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<正>如果△ABC是等腰三角形,那么存在①AB=AC,②BA=BC,③CA=CB三种情况.从画图角度看分两种情况:①已知腰长画等腰三角形借助圆规画圆;②已知底边画等腰三角形借助三线合一的性质.解等腰三角形的存在性问题,可以从几何的角度来思考,也可以用代数的方法硬算出来.用几何法需要分类、画图探索,稍有不慎会漏解;用代数法,也需要分类,根据勾股如下:当点D在线段BC上时,如图3,此时(1)在正方形ACDE中,∠FGD是钝角,只有GF=GD;DE=AE=AC=12,DG=GE=6;当点D在线段BC的延长线上,且直线在RtAEG中,AB,CE的交点在AE上方时,如图4,此时AG=AE2槡+EG2=6槡5.∠FGD是钝角,只有GF=GD;∵EG∥AC,%A E F∴ACF∽GEF,G F FG EG A∴=,G E AFACFG61C DB DCB∴==,AF122图3图41∴FG=AG=23槡5.%A G E(2)如图2,正方形ACDE中,AE=ED,F∠AEF=∠DEF=45°.H D A CB%E A E B H1F D CFG G3图5图62当点D在线段BC的延长线上,且直线C D B AB,EC的交点在BD下方时,如图5,此时图2∠GDF是钝角,只有DF=DG;∵EF=EF,∴AEF≌DEF,当点D在线段CB的延长线上时,如图6,∴∠1=∠2,设∠1=∠2=x.此时∠FDG是钝角,只有DF=DG.∵AE∥BC,∴∠B=∠1=x;对上述情况分别求解即可解决问题.∵GF=GD,∴∠3=∠2=x.解法1在直角ABC中,AB=15.在DBF中,∠3+∠FDB+∠B=180°,当点D在线段BC上时,如图2,此时∴x+(x+90°)+x=180°,x=30°,∠FGD是钝角,只有GF=GD.∴∠B=30°,∵DG∥AC,∴BDG∽BCA,∴在RtABC中,AC设BD=3x,则DG=4x,BG=5x,BC==12tan 30°槡3.∴GF=GD=4x,则AF=15-9x.难点突破∵AE∥CB,∴AEF∽BCF,第(2)问,寻找等腰三角形是本文的重AE AF∴=,9-3x15∴=,点.题目提供的图形是线段型,但不要误认为BCBF9-9x本题就是确定型,其实本题是一道标准的纯整理,得x2-6x+5=0,几何动态型问题,我们可以从题目条件中的解得x=1或5(舍),三个关键词"直线"中感觉到,题目条件"点D∴腰长GD=4x=4.在直线CB上"、"直线AB与直线CE,DE的交当点D在线段BC的延长线上,且直线点分别为F,G".三个关键词"直线"提醒我们AB,CE的交点在AE上方时,如图4,此时必须重新构图.∠FGD是钝角,只有GF=GD.设AE=3x,则从几何性质入手思考,分四种情形:EG=4x,AG=5x,∴FG=DG=12+4x.∵AE∥BC,∴AEF∽BCF,12解得x=槡1412或-槡14(舍).AE AF77∴=,3x9x+12∴=,BCBF99x+27-84+48解得∴x=2或-2(舍弃),∴腰长DG=4x腰长DG=4x-12=槡14.7+12=20.综上所述,等腰DFG的腰长为4或20当点D在线段BC的延长线上,且直线84+484-84+48或槡1或槡14.AB,EC的交点在BD下方时,如图5,此时77∠FDG是钝角,只有DF=DG,过点D作DH点评上面是几何法的解题过程,我们⊥FG.可以看到,根据要求,画出不同情况下的图形设AE=3x,则EG=4x,AG=5x,是解题的关键,它可以帮助我们快速找到目DG=4x+12,标,但如何画出草图是难点,稍不留神,就会∴FH=GH=DG·cos∠DGB遗漏某种可能情况.16x+48=(4x+12) 4×=,解法2考虑到题目条件中有矩形,就有55直角,而且要求线段长度,我们可以在题图上32x+96∴GF=2GH=,以点C为原点,建立直角坐标系,如图7,一图5定乾坤.7x+96∴AF=GF-AG=.%5y A E∵AC∥DG,∴ACF∽GEF,F7x+96G AC AF5∴=,12∴=,EGFG4x32x+965C D B x12412解得x=槡1或-槡14(舍),∴腰图777由题目条件得:A(0,12),B(9,0),则直线84+48长GD=4x+12=槡14.47AB:y=-x+12.3当点D在线段CB的延长线上时,如图6,设D(m,0),此时∠FDG是钝角,只有DF=DG.则G(m,4-m+12),E(m,12),作DH⊥AG于H.设AE=3x,3则EG=4x,AG=5x,DG=4x-12.直线CE:12y=x.∴FH=GH=DG·cos∠DGB m4直线AB与直线CE联立方程组:=(4x-12)16x-48×=,5532x-96∴FG=2FH=,596-7x{4y=-x+12,312y=x,m∴AF=AG-FG=.5∵AC∥EG,∴ACF∽GEF,96-7x AC AF5{9m x=,9+m解得108y=,9+m∴=,12∴=,EGFG4x32x-96所以交点5(9m108F,-9+m9+m).4根据勾股定理,有DG2=(-m+12)2,3(2即5m27+3m)236-4m=(3)2,925m2DF2=(m(m-)2108+所以9+m(9+m)36-4m=,27+3m3m2=(9+m)2(108+9+m)236-4m m=6或m=6,5m2;或=-,27+3m321084GF29m=(m-++m-9+m)(129+m3)2无解.4当m=6时,m22=(9+m)24m2+(27+3m)-m+12=4,3G(6,4),所以DG=4;m2=(9+m)2(4m2+27+3m)2.当m=6时,4-m+12=20,3(1)若DG=DF,则G(-6,20),所以DG=20.(4108-m+12+3)2m2=(9+m)2(9+m)2,(3)若FG=FD,则(m224m2+9+m)(27+3m)2即7m4-2592m2=0,解得m=0,36m=槡14(m2=9+m)21082+,79+m即(4m22.27+3m)236或m=-槡14108.=7(9+m)当m=0时,G为原点,不符合;4m2108所以=,27+3m9+m36当m=槡14时,7m=9或m=-9(增根),4m2108448-m+12=-槡14或=-,无解.+12,27+3m9+m37G (36-槡14,48槡14+1277)当m=9时,则D(9,0),G(9,0),不存在.,综上所述,等腰DFG的腰长为4或2084+48或槡14-84+48或槡1484+48所以DG=槡14;.777点评题目条件中出现了三处点在"直36当m=-槡14时,线"7上,这暗示我们点处于几个不同的位置,需要分类讨论.几何解法需要先估算大致位448-m+12=槡14+12,37置,画出草图,然后根据不同的图形,从中直G (364-槡1,48槡14+1277)观提取有效的解题信息,不能画出草图,则不,能解决问题,漏画某个位置的图形则会漏解;代数法则有效的避开了"画出不同位置的图84+48所以DG=槡14.7形"这个高难度动作,它根据固定的套路,通(2)若GF=GD,则过计算、解方程等得到结果,从而确定了具体(m29+m)24m2+(27+3m)2的位置,但是计算量比较大,需要细心加耐心,没有较高的运算能力、较高的意志品质是4=(-m+123)2,难以完成的.