论文部分内容阅读
荷兰著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔及其数学教育思想，一直深深地影响着世界各国的数学教育，尤其是其“数学现实论”“数学化”和“再创造”的思想，为此弗赖登塔尔及其数学教育思想一直倍受各国研究者的关注。进入新世纪，我国新一轮数学课程改革更是处处渗透了弗赖登塔尔数学教育思想，这使得它再次成为我国数学教育研究者注目的焦点之一，本文将在前人研究的基础上，进一步展开对其更深入、更细致的思考与研究。
一、 弗赖登塔尔的数学教育思想
（一）现实的数学
数学源于现实，也必须寓于现实，并且用于现实。这是弗赖登塔尔“现实的数学”的基本出发点。
根据数学发展的历史，无论是数学的概念，还是数学的运算与规则，都是由于现实世界的实际需要而形成，数学不是符号的游戏，而是现实世界中人类经验的总结。数学来源于现实，因而也必须扎根于现实，并且应用于现实。数学如果脱离了那些丰富多彩而又错综复杂的背景材料，就将成为“无源之水，无本之木”。
另一方面，数学是充满了各种关系的科学，通过与不同领域的多种形式的外部联系，不断地充实和丰富着数学的内容；与此同时，由于数学本身内在的联系，形成了自身独特的规律，進而发展成为严谨的形式逻辑演绎体系。
（二）数学化
所谓数学化，是用数学的方法观察世界，分析研究具体现象并加以组织整理，以发现规律，简言之，“数学化即是数学地组织现实世界的过程”。
弗赖登塔尔运用了埃德里安，特雷弗斯关于数学化的理论，将数学化分为水平和垂直的两种成分。比如，从现实中找出数学的特性，用不同的方式将同一个问题形式化或直观化，在不同问题中识别其同构的方面以及将一个现实问题转化为数学问题或已知的数学模型等，都是将同一个问题在水平方向扩展。
而用公式表示出某个关系，证明了一个定律，采用不同的模型或对模型进行加强或调整，以及形成一个新的数学概念或建立起由特殊到一般化的理论等，则是将某一问题垂直地加以深入。
那么我们可以把数学化归纳为：
水平数学化：从“生活”到“符号”的转化过程。
垂直数学化：“水平数学化后的数学化”，从低层数学到高层数学的数学化过程。
在数学化的过程中，两方面的作用错综复杂地纠缠在一起，不能截然分开。
（三）反思
弗赖登塔尔曾为他的数学教育思想体系绘制出一个总体框图。弗赖登塔尔指出：反思是一种重要的数学活动，它是数学活动的核心和动力。数学的发现来自直觉，而分析直觉理解的原因是通向证明的道路。必须教育学生对自己的判断与活动甚至语言表达进行思考并加以证实，以便使他们学会反思，能有意识地了解自身行为后面潜藏的实质，只有这样教育才能真正培养学生的数学能力。
由现实世界直接抽象形成数学概念的过程，称为“概念的数学化”。学生经过对这种概念的反思，随之进行抽象化和形式化的加工，再用之于解决现实世界的问题。经过数学化的深化，可转而形成新的理论工具，以此又可组织更高层次的数学现实，并进而创造出更新的数学概念。经反思可以使数学现实与数学化相互反馈，协调发展，这就是数学理论发展的动力，这也是数学教育所追求的目标。
（四）再创造
弗赖登塔尔指出，一个学科领域的教学论就是指与这个领域相关的教与学的组织过程。而通过数学化过程产生的数学必须由通过教学过程产生的数学教学反映出来，因此，弗赖登塔尔认为数学教学方法的核心是学生的“再创造”。这里理解的创造，是学习过程中的若干步骤，这些步骤的重要性在于再创造的“再”，而“创造”则既包括了内容又包含了形式，既包含了新的发现又包含了组织。
弗赖登塔尔认为：学习数学唯一正确方法是实行“再创造”活动，也就是说，由学生把学习的东西自己实现或创造出来，教师的任务就是为学生的发展、创造提供自由广阔的天地，就在于引导学生探索获得知识、技能的途径和方法，培养学生的创造力。
二、弗赖登塔尔数学教育思想对中国数学教育改革的指导意义
（一）加强对教师变量的研究
在教师培养方面，弗赖登塔尔给出了中小学数学教师培训的最低要求。
1.教师能自信地使用现代数学的基本方法
现在中学数学课程改革更多地强调渗透现代数学思想，如集合与对应思想，概率与统计思想等。这就要求在进行教师培训时，必须结合高等数学具体知识介绍现代数学的基本方法，并结合初等数学内容解释这些方法，以使他们能在将来的数学教学中灵活运用。
2.提供为理解现代数学结构所必需的基础知识
由于各任课教师在授课过程中没有特别强调结构观点，尤其是各学科在数学大结构中的地位，以至于学生学到的知识不可避免地表现为杂块分割的状态。因此，高师院校可以考虑设置综合课程，概览现代数学的整体结构，使学生不仅能理解数学的知识，又能理解关于数学的知识。
3.发展有关如何应用数学的某些性质
许多数学知识来源与物理、化学有着密切的关系，因此弗赖登塔尔认为数学教师应主动在数学知识教学中介绍有关定理、公式在物理、化学中的应用。这就要求数学老师去应用数学知识解决有关的问题。
4.对如何进行数学研究作初步介绍
现代教育理论认为教师不再是单纯的“传道，授业，解惑”的角色，教师还应该是研究者，这里的研究一方面是数学研究，一方面是教学研究。其中数学研究并不单指发现新的数学结论，建立新的数学理论，还包括研究在当时的历史条件下如何得出这些数学知识，如何让学生自己去发现这些知识。
（二）加快新课程标准和新教材体系建设
传统教材注重知识体系的严密，推理过程的严谨，而缺少知识产生的背景知识，弗赖登塔尔称之为“教学法的颠倒”，加以批判。在新课程要求下，中小学数学教材发生重大的变化，一方面给学生创设学习的情境，增加教材的可读性；一方面，不直接给学生展示数学结果，而是产生结论的部分过程（或思路），尽可能让学生自己去发现结论。
一、 弗赖登塔尔的数学教育思想
（一）现实的数学
数学源于现实，也必须寓于现实，并且用于现实。这是弗赖登塔尔“现实的数学”的基本出发点。
根据数学发展的历史，无论是数学的概念，还是数学的运算与规则，都是由于现实世界的实际需要而形成，数学不是符号的游戏，而是现实世界中人类经验的总结。数学来源于现实，因而也必须扎根于现实，并且应用于现实。数学如果脱离了那些丰富多彩而又错综复杂的背景材料，就将成为“无源之水，无本之木”。
另一方面，数学是充满了各种关系的科学，通过与不同领域的多种形式的外部联系，不断地充实和丰富着数学的内容；与此同时，由于数学本身内在的联系，形成了自身独特的规律，進而发展成为严谨的形式逻辑演绎体系。
（二）数学化
所谓数学化，是用数学的方法观察世界，分析研究具体现象并加以组织整理，以发现规律，简言之，“数学化即是数学地组织现实世界的过程”。
弗赖登塔尔运用了埃德里安，特雷弗斯关于数学化的理论，将数学化分为水平和垂直的两种成分。比如，从现实中找出数学的特性，用不同的方式将同一个问题形式化或直观化，在不同问题中识别其同构的方面以及将一个现实问题转化为数学问题或已知的数学模型等，都是将同一个问题在水平方向扩展。
而用公式表示出某个关系，证明了一个定律，采用不同的模型或对模型进行加强或调整，以及形成一个新的数学概念或建立起由特殊到一般化的理论等，则是将某一问题垂直地加以深入。
那么我们可以把数学化归纳为：
水平数学化：从“生活”到“符号”的转化过程。
垂直数学化：“水平数学化后的数学化”，从低层数学到高层数学的数学化过程。
在数学化的过程中，两方面的作用错综复杂地纠缠在一起，不能截然分开。
（三）反思
弗赖登塔尔曾为他的数学教育思想体系绘制出一个总体框图。弗赖登塔尔指出：反思是一种重要的数学活动，它是数学活动的核心和动力。数学的发现来自直觉，而分析直觉理解的原因是通向证明的道路。必须教育学生对自己的判断与活动甚至语言表达进行思考并加以证实，以便使他们学会反思，能有意识地了解自身行为后面潜藏的实质，只有这样教育才能真正培养学生的数学能力。
由现实世界直接抽象形成数学概念的过程，称为“概念的数学化”。学生经过对这种概念的反思，随之进行抽象化和形式化的加工，再用之于解决现实世界的问题。经过数学化的深化，可转而形成新的理论工具，以此又可组织更高层次的数学现实，并进而创造出更新的数学概念。经反思可以使数学现实与数学化相互反馈，协调发展，这就是数学理论发展的动力，这也是数学教育所追求的目标。
（四）再创造
弗赖登塔尔指出，一个学科领域的教学论就是指与这个领域相关的教与学的组织过程。而通过数学化过程产生的数学必须由通过教学过程产生的数学教学反映出来，因此，弗赖登塔尔认为数学教学方法的核心是学生的“再创造”。这里理解的创造，是学习过程中的若干步骤，这些步骤的重要性在于再创造的“再”，而“创造”则既包括了内容又包含了形式，既包含了新的发现又包含了组织。
弗赖登塔尔认为：学习数学唯一正确方法是实行“再创造”活动，也就是说，由学生把学习的东西自己实现或创造出来，教师的任务就是为学生的发展、创造提供自由广阔的天地，就在于引导学生探索获得知识、技能的途径和方法，培养学生的创造力。
二、弗赖登塔尔数学教育思想对中国数学教育改革的指导意义
（一）加强对教师变量的研究
在教师培养方面，弗赖登塔尔给出了中小学数学教师培训的最低要求。
1.教师能自信地使用现代数学的基本方法
现在中学数学课程改革更多地强调渗透现代数学思想，如集合与对应思想，概率与统计思想等。这就要求在进行教师培训时，必须结合高等数学具体知识介绍现代数学的基本方法，并结合初等数学内容解释这些方法，以使他们能在将来的数学教学中灵活运用。
2.提供为理解现代数学结构所必需的基础知识
由于各任课教师在授课过程中没有特别强调结构观点，尤其是各学科在数学大结构中的地位，以至于学生学到的知识不可避免地表现为杂块分割的状态。因此，高师院校可以考虑设置综合课程，概览现代数学的整体结构，使学生不仅能理解数学的知识，又能理解关于数学的知识。
3.发展有关如何应用数学的某些性质
许多数学知识来源与物理、化学有着密切的关系，因此弗赖登塔尔认为数学教师应主动在数学知识教学中介绍有关定理、公式在物理、化学中的应用。这就要求数学老师去应用数学知识解决有关的问题。
4.对如何进行数学研究作初步介绍
现代教育理论认为教师不再是单纯的“传道，授业，解惑”的角色，教师还应该是研究者，这里的研究一方面是数学研究，一方面是教学研究。其中数学研究并不单指发现新的数学结论，建立新的数学理论，还包括研究在当时的历史条件下如何得出这些数学知识，如何让学生自己去发现这些知识。
（二）加快新课程标准和新教材体系建设
传统教材注重知识体系的严密，推理过程的严谨，而缺少知识产生的背景知识，弗赖登塔尔称之为“教学法的颠倒”，加以批判。在新课程要求下，中小学数学教材发生重大的变化，一方面给学生创设学习的情境，增加教材的可读性；一方面，不直接给学生展示数学结果，而是产生结论的部分过程（或思路），尽可能让学生自己去发现结论。