圆锥曲线以其图形优美、方程简洁、性质众多而备受人们喜爱，三类曲线既有共性又有特性，本文通过一道高考题探究这几类曲线的一些相关性质。
　　问题：已知抛物线 的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且 ，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，（1）证： 为定值； （2）设 的面积为S，写出 的表达式，并求S的最小值
　　标答如下：（Ⅰ）由已知条件，得，
　　设 ，由
　　得
　　将（1）式两边平方，并把 代入得： （3）
　　解（2）、（3）式得 ，且有
　　所以抛物线方程为： ，求导得：
　　 过A，B两点的切线方程分别是：
　　解出两切线交点为：
　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知：在 中，
　　又 分别等于A，B到准线 的距离
　　于是：
　　 且当 时S取得最小值4
　　同历年来解几大题相仿，标准答案过于繁长，运算量大，极易出错。在此我给出一种相对简单的解法。
　　解： A、B为抛物线上的两动点，且 ，
　　 AB为抛物线一焦点弦，
　　 过A、B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为C、D
　　如图：则 ， ，设过点A的切线交直线CD于P，联想到抛物线的光学性质：由抛物线的焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴，则 而 ≌ （SAS）
　　 =
　　而BF=BD,BP=BP≌ ,则
　　即BP为抛物线的过点B的切线，故P与M重合
　　此时，FM⊥AB,
　　（Ⅰ）由FM⊥AB， =0
　　（Ⅱ）
　　由于抛物线的焦点弦中通径最短，即
　　此时 恰也取得最小值2，
　　考虑到原题第2问要求写出 表达式，现补充 的一种求法
　　 = =
　　 ，由
　　 不妨设 ＞0，则
　　同标答第1问的前半部分，得 ，代入上式
　　，下同标答
　　第二种解法利用了双曲线的定义和光学性质，绕过了求切线方程和联立方程求交点，大大减少了运算量。但多数考生对课本第124页的阅读材料《圆锥曲线的光学性质及其应用》不够熟悉或不够重视,加上考场上时间紧，很难想到第二种解法。
　　如果对本题的思考到此结束,可太可惜了。仔细品味这道题中蕴涵的几何意义,还可发现以下命题:
　　(1)若AB为抛物线任一焦点弦,则抛物线的过A、B点的两条切线的交点轨迹为抛物线的准线
　　（2）由 ，易知
　　（3）由
　　（4）由 ，易知
　　（5）若DF交BM于E，CF交AM于G，则四边形FEGM为矩形
　　（6）若AB为抛物线任一焦点弦，过F作 交准线于M，则MA，MB与抛物线相切
　　（7）
　　由圆锥曲线间的互变规律，将抛物线改换为椭圆，是否还有相似的结论呢？很自然引出以下的探索：
　　若 为椭圆的左右焦点，AB是过右焦点 的
　　椭圆的一条弦，过A、B两点分别做椭圆的切线
　　设两切线交于M，是否还有 ？
　　① 如图：由椭圆的光学性质，光线 反射后过 ，作 关于直线AM的对称点P，则 ，同理，作 关于直线BM的对称点Q，则 ，故 为线段PQ中点 ，猜想成立。
　　② 由椭圆的光学性质，射线AM，BM分别是 的两条外角平分线，所以点M为 的一个旁心，且点M在 的角平分线上
　　③ 可以证明，M点轨迹为椭圆的右准线。
　　④ 由于椭圆的焦点弦中通径最短，此时 M与准线垂直，即 同时取得最小值。故当AB为椭圆通径时， 最小。
　　⑤ 由以上几个命题，还可以得出以下命题：
　　AB是椭圆的一条焦点弦
　　（ⅰ）若 的内角平分线交准线于M，则AM、 MB与椭圆相切。
　　（ⅱ）过 作AB的垂线，交准线M，则MA，MB与椭圆相切，
　　（ⅲ）过 作AB的垂线，交 于M，则点M的轨迹为椭圆的与 对应的准线。
　　……
　　若将抛物线改换成双曲线呢？
　　⑴ 如图， ， 为双曲线的左右焦点，过 的直线与双曲线交于A、B两点，分别过A，B作双曲线的切线，两线交于M点，则
　　简证：由双曲线的光学性质：由双曲线的一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一焦点，故AM平分 ，BM平分 ，则点M为 的一外心，且 关于直线AM的对称点C在直线AB上， 关于直线BM的对称点D也在直线AB上
　　同理：
　　所以 为线段CD中点，由 , 猜想成立（说明：A、B两点同在右支上亦成立， 证法类似）
　　⑵ 可以证得：点M的轨迹是双曲线的右准线。（与椭圆、双曲线的性质类似）
　　 同对椭圆和抛物线的处理方式类似，还可以得到一些与椭圆抛物线类似的结论，这里就不再赘述了。