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摘要： 本文就数学分析习题课的设计从三个侧面进行了分析和设计。
关键词： 数学分析习题课 主题习题课 探究性习题课 讨论式习题课
数学教育本质上是一种素质教育。学习数学的目的，不仅仅在于学到一些数学的概念、公式和结论，更重要的是要了解数学的思想方法和精神实质，真正掌握数学这门学科的精髓。只有这样，所学的数学知识才不至沦为一堆僵死的教条，变得似乎毫无作用，才能做到触类旁通，在现实世界中提出的种种问题面前显示出无穷无尽的威力，终身受用不尽。
要做到这一点单靠教师把课讲好是远远不够的，只有调动学生学习的积极性和主动性，促使他们自觉地接受频繁、充分而又严格的数学训练，才能使他们真正走进数学，获得切身的体会，从而加深对数学的理解。这些数学训练的内容，在大学学习阶段，包括复习、做习题、阅读参考书，相互切磋、参加学术报告及与数学有关的的实验活动等等。其中，在认真复习的基础上做好习题，是和课堂教学联系最直接和紧密的，同时也最利于经常实施和长期坚持的一项重要数学训练。多讲不如多练，对于数学这样一门注重思考的学科，情况更是如此。教师讲课再好，也代替不了学生自己的思考和领悟，只有通过严格的训练，使学生手脑并用，才能启迪心智，推动思维，使认识不断深入。
由于解题在训练数学思维方面极具重要性，开设必要课时的习题课，这对保证和提高教学质量是一个颇有成效的培养方式。关于习题课，许多教师理解为讲解课后练习题。事实上这是一种片面的理解，这种将课后习题由教师包揽的方式，会严重阻碍学生养成积极动脑思考的良好习惯,因为学生在学习了基本概念和理论之后,有部分学生总会惰于思考课后习题或是随便一看不会做就丢到一边，他们总认为教师会给他们讲这些习题，这样就阻碍了学生对知识理解的深入。但是，我们知道如果不通过动手做大量练习题，那么就不能获得解决问题的思想和方法,这样所学知识就变成概念和定理的堆砌而见不到数学分析之灵魂。那么怎样才能提高学生解决问题的能力呢？除了学生自己积极动手动脑做大量习题外,教师对解题思想和方法的引导也是很关键的。这也是学生迫切要求的。因为很多学生尤其是该门课程的初学者都很有体会，读书能读懂、做题不会做，或者知道题目意思却写不出严格的解答与证明。正因如此，上好数学分析课，做好数学习题的分析，努力提高数学分析的质量，具有特别重要的意义。有关设计笔者以为可以考虑以下几个方面：
一、主题习题课
主题习题课可以参考教科书的课后练习题及教材中的例题，对一些方法、技巧比较强的题目加以整理或归纳。作为习题课的选材，课本习题都是经过专家们多次筛选后的精品，我们在习题课的题目选编中，应优先考虑课本中的例题与习题，并且对其进行适当的拓深、演变，编制一题多解、一题多变、一题多用、多题一法的习题，提高学生灵活运用知识的能力，使其源于教材，又不拘泥于教材。另一方面，不能完全变成例题的堆砌,例子要典型，使学生触类旁通。这一类型习题课充分展现了教师提出问题、分析问题和解决问题的全过程。尤其是拿到一道题应该如何下手分析、所使用的方法、技巧是如何想到的、是由哪些理论支持的，等等，这些问题情景的创设与作业难度是分不开的，由于习题课所选例题有作业题的考虑因素，所以要难易适度。
主题习题课要注意问题的层次性。学生首先都是作为具体的、活生生的个体而存在的，我们设计问题时必须明确肯定学生认识活动的个体特殊性，这种特殊性不仅表现在已有知识的差别，也表现在学习的动机等方面，所以设计问题必须有层次性。所谓层次性，指的是问题里面含有各种各样的小问题，有浅、中、难适合各层次学生的需要，从而形成一连串的问题链，浅层次的记忆性问题可供单纯的机械模仿，较深层次的问题可用来掌握和巩固新知识，高层次的问题可供用来引导学生知识的迁移和应用。既要创设舞台让优特生表演，发展其个性，又要重视给后进生提供参与的机会，使其获得成功的喜悦。否则，将会使一大批学生受到“冷落”，丧失学好数学的信心。题目安排可从易到难，形成梯度，虽然起点低，但最后要求较高，符合学生的认知规律，使得后进生不至于“陪坐”，优生也能“吃得饱”，使全体同学都能得到不同程度的提高。
教师一定要注重对学习方法的指导，并且在教学中要恰当控制学生动机激起程度，在讲较简单例题时要尽量使学生集中注意力，使学生尽量紧张一点；而在学习较复杂较困难的课程时，尽量创造轻松自由的课堂气氛，在学生遇到困难或出现问题时要尽量心平气和地慢慢引导，以防学生过度紧张和焦虑。所选例题在分析、讲解思路方法后，教师要诱导和启发学生共同写出严格而完整的解答和证明过程，为后来学生练习和做题的书写作出榜样。这样通过反复多次的严格训练，使学生在做题和书写上规范化，不仅能促进学生的知识、技能的获得，还能端正学生的学习态度和养成良好的习惯。
通过主题习题课的学习，要求学生掌握的理论知识的具体运用和思想方法以及解题技能往往是明确的，要让这些知识和方法技能能够变成学生自己的东西并且运用自如，关键还要靠学生课后多做练习题。只靠课本上的练习题是不够的，教师还要借助参考书籍补充一些练习题，最好能给学生配备一些优秀的书籍，使学生在做题训练中多思考，从而促进学生的学习迁移。
二、探究性习题课
探究性习题课是在一定的知识背景范围内提出问题然后研究性地解决。这类习题课与主题习题课区别不大，但重视学习的过程，启发学生进行自觉的概括；能够发展学生的探究精神，强调引导学生通过自己的积极探索，自行总结解决问题的方法和策略，使学生学会如何学习。一个问题的好坏，不在于它产生的效果一定有多大的实用价值，而在于在该问题实施的过程中是否具有探索性，能否让学生更深入地挖掘问题深处的内涵，能否对问题进行重新思考，从而能够提出新的问题。
数学分析微分中值定理这部分内容的理论知识很有连贯性，四个中值定理可以一气呵成地教给学生，而之后就一定要配套一定课时量的习题课。因为这部分内容的一个教学难点就是用辅助函数解决问题的方法，那么习题课的设计就要以突破这一难点为目的，可以以回顾复习lagrange中值定理的证明（几何方法）为引子，设计几个难度适宜但又有梯度的相关例子，通过对例子的分析探究以及已有lagrange中值定理的证明，最终提升为解决这一类问题的统一方法，即操作性很强的一种方法，这样做既突破了教学中的难点，又教给学生一种可操作的解决一类问题的方法，这样的习题课是很受学生欢迎的。
在探究性习题课过程中，教师要注重通过创设问题情景对学生一步一步地启发、开导，最好让学生自己得出结论，并且要及时检查学生的掌握情况，教师要充分发挥主导作用。
三、讨论式习题课
讨论式习题课是教师或学生在某一方面提出问题，然后讨论这个问题，通过对这个问题的讨论把出现的问题归纳总结再解决，这个过程要充分体现教师的主导作用和学生的主体位置。
教师启发学生进行自觉概括和归纳的最常用方法是鼓励学生主动参与问题的讨论。在讨论时，不仅要鼓励学生主动提出问题，而且要鼓励他们主动解答问题。在讨论初期，学生提出的问题可能不着边际，回答方式也未必完美，那就说明学生对所讨论的原理中包含的概念尚缺乏了解，对所学原理尚缺少一部分起点行为，教师必须在设法补充后，继续讨论。在讨论的过程中，教师应从旁辅导，但不宜代替学生匆匆做出结论。简言之，在概括过程中，教师应充分调动学生的思维,让他们自己去归纳和总结。
比如在关于数列发散问题的证明问题，本来数列收敛“e-d”的定义就不易理解,那么该命题的否定发散就更难理解了。那么这个难点如何突破？关于数列发散的证明，教科书上的例题采用了从数列收敛的定义出发，用对偶法则给出数列{an}发散的定义来证明。这种方法讲解之后，学生可能理解不深刻。之后还学习了判定数列发散的一些方法，这些内容学完之后就可以安排一小节讨论式习题课，针对判定数列发散的方法做一个小结，将以前用发散的定义做的难解题目再次拿出来进行讨论，采用参与式教学。这个过程要注重由教师控制全局，使得结果尽可能全面。通过学生的讨论和整理可以得到五种基本方法，这些方法哪些可以用证明这道题目，证明的严格过程怎样？是否还有其它方法？这些都是讨论的内容。在这个过程中通过讨论和学生的回答问题，既可以达到讨论的目的，又是对学生已有知识掌握情况的一次检验。讨论过程中有些学生可能还会提出用反证法来做，那么顺其自然就让学生自己动手做，这样结果就会更全面。假如学生没有提出该种方法，教师也要启发学生用反证法，因为这种方法很常用，是一些命题在没办法正面解决时的一种好办法。
通过一节讨论式习题课，学生所学的概念更清晰，知识结构也更加完整，更重要的是通过一题多解的训练和学生讨论式的参与使学生分析问题，解决问题的能力提高了，那么难点也就不难了。
四、结语
关于数学分析习题课的设计，以上三种类型在某种意义上没有严格的界限，一次习题课可以多种类型并存。对习题课要引起充分的重视，衡量一堂习题课的教学效率如何，主要看学生学习知识、掌握技能、形成能力和提高认识效果。数学只有契合学生的经验系统才能真正走进学生的心里，数学习题课的实质与精髓就是教师对习题材料的处理上能发挥习题的正常功能，能充分调动学生主体的积极参与，将学生所学的知识“外化”，并通过“外化”这一形式将知识“内化”，也就是建构在原有的知识基础之上。这是一堂习题课成功与否的关键。而学生思维能力和积极动手动脑的习惯的养成也离不开高质量的习题课。教师要不断充电学习，习题课是充分展示教师能力的课，只有多钻研专业知识，多思考、多动手，才能拿出高质量的习题课。广大数学教师应重视习题课的设计，提高习题课的教学质量。
关键词： 数学分析习题课 主题习题课 探究性习题课 讨论式习题课
数学教育本质上是一种素质教育。学习数学的目的，不仅仅在于学到一些数学的概念、公式和结论，更重要的是要了解数学的思想方法和精神实质，真正掌握数学这门学科的精髓。只有这样，所学的数学知识才不至沦为一堆僵死的教条，变得似乎毫无作用，才能做到触类旁通，在现实世界中提出的种种问题面前显示出无穷无尽的威力，终身受用不尽。
要做到这一点单靠教师把课讲好是远远不够的，只有调动学生学习的积极性和主动性，促使他们自觉地接受频繁、充分而又严格的数学训练，才能使他们真正走进数学，获得切身的体会，从而加深对数学的理解。这些数学训练的内容，在大学学习阶段，包括复习、做习题、阅读参考书，相互切磋、参加学术报告及与数学有关的的实验活动等等。其中，在认真复习的基础上做好习题，是和课堂教学联系最直接和紧密的，同时也最利于经常实施和长期坚持的一项重要数学训练。多讲不如多练，对于数学这样一门注重思考的学科，情况更是如此。教师讲课再好，也代替不了学生自己的思考和领悟，只有通过严格的训练，使学生手脑并用，才能启迪心智，推动思维，使认识不断深入。
由于解题在训练数学思维方面极具重要性，开设必要课时的习题课，这对保证和提高教学质量是一个颇有成效的培养方式。关于习题课，许多教师理解为讲解课后练习题。事实上这是一种片面的理解，这种将课后习题由教师包揽的方式，会严重阻碍学生养成积极动脑思考的良好习惯,因为学生在学习了基本概念和理论之后,有部分学生总会惰于思考课后习题或是随便一看不会做就丢到一边，他们总认为教师会给他们讲这些习题，这样就阻碍了学生对知识理解的深入。但是，我们知道如果不通过动手做大量练习题，那么就不能获得解决问题的思想和方法,这样所学知识就变成概念和定理的堆砌而见不到数学分析之灵魂。那么怎样才能提高学生解决问题的能力呢？除了学生自己积极动手动脑做大量习题外,教师对解题思想和方法的引导也是很关键的。这也是学生迫切要求的。因为很多学生尤其是该门课程的初学者都很有体会，读书能读懂、做题不会做，或者知道题目意思却写不出严格的解答与证明。正因如此，上好数学分析课，做好数学习题的分析，努力提高数学分析的质量，具有特别重要的意义。有关设计笔者以为可以考虑以下几个方面：
一、主题习题课
主题习题课可以参考教科书的课后练习题及教材中的例题，对一些方法、技巧比较强的题目加以整理或归纳。作为习题课的选材，课本习题都是经过专家们多次筛选后的精品，我们在习题课的题目选编中，应优先考虑课本中的例题与习题，并且对其进行适当的拓深、演变，编制一题多解、一题多变、一题多用、多题一法的习题，提高学生灵活运用知识的能力，使其源于教材，又不拘泥于教材。另一方面，不能完全变成例题的堆砌,例子要典型，使学生触类旁通。这一类型习题课充分展现了教师提出问题、分析问题和解决问题的全过程。尤其是拿到一道题应该如何下手分析、所使用的方法、技巧是如何想到的、是由哪些理论支持的，等等，这些问题情景的创设与作业难度是分不开的，由于习题课所选例题有作业题的考虑因素，所以要难易适度。
主题习题课要注意问题的层次性。学生首先都是作为具体的、活生生的个体而存在的，我们设计问题时必须明确肯定学生认识活动的个体特殊性，这种特殊性不仅表现在已有知识的差别，也表现在学习的动机等方面，所以设计问题必须有层次性。所谓层次性，指的是问题里面含有各种各样的小问题，有浅、中、难适合各层次学生的需要，从而形成一连串的问题链，浅层次的记忆性问题可供单纯的机械模仿，较深层次的问题可用来掌握和巩固新知识，高层次的问题可供用来引导学生知识的迁移和应用。既要创设舞台让优特生表演，发展其个性，又要重视给后进生提供参与的机会，使其获得成功的喜悦。否则，将会使一大批学生受到“冷落”，丧失学好数学的信心。题目安排可从易到难，形成梯度，虽然起点低，但最后要求较高，符合学生的认知规律，使得后进生不至于“陪坐”，优生也能“吃得饱”，使全体同学都能得到不同程度的提高。
教师一定要注重对学习方法的指导，并且在教学中要恰当控制学生动机激起程度，在讲较简单例题时要尽量使学生集中注意力，使学生尽量紧张一点；而在学习较复杂较困难的课程时，尽量创造轻松自由的课堂气氛，在学生遇到困难或出现问题时要尽量心平气和地慢慢引导，以防学生过度紧张和焦虑。所选例题在分析、讲解思路方法后，教师要诱导和启发学生共同写出严格而完整的解答和证明过程，为后来学生练习和做题的书写作出榜样。这样通过反复多次的严格训练，使学生在做题和书写上规范化，不仅能促进学生的知识、技能的获得，还能端正学生的学习态度和养成良好的习惯。
通过主题习题课的学习，要求学生掌握的理论知识的具体运用和思想方法以及解题技能往往是明确的，要让这些知识和方法技能能够变成学生自己的东西并且运用自如，关键还要靠学生课后多做练习题。只靠课本上的练习题是不够的，教师还要借助参考书籍补充一些练习题，最好能给学生配备一些优秀的书籍，使学生在做题训练中多思考，从而促进学生的学习迁移。
二、探究性习题课
探究性习题课是在一定的知识背景范围内提出问题然后研究性地解决。这类习题课与主题习题课区别不大，但重视学习的过程，启发学生进行自觉的概括；能够发展学生的探究精神，强调引导学生通过自己的积极探索，自行总结解决问题的方法和策略，使学生学会如何学习。一个问题的好坏，不在于它产生的效果一定有多大的实用价值，而在于在该问题实施的过程中是否具有探索性，能否让学生更深入地挖掘问题深处的内涵，能否对问题进行重新思考，从而能够提出新的问题。
数学分析微分中值定理这部分内容的理论知识很有连贯性，四个中值定理可以一气呵成地教给学生，而之后就一定要配套一定课时量的习题课。因为这部分内容的一个教学难点就是用辅助函数解决问题的方法，那么习题课的设计就要以突破这一难点为目的，可以以回顾复习lagrange中值定理的证明（几何方法）为引子，设计几个难度适宜但又有梯度的相关例子，通过对例子的分析探究以及已有lagrange中值定理的证明，最终提升为解决这一类问题的统一方法，即操作性很强的一种方法，这样做既突破了教学中的难点，又教给学生一种可操作的解决一类问题的方法，这样的习题课是很受学生欢迎的。
在探究性习题课过程中，教师要注重通过创设问题情景对学生一步一步地启发、开导，最好让学生自己得出结论，并且要及时检查学生的掌握情况，教师要充分发挥主导作用。
三、讨论式习题课
讨论式习题课是教师或学生在某一方面提出问题，然后讨论这个问题，通过对这个问题的讨论把出现的问题归纳总结再解决，这个过程要充分体现教师的主导作用和学生的主体位置。
教师启发学生进行自觉概括和归纳的最常用方法是鼓励学生主动参与问题的讨论。在讨论时，不仅要鼓励学生主动提出问题，而且要鼓励他们主动解答问题。在讨论初期，学生提出的问题可能不着边际，回答方式也未必完美，那就说明学生对所讨论的原理中包含的概念尚缺乏了解，对所学原理尚缺少一部分起点行为，教师必须在设法补充后，继续讨论。在讨论的过程中，教师应从旁辅导，但不宜代替学生匆匆做出结论。简言之，在概括过程中，教师应充分调动学生的思维,让他们自己去归纳和总结。
比如在关于数列发散问题的证明问题，本来数列收敛“e-d”的定义就不易理解,那么该命题的否定发散就更难理解了。那么这个难点如何突破？关于数列发散的证明，教科书上的例题采用了从数列收敛的定义出发，用对偶法则给出数列{an}发散的定义来证明。这种方法讲解之后，学生可能理解不深刻。之后还学习了判定数列发散的一些方法，这些内容学完之后就可以安排一小节讨论式习题课，针对判定数列发散的方法做一个小结，将以前用发散的定义做的难解题目再次拿出来进行讨论，采用参与式教学。这个过程要注重由教师控制全局，使得结果尽可能全面。通过学生的讨论和整理可以得到五种基本方法，这些方法哪些可以用证明这道题目，证明的严格过程怎样？是否还有其它方法？这些都是讨论的内容。在这个过程中通过讨论和学生的回答问题，既可以达到讨论的目的，又是对学生已有知识掌握情况的一次检验。讨论过程中有些学生可能还会提出用反证法来做，那么顺其自然就让学生自己动手做，这样结果就会更全面。假如学生没有提出该种方法，教师也要启发学生用反证法，因为这种方法很常用，是一些命题在没办法正面解决时的一种好办法。
通过一节讨论式习题课，学生所学的概念更清晰，知识结构也更加完整，更重要的是通过一题多解的训练和学生讨论式的参与使学生分析问题，解决问题的能力提高了，那么难点也就不难了。
四、结语
关于数学分析习题课的设计，以上三种类型在某种意义上没有严格的界限，一次习题课可以多种类型并存。对习题课要引起充分的重视，衡量一堂习题课的教学效率如何，主要看学生学习知识、掌握技能、形成能力和提高认识效果。数学只有契合学生的经验系统才能真正走进学生的心里，数学习题课的实质与精髓就是教师对习题材料的处理上能发挥习题的正常功能，能充分调动学生主体的积极参与，将学生所学的知识“外化”，并通过“外化”这一形式将知识“内化”，也就是建构在原有的知识基础之上。这是一堂习题课成功与否的关键。而学生思维能力和积极动手动脑的习惯的养成也离不开高质量的习题课。教师要不断充电学习，习题课是充分展示教师能力的课，只有多钻研专业知识，多思考、多动手，才能拿出高质量的习题课。广大数学教师应重视习题课的设计，提高习题课的教学质量。