论文部分内容阅读
一
无疑,从不同角度看,数学具有多重身份和角色:数学是一门工具、是一种语言、是一门科学、是一种文化……事实上,在过去的时间里,我们已经有意或无意地践行着作为工具的数学、作为语言的数学、作为思维模式的数学,等等。本文试图转变视角,从文化的视角重新观照并确认数学的本质,尝试在实践层面上给出一些肤浅的、更接近数学本意的表达。
从作为工具、语言、思维模式的数学,转而走向作为文化的数学,视角转换的背后折射出的是认识和理解的差异。所谓认识决定行动。因而,本文愿意首先对什么是“文化”,数学是否“作为一种文化”作一些简单探讨与说明。
二
2001年颁布的数学课程标准明确指出:数学是人类的一种文化,它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。无疑,这一论述让我们对数学有了重新思考的可能,也给我们的数学教学实践提出了新的课题。随之而来的关于“数学文化”的热烈、持续的探讨,恰是一种必然的呼应。然而,令人遗憾的是,课程标准并没有对文化乃至数学文化给出明确的界定。并且,理论的缺席已经给实践带来消极影响,澄清认识似乎已成当务之急。否则,实践上必难有深入的跟进。
“文化”是我们十分熟悉而其内涵又颇为丰富、复杂的一个科学概念。在我国古代典籍中,“文化”指“文治教化”“礼乐典章制度”等,前者用作动词,后者为名词。现代意义上的“文化”,是由西方引进的。对于“什么是文化”这一问题,叶志良先生在《大众文化》中的如下表述极具代表性:“每个试图对文化作出界定的人,都可以在自己的学科视野、知识背景、学术立场、社会环境等基础上,对文化的定义提出自己的见解。20世纪60年代,著名文化学家阿尔弗雷德·克洛依伯克莱德·克勒克荷恩在《文化:概念和定义述评》中曾经列出160余种文化定义。”上述论断足以说明,文化正像钱钟书先生所讲的“你不说我还清楚,你越说我越糊涂”的那类概念。
尽管如此,如下对文化的广义定义,依然在国内得到了多数人的认同。“所谓文化,是指人类社会历史实践过程中所创造的物质财富和精神财富的总和。”撇开其中物质层面的文化不谈,与此相关的另一有关文化的定义,同样得到大众的广泛认可。即“所谓文化,是指一定社会群体创造、习得且共有的一切观念和行为”。
回到数学问题上来。数学“是人类社会历史实践过程中所创造的物质或精神财富”吗?进而,数学可以看作是“一定社会群体创造、习得且共有的观念和行为”吗?答案无疑是肯定的。至此,数学“作为一种文化”的身份得以确立:数学的确是一种文化。进而,为了区别于其他文化,我们把数学这一文化类别称作数学文化。这就是数学文化的由来。
明确了什么是文化,随之而来的问题是,与其他文化分支相比,数学文化的独特性及价值表现在哪儿?换言之,什么是数学文化,数学文化的价值又在哪里?对此,笔者十分赞同南京大学哲学系教授郑毓信给出的观点。“所谓数学文化,是指以数学家为主导的数学共同体(需要提及的是,在某种意义上,普通大众同样也是数学共同体重要的成员,他们在数学的创造、发展、进步等过程中,有着不可或缺的作用)所特有的行为、观念、态度和精神等,也即是指数学共同体所特有的生活或行为方式,或者说是特定的数学传统。”事实上,细心的读者一定已发现,这一对数学文化的界定,恰恰是上述文化定义的自然延伸与具体化,可谓是一脉相承。
乍一看,对数学文化的这一界定的确有点玄。事实上,笔者在与教师交流这一观点时,的确也从教师那儿获得了类似的反馈。但稍作深入思考后,问题似乎并不难理解。众所周知,数学不是纯客观的存在,而是人类思想领域的一种创造(尽管其原型或许来自于客观现实)。就像我们能看到1个人、1棵树、1朵花,却永远看不到抽象的数“1”;我们能找到像硬币、钟表、桌子、光盘等不计其数的具有圆形轮廓的物体,却永远不可能在现实世界中找到真正意义上抽象的平面图形“圆”,诸如此类。数学既然是一种创造物,那么,在其被创造的过程中,数学势必会印上其创造者(以数学家为代表的数学共同体)鲜明的烙印。他们的行为、观念、态度和精神势必会以一种独特的方式存在于数学之中,成为“投射”并“凝聚”于数学之中的重要因子。或许,呈现在我们面前的数学,通常只是些可视的、物态层面的内容(诸如数字、符号、公式、结论等),但凝聚于这些物态层面的数学背后的,正是那些以数学家为代表的数学共同体成员在从事数学创造、研究、学习、思考时所特有的思维方式、行为准则、精神气质、价值观念以及人格特征等。
事实上,如此情形也并非仅仅出现在数学这一文化现象身上。任何一种文化,在其被创造的过程中,势必都会凝聚其创造者(从更一般的角度看,则应是创造者共同体)的观念、态度、精神及气质,比如文学、艺术、历史等。只是,不同的文化,在其被文化主体缔造的过程中,所融入的思维方式、行为准则、精神气质、价值观念等不尽相同。比如,数学作为一种文化,其所折射出的精确、抽象、公理化的思维方式,务实求真的理性精神,不断超越及自我否定的创新气度,以及对简洁、对称、和谐、秩序等独特美感的敏锐洞察,等等,却是其他所有文化门类中所鲜有的。而这,正是数学所蕴涵着的更为丰富、广远的文化价值,也是我们的教学实践在彰显了数学的工具价值之后,更需着力开掘的文化宝藏。
三
明确了什么是数学文化,并探明数学文化的独特价值后,作为文化的数学及其教学只是具有了实现的可能。实践层面上,我们还需要着重并审慎提出的问题是,如何实现由“作为工具的数学”向“作为文化的数学”的切实转变?这才是最核心的问题,并真正关乎实践。
事实上,伴随着新一轮课程改革,尤其是随着课程标准对“数学是一种文化”的准确表述,实践层面对数学文化的探索十分密集,甚至曾一度达到“数学课堂言必称文化”的境地。问题也随之而来。
关于数学文化的探索与实践,发端于数学史在教学中的介入。无疑,这是一种有益的尝试。并且,由于数学史的介入给以“工具、推理、训练”为核心的数学课堂注入了活力,对数学发展历史的回顾也就改变、丰富了学生对数学的认识。数学原来并非只是一堆无意义的符号、数字、公式的堆砌,并非只是孤僻的数学家们闭门造车、无端臆想的结果,数学原来也关乎人性与道德、精神。数学在其发展历程中,也有着动人心魄的思想冲撞与对话。
当然,所有这一切得以实现的前提是,数学史料并不只是作为一种外在于数学的“趣闻轶事”附加到课堂上。数学史料的展开、还原、解密等,是数学史料之文化价值得以最大化实现的重要策略。在此,笔者愿意援引席争光老师“圆的周长”一课对数学史料的开掘作为例证,以说明上述问题。
通常,“祖冲之及其对圆周率研究至小数点后第七位”的史料,都会出现在本课教学中。但不同于其他教师简单呈现数学史料的方法,席老师的处理别具一格——
师:早在2000多年以前我国的一本数学专著《周髀算经》中就有“周三径一”的记载,(播放课件)周三径一,意思就是说,圆的周长总是直径的3倍,我们得出的结论是——
生:圆的周长和直径的比值是三点多。
师:很不简单嘛!这个结论在当时的生产生活中发生了巨大的作用。随着生产生活的不断进步,这个结论已经不能适应生产生活的需要了。为此,我国的数学家又用了新的方法来研究,同学们想了解一下吗?
生:想。
师:在这幅图中都有哪些图形?
生:圆和正6边形。
师:观察正6边形的边长和圆的半径的长度,你有什么发现?
生:正6边形的边长和圆的半径相等;正6边形的周长是半径的6倍、直径的3倍;圆的周长比直径的3倍多一些。
师:注意观察,(课件演示:在圆内接正6边形的基础上,出示圆内接正12边形)比较正12边形和圆的周长,你有什么发现?
生:正12边形的周长还是比圆的周长少,但比正六边形更接近圆的周长。
师:接着观察,(课件以类似方法呈现圆内接正24边形、正48边形)你又有什么新发现?
生答略。
师:如果再等分,又会是多少边形?
生:正96边形、正192边形……
师:就这样一直分下去,你有什么思考?
生:越往下分,多边形的周长就越接近圆的周长。正多边形的周长和“直径”的比值就越接近圆的周长和直径的比值。
师:这正是1700年前我国伟大的数学家刘徽提出的用“割圆术”求圆的周长和直径比值的方法。刘徽从正6边形入手,计算到正1536边形,得出圆的周长和直径的比值是3.1416。继刘徽之后,在南北朝时期,有一位伟大的数学家祖冲之,他更深入地进行了圆周长和直径比值的研究,并做出了杰出成就。现在我们一起来感受一下祖冲之研究的思路。在直径3.3333米的圆里,祖冲之一直分割到正12288边形,这时每条边的长度是0.852毫米。祖冲之没有停步,他继续分割得到正24576边形,这时每条边的长度大约是0.4毫米,不足半毫米,用针尖一点,它的长度大约就是半毫米。此时,多边形的周长和圆的周长相比会怎样?
生:已经非常接近。
生:几乎就可以当作圆的周长了。
生:这时求出的多边形的周长和直径的比值就会非常精确了。
师:同学们,祖冲之是我们民族的自豪和骄傲。正因为祖冲之的杰出成就,月球上有一座环形山命名为祖冲之山;宇宙中第1888号小行星也是以祖冲之的名字命名的。不过,圆的周长和直径的比值的研究还远没有结束。(课件播放近代圆周率的研究成果。教师板书:3.14159265358979323846……)
圆周率发展的历史在这一刻得以生动还原。课堂上,学生获得的不只是“原来如此”的感叹,更重要的是,圆周率作为一个特定的数学知识,它是如何一步步真实发展起来的,在这一过程中,人类永不知足的探索精神、不断超越的人性光辉又是如何发挥到极致的。对于学生精神生命的成长,这些无疑是一笔宝贵的资源。数学史,在这一意义上,才算是担当起其作为数学文化重要组成部分的责任和价值了。
然而,物极必反。对数学史料的过度关注,却引发了新的质疑和思考:能走进小学数学课堂的数学史料毕竟有限。更多日常的数学课堂里,离开了数学史料的点缀与铺陈,数学还能否作为一种文化存在于我们的课堂?家常的、朴素的数学课堂里,数学的文化价值与气度又该如何去实现?
我们不得不承认,正是这样的思考和质疑,让我们有可能重新停下脚步,去思考更具一般意义、更具日常渗透力的数学文化及其教学实践路线。进而得出如下的结论:有关数学文化的探讨与实践至此远没有结束,甚至只是一个开始。对于博大精深的数学文化而言,数学史料充其量只是其不可或缺的组成部分,是一个引子。正如前文所述:数学作为一种文化,其所折射出的精确、抽象、公理化的思维方式,务实求真的理性精神,不断超越及自我否定的创新气度,以及对简洁、对称、和谐、秩序等独特美感的敏锐洞察等,这些才是作为文化的数学所具备的文化价值的丰富内涵。也正是在这样的认识背景下,如下的实践与思考,似乎为数学文化今后的发展提供了新的线索。
比如,教学“三角形的内角和”时,当所有学生通过所谓的“测量”,无一例外地得出三角形的内角和都是180度时,你是否应该怀疑,这一看似准确的结论背后,似乎隐藏着一些有悖于数学“务真求实”精神的状况?众所周知,实验过程中误差的存在是毋庸置疑的。并且,正是因为有了178度、181度、179度……等多样化且都接近180度的实验结果,才为我们最终揭示“三角形的内角和”奠定坚实的基础。更重要的是,正视实验的误差,正视数学探索过程中出现的任何看似存在“问题”的数据,这正是数学研究中必须遵守的游戏规则。否则,再“准确”的结论,也是有悖于数学精神的。事实上,对学生而言,数学学习除了指向于数学事实的获得,更应该指向数学研究方法的掌握、数学研究品质的生成。相对前者而言,后者可能是伴随其一生的财富,也是学生在未来工作、生活中时时需要用到的数学文化素养。
再比如,教学“加法交换律”时,为了说明猜想“任意两数相加,交换它们的位置,和不变”成立,当学生举出的十几个例子几乎都局限在了“一位数加一位数”时,教师完全可以以一句“有了这么多例子,猜想能成立吗”,顺势得出结论。然而,有位教师选择了另一种思路:“例子真的是越多越好吗?”“如果都是一位数加一位数的例子,举出两三个和举出十几个有多大区别?”“还能举出不同的例子吗?比如两位数加三位数,分数加分数,0加一个数,等等。”“你觉得这样的例子对于我们得出结论有什么作用?”一堂课下来,学生的思维显然不再如最初般流畅。然而,正是在这位教师的课堂中,我们似乎读到了超越于一般知识与技能的更高追求,那就是,数学学习,还应致力于帮助学生养成严谨的研究方式、缜密的思维习惯,进而在数学研究的过程中,获得对数学方法论的初步熏陶。而这些,不同样是数学文化价值的生动体现吗?
类似的案例,我们一定还可以找出很多。在笔者看来,它们的价值在于向我们传递出了这样的信号:数学史不是数学文化的全部,它其实就在我们身边,就真真切切地弥散在我们每一天朴素的数学课堂上。只要用心去体会、去捕捉、去开启,我们有理由相信,数学内在的文化价值一定会得以释放,并成为影响学生数学成长的重要精神源泉。(作者单位:江苏省南京市北京东路小学)
□责任编辑 邓园生
E-mail: jxjydys@126.com
无疑,从不同角度看,数学具有多重身份和角色:数学是一门工具、是一种语言、是一门科学、是一种文化……事实上,在过去的时间里,我们已经有意或无意地践行着作为工具的数学、作为语言的数学、作为思维模式的数学,等等。本文试图转变视角,从文化的视角重新观照并确认数学的本质,尝试在实践层面上给出一些肤浅的、更接近数学本意的表达。
从作为工具、语言、思维模式的数学,转而走向作为文化的数学,视角转换的背后折射出的是认识和理解的差异。所谓认识决定行动。因而,本文愿意首先对什么是“文化”,数学是否“作为一种文化”作一些简单探讨与说明。
二
2001年颁布的数学课程标准明确指出:数学是人类的一种文化,它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。无疑,这一论述让我们对数学有了重新思考的可能,也给我们的数学教学实践提出了新的课题。随之而来的关于“数学文化”的热烈、持续的探讨,恰是一种必然的呼应。然而,令人遗憾的是,课程标准并没有对文化乃至数学文化给出明确的界定。并且,理论的缺席已经给实践带来消极影响,澄清认识似乎已成当务之急。否则,实践上必难有深入的跟进。
“文化”是我们十分熟悉而其内涵又颇为丰富、复杂的一个科学概念。在我国古代典籍中,“文化”指“文治教化”“礼乐典章制度”等,前者用作动词,后者为名词。现代意义上的“文化”,是由西方引进的。对于“什么是文化”这一问题,叶志良先生在《大众文化》中的如下表述极具代表性:“每个试图对文化作出界定的人,都可以在自己的学科视野、知识背景、学术立场、社会环境等基础上,对文化的定义提出自己的见解。20世纪60年代,著名文化学家阿尔弗雷德·克洛依伯克莱德·克勒克荷恩在《文化:概念和定义述评》中曾经列出160余种文化定义。”上述论断足以说明,文化正像钱钟书先生所讲的“你不说我还清楚,你越说我越糊涂”的那类概念。
尽管如此,如下对文化的广义定义,依然在国内得到了多数人的认同。“所谓文化,是指人类社会历史实践过程中所创造的物质财富和精神财富的总和。”撇开其中物质层面的文化不谈,与此相关的另一有关文化的定义,同样得到大众的广泛认可。即“所谓文化,是指一定社会群体创造、习得且共有的一切观念和行为”。
回到数学问题上来。数学“是人类社会历史实践过程中所创造的物质或精神财富”吗?进而,数学可以看作是“一定社会群体创造、习得且共有的观念和行为”吗?答案无疑是肯定的。至此,数学“作为一种文化”的身份得以确立:数学的确是一种文化。进而,为了区别于其他文化,我们把数学这一文化类别称作数学文化。这就是数学文化的由来。
明确了什么是文化,随之而来的问题是,与其他文化分支相比,数学文化的独特性及价值表现在哪儿?换言之,什么是数学文化,数学文化的价值又在哪里?对此,笔者十分赞同南京大学哲学系教授郑毓信给出的观点。“所谓数学文化,是指以数学家为主导的数学共同体(需要提及的是,在某种意义上,普通大众同样也是数学共同体重要的成员,他们在数学的创造、发展、进步等过程中,有着不可或缺的作用)所特有的行为、观念、态度和精神等,也即是指数学共同体所特有的生活或行为方式,或者说是特定的数学传统。”事实上,细心的读者一定已发现,这一对数学文化的界定,恰恰是上述文化定义的自然延伸与具体化,可谓是一脉相承。
乍一看,对数学文化的这一界定的确有点玄。事实上,笔者在与教师交流这一观点时,的确也从教师那儿获得了类似的反馈。但稍作深入思考后,问题似乎并不难理解。众所周知,数学不是纯客观的存在,而是人类思想领域的一种创造(尽管其原型或许来自于客观现实)。就像我们能看到1个人、1棵树、1朵花,却永远看不到抽象的数“1”;我们能找到像硬币、钟表、桌子、光盘等不计其数的具有圆形轮廓的物体,却永远不可能在现实世界中找到真正意义上抽象的平面图形“圆”,诸如此类。数学既然是一种创造物,那么,在其被创造的过程中,数学势必会印上其创造者(以数学家为代表的数学共同体)鲜明的烙印。他们的行为、观念、态度和精神势必会以一种独特的方式存在于数学之中,成为“投射”并“凝聚”于数学之中的重要因子。或许,呈现在我们面前的数学,通常只是些可视的、物态层面的内容(诸如数字、符号、公式、结论等),但凝聚于这些物态层面的数学背后的,正是那些以数学家为代表的数学共同体成员在从事数学创造、研究、学习、思考时所特有的思维方式、行为准则、精神气质、价值观念以及人格特征等。
事实上,如此情形也并非仅仅出现在数学这一文化现象身上。任何一种文化,在其被创造的过程中,势必都会凝聚其创造者(从更一般的角度看,则应是创造者共同体)的观念、态度、精神及气质,比如文学、艺术、历史等。只是,不同的文化,在其被文化主体缔造的过程中,所融入的思维方式、行为准则、精神气质、价值观念等不尽相同。比如,数学作为一种文化,其所折射出的精确、抽象、公理化的思维方式,务实求真的理性精神,不断超越及自我否定的创新气度,以及对简洁、对称、和谐、秩序等独特美感的敏锐洞察,等等,却是其他所有文化门类中所鲜有的。而这,正是数学所蕴涵着的更为丰富、广远的文化价值,也是我们的教学实践在彰显了数学的工具价值之后,更需着力开掘的文化宝藏。
三
明确了什么是数学文化,并探明数学文化的独特价值后,作为文化的数学及其教学只是具有了实现的可能。实践层面上,我们还需要着重并审慎提出的问题是,如何实现由“作为工具的数学”向“作为文化的数学”的切实转变?这才是最核心的问题,并真正关乎实践。
事实上,伴随着新一轮课程改革,尤其是随着课程标准对“数学是一种文化”的准确表述,实践层面对数学文化的探索十分密集,甚至曾一度达到“数学课堂言必称文化”的境地。问题也随之而来。
关于数学文化的探索与实践,发端于数学史在教学中的介入。无疑,这是一种有益的尝试。并且,由于数学史的介入给以“工具、推理、训练”为核心的数学课堂注入了活力,对数学发展历史的回顾也就改变、丰富了学生对数学的认识。数学原来并非只是一堆无意义的符号、数字、公式的堆砌,并非只是孤僻的数学家们闭门造车、无端臆想的结果,数学原来也关乎人性与道德、精神。数学在其发展历程中,也有着动人心魄的思想冲撞与对话。
当然,所有这一切得以实现的前提是,数学史料并不只是作为一种外在于数学的“趣闻轶事”附加到课堂上。数学史料的展开、还原、解密等,是数学史料之文化价值得以最大化实现的重要策略。在此,笔者愿意援引席争光老师“圆的周长”一课对数学史料的开掘作为例证,以说明上述问题。
通常,“祖冲之及其对圆周率研究至小数点后第七位”的史料,都会出现在本课教学中。但不同于其他教师简单呈现数学史料的方法,席老师的处理别具一格——
师:早在2000多年以前我国的一本数学专著《周髀算经》中就有“周三径一”的记载,(播放课件)周三径一,意思就是说,圆的周长总是直径的3倍,我们得出的结论是——
生:圆的周长和直径的比值是三点多。
师:很不简单嘛!这个结论在当时的生产生活中发生了巨大的作用。随着生产生活的不断进步,这个结论已经不能适应生产生活的需要了。为此,我国的数学家又用了新的方法来研究,同学们想了解一下吗?
生:想。
师:在这幅图中都有哪些图形?
生:圆和正6边形。
师:观察正6边形的边长和圆的半径的长度,你有什么发现?
生:正6边形的边长和圆的半径相等;正6边形的周长是半径的6倍、直径的3倍;圆的周长比直径的3倍多一些。
师:注意观察,(课件演示:在圆内接正6边形的基础上,出示圆内接正12边形)比较正12边形和圆的周长,你有什么发现?
生:正12边形的周长还是比圆的周长少,但比正六边形更接近圆的周长。
师:接着观察,(课件以类似方法呈现圆内接正24边形、正48边形)你又有什么新发现?
生答略。
师:如果再等分,又会是多少边形?
生:正96边形、正192边形……
师:就这样一直分下去,你有什么思考?
生:越往下分,多边形的周长就越接近圆的周长。正多边形的周长和“直径”的比值就越接近圆的周长和直径的比值。
师:这正是1700年前我国伟大的数学家刘徽提出的用“割圆术”求圆的周长和直径比值的方法。刘徽从正6边形入手,计算到正1536边形,得出圆的周长和直径的比值是3.1416。继刘徽之后,在南北朝时期,有一位伟大的数学家祖冲之,他更深入地进行了圆周长和直径比值的研究,并做出了杰出成就。现在我们一起来感受一下祖冲之研究的思路。在直径3.3333米的圆里,祖冲之一直分割到正12288边形,这时每条边的长度是0.852毫米。祖冲之没有停步,他继续分割得到正24576边形,这时每条边的长度大约是0.4毫米,不足半毫米,用针尖一点,它的长度大约就是半毫米。此时,多边形的周长和圆的周长相比会怎样?
生:已经非常接近。
生:几乎就可以当作圆的周长了。
生:这时求出的多边形的周长和直径的比值就会非常精确了。
师:同学们,祖冲之是我们民族的自豪和骄傲。正因为祖冲之的杰出成就,月球上有一座环形山命名为祖冲之山;宇宙中第1888号小行星也是以祖冲之的名字命名的。不过,圆的周长和直径的比值的研究还远没有结束。(课件播放近代圆周率的研究成果。教师板书:3.14159265358979323846……)
圆周率发展的历史在这一刻得以生动还原。课堂上,学生获得的不只是“原来如此”的感叹,更重要的是,圆周率作为一个特定的数学知识,它是如何一步步真实发展起来的,在这一过程中,人类永不知足的探索精神、不断超越的人性光辉又是如何发挥到极致的。对于学生精神生命的成长,这些无疑是一笔宝贵的资源。数学史,在这一意义上,才算是担当起其作为数学文化重要组成部分的责任和价值了。
然而,物极必反。对数学史料的过度关注,却引发了新的质疑和思考:能走进小学数学课堂的数学史料毕竟有限。更多日常的数学课堂里,离开了数学史料的点缀与铺陈,数学还能否作为一种文化存在于我们的课堂?家常的、朴素的数学课堂里,数学的文化价值与气度又该如何去实现?
我们不得不承认,正是这样的思考和质疑,让我们有可能重新停下脚步,去思考更具一般意义、更具日常渗透力的数学文化及其教学实践路线。进而得出如下的结论:有关数学文化的探讨与实践至此远没有结束,甚至只是一个开始。对于博大精深的数学文化而言,数学史料充其量只是其不可或缺的组成部分,是一个引子。正如前文所述:数学作为一种文化,其所折射出的精确、抽象、公理化的思维方式,务实求真的理性精神,不断超越及自我否定的创新气度,以及对简洁、对称、和谐、秩序等独特美感的敏锐洞察等,这些才是作为文化的数学所具备的文化价值的丰富内涵。也正是在这样的认识背景下,如下的实践与思考,似乎为数学文化今后的发展提供了新的线索。
比如,教学“三角形的内角和”时,当所有学生通过所谓的“测量”,无一例外地得出三角形的内角和都是180度时,你是否应该怀疑,这一看似准确的结论背后,似乎隐藏着一些有悖于数学“务真求实”精神的状况?众所周知,实验过程中误差的存在是毋庸置疑的。并且,正是因为有了178度、181度、179度……等多样化且都接近180度的实验结果,才为我们最终揭示“三角形的内角和”奠定坚实的基础。更重要的是,正视实验的误差,正视数学探索过程中出现的任何看似存在“问题”的数据,这正是数学研究中必须遵守的游戏规则。否则,再“准确”的结论,也是有悖于数学精神的。事实上,对学生而言,数学学习除了指向于数学事实的获得,更应该指向数学研究方法的掌握、数学研究品质的生成。相对前者而言,后者可能是伴随其一生的财富,也是学生在未来工作、生活中时时需要用到的数学文化素养。
再比如,教学“加法交换律”时,为了说明猜想“任意两数相加,交换它们的位置,和不变”成立,当学生举出的十几个例子几乎都局限在了“一位数加一位数”时,教师完全可以以一句“有了这么多例子,猜想能成立吗”,顺势得出结论。然而,有位教师选择了另一种思路:“例子真的是越多越好吗?”“如果都是一位数加一位数的例子,举出两三个和举出十几个有多大区别?”“还能举出不同的例子吗?比如两位数加三位数,分数加分数,0加一个数,等等。”“你觉得这样的例子对于我们得出结论有什么作用?”一堂课下来,学生的思维显然不再如最初般流畅。然而,正是在这位教师的课堂中,我们似乎读到了超越于一般知识与技能的更高追求,那就是,数学学习,还应致力于帮助学生养成严谨的研究方式、缜密的思维习惯,进而在数学研究的过程中,获得对数学方法论的初步熏陶。而这些,不同样是数学文化价值的生动体现吗?
类似的案例,我们一定还可以找出很多。在笔者看来,它们的价值在于向我们传递出了这样的信号:数学史不是数学文化的全部,它其实就在我们身边,就真真切切地弥散在我们每一天朴素的数学课堂上。只要用心去体会、去捕捉、去开启,我们有理由相信,数学内在的文化价值一定会得以释放,并成为影响学生数学成长的重要精神源泉。(作者单位:江苏省南京市北京东路小学)
□责任编辑 邓园生
E-mail: jxjydys@126.com