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圆是初中数学的重要内容之一，它是学习锐角三角函数、相似等后续知识的基础，也是各地中考的必考内容，它所涉及知识点多，内容丰富，形式多样，为帮助同学们复习圆的有关内容，本文将从以下几个方面加以分析，供复习时参考.
[考点1][垂径定理]
例1 （2016·江苏宿迁）如图1，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为________.
【分析】如图2，作CE⊥AB于E，在Rt△BCE中，利用含30度角的直角三角形性质即可求出BE，再根据垂径定理可以求出BD.
解：如图2，作CE⊥AB于E.
∵∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-20°-130°=30°，
在Rt△BCE中，∵∠CEB=90°，∠B=30°，BC=2，∴CE=BC=1，BE=CE=，
∵CE⊥BD，
∴DE=EB，∴BD=2EB=2.
【评注】本题考查了垂径定理和勾股定理，解答这类问题的关键是利用垂径定理构造直角三角形，运用勾股定理求解.
[考点2][圆周角定理]
例2 （2016·江苏南京）如图3，扇形OAB的圆心角为122°，C是上一点，则∠ACB=________°.
【分析】如图4，在☉O上取点D，连接AD，BD，根据圆周角定理求出∠D的度数，由圆内接四边形的性质即可得出结论.
解：如图4所示，在☉O上取点D，连接AD，BD，
∵∠AOB=122°，
∴∠ADB=∠AOB=×122°=61°.
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ACB=180°-61°=119°.
【评注】本题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质，解答这类问题的关键是补全辅助圆，找出已知的角和要求的角之间的转换关系.
[考点3][与圆有关的位置关系]
例3 （2016·江苏连云港）如图5，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）.如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（ ）.
A. 2 C. 【分析】如图6，分别求出与圆心A最近的四个点B、D、E、F的距离，当最近的三个点在圆A内部时，即可求出此时对应的半径r的取值范围.
解：如图6，∵AD=2，AE=AF=，AB=3，∴AB>AE>AD，
∴当 【评注】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理等知识，解题的关键是运用数形结合的思想，依据正确画出的图形来确定取值范围.
例4 （2016·湖南湘西州）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3 cm，AC=4 cm，以点C为圆心，以2.5 cm为半径画圆，则☉C与直线AB的位置关系是（ ）.
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 不能确定
【分析】如图7，过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，再根据直线和圆的位置关系即可得出结论.
解：过C作CD⊥AB于D，如图7所示.
∵在Rt△ABC中，
∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∵△ABC的面积=AC×BC=AB×CD，
∴3×4=5CD，
∴CD=2.4<2.5，
∴以2.5为半径的☉C与直线AB的关系是相交；故应选A.
【评注】判定直线与圆的位置关系，若已知圆的半径，则需求出圆心到直线的距离，比较它们的大小即可.
[考点4][切线的判定和性质]
例5 （2016·四川自贡）如图8，☉O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E.
（1） 求证：∠1=∠BAD；
（2） 求证：BE是☉O的切线.
【分析】（1） 先依据等腰三角形的性质可知∠BAD=∠BDA，然后依据圆周角定理的推论可得∠1=∠BDA，问题即可获证；（2） 如图9，连接BO，依据平行线的判定（即∠CBO ∠BCD=180°）推出OB∥DE，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可获证.
证明：（1） ∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD，
∵∠1=∠BDA，∴∠1=∠BAD；
（2） 连接BO，∵∠ABC=90°，
又∵∠BAD ∠BCD=180°，∠1=∠BAD，
∴∠1 ∠BCD=180°，
∵OB=OC，∴∠1=∠CBO，
∴∠CBO ∠BCD=180°，∴OB∥DE，
∵BE⊥DE，∴EB⊥OB，
∵OB是☉O的半径，
∴BE是☉O的切线.
【评注】本题考查了圆的性质及切线的判定，判别直线是圆的切线有两种方法：如果直线与圆有交点，则连接交点与圆心，证明半径垂直于直线即可；如果不能确定直线与圆有交点，则过圆心作直线的垂线段，证垂线段等于圆的半径即可.
[考点5][正多边形与圆]
例6 （2016·江苏南京）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ）.
A. 1 B.
C. 2 D. 2
【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可.
解：如图10，连接OA、OB、OG.
∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴OG=OA·sin60°=2×=，
∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为.故应选B.
例7 （2016·江苏泰州）如图11，☉O的半径为2，点A、C在☉O上，线段BD经过圆心O，∠ABD=∠CDB=90°，AB=1，CD=，则图中阴影部分的面积为________.
【分析】通过解直角三角形可求出∠AOB=30°，∠COD=60°，从而可求出∠AOC=150°，再通过证三角形全等找出S阴影=S扇形OAC，代入扇形的面积公式即可得出结论.
解：在Rt△ABO中，∠ABO=90°，OA=2，AB=1，∴OB==，sin∠AOB==，∴∠AOB=30°.
同理，可得出：OD=1，∠COD=60°.
∴∠AOC=∠AOB （180°-∠COD）=30° 180°-60°=150°.
在△AOB和△OCD中，AO=OC，AB=OD，BO=DC，∴△AOB≌△OCD（SSS）. ∴S阴影=S扇形OAC.
∴S扇形OAC=πR2=π×22=π.
【评注】本题考查了全等三角形的判定、解直角三角形以及扇形的面积公式.求阴影部分面积往往需要将图形进行割补，利用方便计算的图形的面积的和或者差来进行计算.
（作者单位：江西省赣县江口中学）
[考点1][垂径定理]
例1 （2016·江苏宿迁）如图1，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为________.
【分析】如图2，作CE⊥AB于E，在Rt△BCE中，利用含30度角的直角三角形性质即可求出BE，再根据垂径定理可以求出BD.
解：如图2，作CE⊥AB于E.
∵∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-20°-130°=30°，
在Rt△BCE中，∵∠CEB=90°，∠B=30°，BC=2，∴CE=BC=1，BE=CE=，
∵CE⊥BD，
∴DE=EB，∴BD=2EB=2.
【评注】本题考查了垂径定理和勾股定理，解答这类问题的关键是利用垂径定理构造直角三角形，运用勾股定理求解.
[考点2][圆周角定理]
例2 （2016·江苏南京）如图3，扇形OAB的圆心角为122°，C是上一点，则∠ACB=________°.
【分析】如图4，在☉O上取点D，连接AD，BD，根据圆周角定理求出∠D的度数，由圆内接四边形的性质即可得出结论.
解：如图4所示，在☉O上取点D，连接AD，BD，
∵∠AOB=122°，
∴∠ADB=∠AOB=×122°=61°.
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ACB=180°-61°=119°.
【评注】本题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质，解答这类问题的关键是补全辅助圆，找出已知的角和要求的角之间的转换关系.
[考点3][与圆有关的位置关系]
例3 （2016·江苏连云港）如图5，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）.如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（ ）.
A. 2
解：如图6，∵AD=2，AE=AF=，AB=3，∴AB>AE>AD，
∴当
例4 （2016·湖南湘西州）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3 cm，AC=4 cm，以点C为圆心，以2.5 cm为半径画圆，则☉C与直线AB的位置关系是（ ）.
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 不能确定
【分析】如图7，过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，再根据直线和圆的位置关系即可得出结论.
解：过C作CD⊥AB于D，如图7所示.
∵在Rt△ABC中，
∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∵△ABC的面积=AC×BC=AB×CD，
∴3×4=5CD，
∴CD=2.4<2.5，
∴以2.5为半径的☉C与直线AB的关系是相交；故应选A.
【评注】判定直线与圆的位置关系，若已知圆的半径，则需求出圆心到直线的距离，比较它们的大小即可.
[考点4][切线的判定和性质]
例5 （2016·四川自贡）如图8，☉O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E.
（1） 求证：∠1=∠BAD；
（2） 求证：BE是☉O的切线.
【分析】（1） 先依据等腰三角形的性质可知∠BAD=∠BDA，然后依据圆周角定理的推论可得∠1=∠BDA，问题即可获证；（2） 如图9，连接BO，依据平行线的判定（即∠CBO ∠BCD=180°）推出OB∥DE，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可获证.
证明：（1） ∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD，
∵∠1=∠BDA，∴∠1=∠BAD；
（2） 连接BO，∵∠ABC=90°，
又∵∠BAD ∠BCD=180°，∠1=∠BAD，
∴∠1 ∠BCD=180°，
∵OB=OC，∴∠1=∠CBO，
∴∠CBO ∠BCD=180°，∴OB∥DE，
∵BE⊥DE，∴EB⊥OB，
∵OB是☉O的半径，
∴BE是☉O的切线.
【评注】本题考查了圆的性质及切线的判定，判别直线是圆的切线有两种方法：如果直线与圆有交点，则连接交点与圆心，证明半径垂直于直线即可；如果不能确定直线与圆有交点，则过圆心作直线的垂线段，证垂线段等于圆的半径即可.
[考点5][正多边形与圆]
例6 （2016·江苏南京）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ）.
A. 1 B.
C. 2 D. 2
【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可.
解：如图10，连接OA、OB、OG.
∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴OG=OA·sin60°=2×=，
∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为.故应选B.
例7 （2016·江苏泰州）如图11，☉O的半径为2，点A、C在☉O上，线段BD经过圆心O，∠ABD=∠CDB=90°，AB=1，CD=，则图中阴影部分的面积为________.
【分析】通过解直角三角形可求出∠AOB=30°，∠COD=60°，从而可求出∠AOC=150°，再通过证三角形全等找出S阴影=S扇形OAC，代入扇形的面积公式即可得出结论.
解：在Rt△ABO中，∠ABO=90°，OA=2，AB=1，∴OB==，sin∠AOB==，∴∠AOB=30°.
同理，可得出：OD=1，∠COD=60°.
∴∠AOC=∠AOB （180°-∠COD）=30° 180°-60°=150°.
在△AOB和△OCD中，AO=OC，AB=OD，BO=DC，∴△AOB≌△OCD（SSS）. ∴S阴影=S扇形OAC.
∴S扇形OAC=πR2=π×22=π.
【评注】本题考查了全等三角形的判定、解直角三角形以及扇形的面积公式.求阴影部分面积往往需要将图形进行割补，利用方便计算的图形的面积的和或者差来进行计算.
（作者单位：江西省赣县江口中学）