思维发展的贡献程度取决于它是否会导致抽象和泛化。学生的视觉和空间推理解码、编码对确定数学任务信息非常重要。学生通过解码视觉信息来理解任务，然后将其编码成他们自己的心理表征。在三维几何任务中，解码的过程与学生的一些能力有关，包括在不同的表现形式中识别3D形状，专注于它们的组成部分，调查它们的属性，根据不同3D对象的属性建立关系等。另外，编码过程包括学生根据解码结果构建自己的心理表征的能力。
从认知心理学观点出发，空间思维能力的发展分为三个阶段。在第一阶段，学习拓扑技能。拓扑技能主要是二维的，大多数儿童在3～5岁时就已经掌握。有了这些技能，儿童就能识别出一个物体与其他物体之间的亲密关系，该物体在群体中的秩序，以及它在更大的环境中的孤立或封闭。能够拼出拼图的儿童通常会获得这种技能。在发展的第二阶段，儿童会获得投射空间能力。第二个阶段包括将三维物体形象化，并从不同角度感知它们的外观，并感知当它们在空间中旋转或变形，会变成什么样子。大多数人在青少年时期就已经获得了这种能力，因为他们可以从日常生活中熟悉这些东西。如果对象是学生不熟悉的，或者包含了像运动这样的新特征，那么在这个发展阶段，许多高中生甚至大学生在视觉化方面会难以理解这些东西。在视觉化模型发展的第三阶段，人们能够将面积、体积、距离、平移、旋转和反射等概念形象化。在该阶段，人们能够将测量概念和他们的投射技能结合起来。
二、教学材料设计
在认识立方体的教学中，教师和学生关于图像的沟通需要学生能够产生、分析、转换和交流真实物体、模型与几何概念有关的视觉信息。当学生使用图像来解决数学问题时，会涉及心理图像、外部模型和模型位置描述以及模型旋转等多个方面的要素。这些因素影响了学生的空间感知能力。学生要想正确地感知，要能够感知空间物体，识别空间位置和记忆图像等。为此，笔者设计了立方体的实物模型、打印在纸上的立方体以及立方体电脑动画模型。
实物立方体模型使用硬纸板制作，为了使模型更容易辨识，同时提高教学活动的吸引力，笔者在立方体的各个面画上了不同的动物或植物简笔画。这些简笔画对描述立方体的位置具有很重要的作用，它解决了教师和学生在教学活动中描述立方体位置时的模糊性问题。教师和学生可以通过各个面上的图案来确定立方体的位置，且不会在理解上产生偏差。同时，将不同位置和角度的立方体拍照打印到纸上，这样是将立方体典型的位置固定下来，在学习过程中更有利于学生观察。
笔者使用Adobe Flash应用程序创建了一个3D立方体模型，同时在立方体的各个面绘制了与实物立方体模型相同的简笔画。并使3D立方体模型能够三维旋转，即立方体模型可以围绕三个正交轴旋转正负90°。为了清晰地标识旋转的方向，笔者在立方体上設计了六个箭头，指示旋转的方向。箭头同时可以作为按钮，当点击其中一个箭头时，立方体就会进行相应的旋转。笔者还在立方体模型边上设计了一个“返回”按钮，当点击“返回”按钮时，立方体会自动返回到到起始位置。这样，当学生出错时，可以让立方体返回初始位置，重新开始运转。
GeoGebra软件是一个跨平台的动态数学软件，能够为各种类型的数学教学提供支持，集中了几何、代数、统计和微积分等多个领域的辅助教学功能。使用GeoGebra创建立方体模型，在立方体的各个面上装饰与实物模型相同的简笔画，同时使立方体模型可以自由旋转。在模型上同样设计了一个“返回”按钮，单击该按钮，立方体可以自动移到起始位置。为了方便操纵该立方体，笔者对立方体在空间选择上进行了限制。例如，允许立方体围绕Z轴自由旋转，但不允许同时绕X轴和Y轴旋转，以此来降低旋转的复杂性。 三、教学活动设计
提高学生空间思维能力的关键是能将现实中的实体与头脑中的模型联系起来。在教学设计中，教师要帮助学生理解平面、剖面和立方体的旋转，以此作为解决问题的关键。教学活动设计需要围绕三种形式的立方体，并结合不同的表现形式来创建、分析和转换立方体的心理图像，从而培养学生的空间思维能力。
首先，利用实物模型，学会描述空间物体位置。对于小学生来说，对三维空间中的立方体位置进行描述是个难点，因为其需要借助多个面的位置，才能描述清楚立方体的位置。一方面，教师在教学中要先将立方体实物模型摆好位置，并引导学生将看到的相邻面上的简笔画说出来用以描述立方体位置。另一方面，教师要指导学生记忆立方体的位置，根据看到的立方体上的部分图案，说出没有显现出来的各面的图案。教师也可以利用打印在纸上的立方体平面图与实物模型位置进行对比，找出不同，帮助学生认识三维空间中立方体的角度。通过对立方体的位置描述、位置记忆和角度观察，为下一步小学生在头脑中建立三维立体模型打下基础。
其次，利用Flash模型引导学生理解三维模型的旋转。空间方向感是认识立方体的基础，正确表达模型方向是从旋转模型开始的。通过旋转模型让学生学习如何围绕XYZ三个轴中的任何一个进行立方体的旋转，从而形成特定的方向感。教师可以使用实物立方体模型介绍旋转含义以及由此带来的立方体位置变化。然后，介绍用Flash设计的立方体模型，让学生了解屏幕箭头的含义和功能，这样学生就知道如何操作按钮来旋转立方体。教师也可在教学中利用打印在纸上的平面图，引导学生通过操作旋转按钮将立方体调整到相应的位置或者是先旋转Flash模型，然后找出与模型相对应的平面图。通过计算机动态立方体的旋转活动，培养了学生的空间方向感。这样，学生更容易将现实中的立方体与心理图像连接起来，形成动态的空间概念。
最后，为模型移动想象路径，实现心理图像的运动。教师将GeoGebra设计的立方体设置到初始位置，然后从打印纸平面图上找出一个平面图，要求学生想象出立方体模型旋转的两个不同的路径，并写下来。教师再让学生操作GeoGebra设计模型，并按照他们想象的路径来旋转模型，从而判断是否能实现想象的目标。另一種方法是将GeoGebra设计的立方体模型移动到与打印立方体相同的位置。为了做到这一点，学生将电脑中的立方体与打印出来的立方体匹配起来，以便进行比较，并决定它们是否匹配。通过这些活动有助于学生在心里实现对图像的操作，进而提升空间思维能力。因为他们依赖的是想象路线，软件模型的操作只是对想象结果的验证。
四、反思与小结
培养小学生的空间思维能力可以提高他们的数学能力与思维水平。笔者利用Flash和GeoGebra应用程序设计可以旋转的立方体，并结合实物模型、打印在纸上的平面图以及软件模型设计了教学活动。这些活动可以帮助学生描述立方体的位置，记忆、识别空间关系。从心理图像旋转等方面入手，使学生能够生成心理图像并使用可视化技能，从而培养学生空间思维能力。
小学生在识别打印的立方体是否与屏幕立方体匹配时，一般的策略是旋转屏幕上的立方体，试图将其中一个面放置在与打印的立方体一个面相同的位置，并观察其他面是否也匹配。但教师在教学实践中发现Flash立方体比GeoGebra立方体更容易受到学生的欢迎，教学的效果也更好。在旋转GeoGebra立方体时，虽然加上了一定的限制，但学生直接比较GeoGebra多维数模型和打印纸上的立方体，对学生的想象能力和观察能力要求更高。因此，在教学实践中要根据学生的理解情况，运用不同的教学策略。
[参考文献]
[1]苏 敏.小学数学课堂教学中培养空间思维能力之我见[J].数学教学通讯，2021（7）：73-74.
[2]郭金妹.生活化教学在小学生数学空间思维能力培养中的运用策略探究[J].考试周刊，2021（3）：82-83.
[3]朱伯公.培养学生的空间观念[J].小学科学（教师版），2020（9）：12-13.
[4]董玉云.数学空间思维能力提升的策略研究[J].教育界，2020（10）：58-59.
[5]张碧玉.空间思维能力提升数学核心素养[J].教育，2020（21）：73.
作者简介：王 峰（1980— ），男，山东淄博人，一级教师，研究方向：教育信息化。