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圆锥曲线以其图形优美、方程简洁、性质众多而备受人们喜爱,三类曲线既有共性又有特性,本文通过一道高考题探究这几类曲线的一些相关性质。
问题:已知抛物线 的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且 ,过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M,(1)证: 为定值; (2)设 的面积为S,写出 的表达式,并求S的最小值
标答如下:(Ⅰ)由已知条件,得,
设 ,由
得
将(1)式两边平方,并把 代入得: (3)
解(2)、(3)式得 ,且有
所以抛物线方程为: ,求导得:
过A,B两点的切线方程分别是:
解出两切线交点为:
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:在 中,
又 分别等于A,B到准线 的距离
于是:
且当 时S取得最小值4
同历年来解几大题相仿,标准答案过于繁长,运算量大,极易出错。在此我给出一种相对简单的解法。
解: A、B为抛物线上的两动点,且 ,
AB为抛物线一焦点弦,
过A、B分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为C、D
如图:则 , ,设过点A的切线交直线CD于P,联想到抛物线的光学性质:由抛物线的焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴,则 而 ≌ (SAS)
=
而BF=BD,BP=BP≌ ,则
即BP为抛物线的过点B的切线,故P与M重合
此时,FM⊥AB,
(Ⅰ)由FM⊥AB, =0
(Ⅱ)
由于抛物线的焦点弦中通径最短,即
此时 恰也取得最小值2,
考虑到原题第2问要求写出 表达式,现补充 的一种求法
= =
,由
不妨设 >0,则
同标答第1问的前半部分,得 ,代入上式
,下同标答
第二种解法利用了双曲线的定义和光学性质,绕过了求切线方程和联立方程求交点,大大减少了运算量。但多数考生对课本第124页的阅读材料《圆锥曲线的光学性质及其应用》不够熟悉或不够重视,加上考场上时间紧,很难想到第二种解法。
如果对本题的思考到此结束,可太可惜了。仔细品味这道题中蕴涵的几何意义,还可发现以下命题:
(1)若AB为抛物线任一焦点弦,则抛物线的过A、B点的两条切线的交点轨迹为抛物线的准线
(2)由 ,易知
(3)由
(4)由 ,易知
(5)若DF交BM于E,CF交AM于G,则四边形FEGM为矩形
(6)若AB为抛物线任一焦点弦,过F作 交准线于M,则MA,MB与抛物线相切
(7)
由圆锥曲线间的互变规律,将抛物线改换为椭圆,是否还有相似的结论呢?很自然引出以下的探索:
若 为椭圆的左右焦点,AB是过右焦点 的
椭圆的一条弦,过A、B两点分别做椭圆的切线
设两切线交于M,是否还有 ?
① 如图:由椭圆的光学性质,光线 反射后过 ,作 关于直线AM的对称点P,则 ,同理,作 关于直线BM的对称点Q,则 ,故 为线段PQ中点 ,猜想成立。
② 由椭圆的光学性质,射线AM,BM分别是 的两条外角平分线,所以点M为 的一个旁心,且点M在 的角平分线上
③ 可以证明,M点轨迹为椭圆的右准线。
④ 由于椭圆的焦点弦中通径最短,此时 M与准线垂直,即 同时取得最小值。故当AB为椭圆通径时, 最小。
⑤ 由以上几个命题,还可以得出以下命题:
AB是椭圆的一条焦点弦
(ⅰ)若 的内角平分线交准线于M,则AM、 MB与椭圆相切。
(ⅱ)过 作AB的垂线,交准线M,则MA,MB与椭圆相切,
(ⅲ)过 作AB的垂线,交 于M,则点M的轨迹为椭圆的与 对应的准线。
……
若将抛物线改换成双曲线呢?
⑴ 如图, , 为双曲线的左右焦点,过 的直线与双曲线交于A、B两点,分别过A,B作双曲线的切线,两线交于M点,则
简证:由双曲线的光学性质:由双曲线的一个焦点发出的光线经双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过另一焦点,故AM平分 ,BM平分 ,则点M为 的一外心,且 关于直线AM的对称点C在直线AB上, 关于直线BM的对称点D也在直线AB上
同理:
所以 为线段CD中点,由 , 猜想成立(说明:A、B两点同在右支上亦成立, 证法类似)
⑵ 可以证得:点M的轨迹是双曲线的右准线。(与椭圆、双曲线的性质类似)
同对椭圆和抛物线的处理方式类似,还可以得到一些与椭圆抛物线类似的结论,这里就不再赘述了。
问题:已知抛物线 的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且 ,过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M,(1)证: 为定值; (2)设 的面积为S,写出 的表达式,并求S的最小值
标答如下:(Ⅰ)由已知条件,得,
设 ,由
得
将(1)式两边平方,并把 代入得: (3)
解(2)、(3)式得 ,且有
所以抛物线方程为: ,求导得:
过A,B两点的切线方程分别是:
解出两切线交点为:
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:在 中,
又 分别等于A,B到准线 的距离
于是:
且当 时S取得最小值4
同历年来解几大题相仿,标准答案过于繁长,运算量大,极易出错。在此我给出一种相对简单的解法。
解: A、B为抛物线上的两动点,且 ,
AB为抛物线一焦点弦,
过A、B分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为C、D
如图:则 , ,设过点A的切线交直线CD于P,联想到抛物线的光学性质:由抛物线的焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴,则 而 ≌ (SAS)
=
而BF=BD,BP=BP≌ ,则
即BP为抛物线的过点B的切线,故P与M重合
此时,FM⊥AB,
(Ⅰ)由FM⊥AB, =0
(Ⅱ)
由于抛物线的焦点弦中通径最短,即
此时 恰也取得最小值2,
考虑到原题第2问要求写出 表达式,现补充 的一种求法
= =
,由
不妨设 >0,则
同标答第1问的前半部分,得 ,代入上式
,下同标答
第二种解法利用了双曲线的定义和光学性质,绕过了求切线方程和联立方程求交点,大大减少了运算量。但多数考生对课本第124页的阅读材料《圆锥曲线的光学性质及其应用》不够熟悉或不够重视,加上考场上时间紧,很难想到第二种解法。
如果对本题的思考到此结束,可太可惜了。仔细品味这道题中蕴涵的几何意义,还可发现以下命题:
(1)若AB为抛物线任一焦点弦,则抛物线的过A、B点的两条切线的交点轨迹为抛物线的准线
(2)由 ,易知
(3)由
(4)由 ,易知
(5)若DF交BM于E,CF交AM于G,则四边形FEGM为矩形
(6)若AB为抛物线任一焦点弦,过F作 交准线于M,则MA,MB与抛物线相切
(7)
由圆锥曲线间的互变规律,将抛物线改换为椭圆,是否还有相似的结论呢?很自然引出以下的探索:
若 为椭圆的左右焦点,AB是过右焦点 的
椭圆的一条弦,过A、B两点分别做椭圆的切线
设两切线交于M,是否还有 ?
① 如图:由椭圆的光学性质,光线 反射后过 ,作 关于直线AM的对称点P,则 ,同理,作 关于直线BM的对称点Q,则 ,故 为线段PQ中点 ,猜想成立。
② 由椭圆的光学性质,射线AM,BM分别是 的两条外角平分线,所以点M为 的一个旁心,且点M在 的角平分线上
③ 可以证明,M点轨迹为椭圆的右准线。
④ 由于椭圆的焦点弦中通径最短,此时 M与准线垂直,即 同时取得最小值。故当AB为椭圆通径时, 最小。
⑤ 由以上几个命题,还可以得出以下命题:
AB是椭圆的一条焦点弦
(ⅰ)若 的内角平分线交准线于M,则AM、 MB与椭圆相切。
(ⅱ)过 作AB的垂线,交准线M,则MA,MB与椭圆相切,
(ⅲ)过 作AB的垂线,交 于M,则点M的轨迹为椭圆的与 对应的准线。
……
若将抛物线改换成双曲线呢?
⑴ 如图, , 为双曲线的左右焦点,过 的直线与双曲线交于A、B两点,分别过A,B作双曲线的切线,两线交于M点,则
简证:由双曲线的光学性质:由双曲线的一个焦点发出的光线经双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过另一焦点,故AM平分 ,BM平分 ,则点M为 的一外心,且 关于直线AM的对称点C在直线AB上, 关于直线BM的对称点D也在直线AB上
同理:
所以 为线段CD中点,由 , 猜想成立(说明:A、B两点同在右支上亦成立, 证法类似)
⑵ 可以证得:点M的轨迹是双曲线的右准线。(与椭圆、双曲线的性质类似)
同对椭圆和抛物线的处理方式类似,还可以得到一些与椭圆抛物线类似的结论,这里就不再赘述了。