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思维的独创性是学生最可贵的思维品质，具有明显的后天性，是在主体思维的过程中逐步形成和稳定化的，因而在其形成和发展时期具有可培养性.对一些问题，教师要帮助学生多方位观察，积极思考，展现出新颖独特的思维风格和纵横驰聘的思想态势，从而培养他们的思维的独特性.
点评：上例没有受去掉根号这一框框的束缚，大胆而又科学地联想到均值定理，产生了瞬间的思想火花，思维中出现了一刹那的解题方法，开辟了一条新思路.这样不但使利用常规方法不易解决的问题得到了解决，而且也使学生的创造性思维得到了发展.
例2 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球，则摸出的两只球都是白球的概率是多少？
思维分析：此题是课本上的一道题，解法是这样的：记“摸到白球”为事件A，则事件A包含的事件数为3，而基本事件总数为10.所以，摸到白球的概率为310.在讲解完此题后，富有创造性的学生会问“如果从口袋内先摸一个球，再摸一个球，摸到的两球为白球的概率是多少？”
记“摸到白球”为事件B，则事件B包含的事件数为6，而基本事件总数为20.所以摸到白球的概率也为310.
此时，学生就会疑惑，怎么会出现两题一样的结果呢？甚至他们还会想问“是不是此题中随便摸两个球是白球的概率都是310呢？”
面对这样的问题，教师不必忙于回答，可以让学生自己将题目再变形，叫他们思考本题中还可以怎样取两个球.经过学生的思考和老师的点拨后，能出现这个问题“从口袋内先取一个球观察颜色后放回，再从口袋内取一个球，那么，此时两球是白球的概率又是多少？”
解：记“摸到白球”为事件C，则事件C包含的事件数为9，而基本事件总数为25.所以，摸到白球的概率为925.
点评：在一次次的变化中，学生的思维尤其是创造性思维得到了锻炼，相似问题的辨别也会在历练中培养学生的勤思、爱动脑的好的学习习惯.
由此看来，我们在解题教学中，要培养学生独立思考的自觉性，教育他们要勇于创新，敢于突破常规的思考方法和解题方式，大胆提出新颖的见解和解法，学会猜想，使他们逐步具有思维独创性这一良好品质，这样就能使学生在解题中出现奇思妙想.鉴于此，对学生独创性的培养要做到：第一，教学上应充分鼓励学生创造性思维的萌芽，千万不可泼冷水，这是培养思维独创性的原则，不可违背.第二，鼓励学生自己编题，更换问题的条件，考察结论的变化，以此可激发学生创造性思维的火花.第三，通过归纳思维、类比思维的训练，提高发现问题，作出猜想的能力.第四，通过对猜想的肯定与论证，提高发现证明思路的能力.
开放思维的广阔性主要表现在能够较多方面地而又仔细地研究问题.不但能研究问题的本身，而且又能研究有关的其他问题.任何一个事件总不会都像一个球，从每个角度看都是一种形状而无变化，任何一个事物也总不会都像一张白纸，看上去永远是一个平面而无层次，应当提倡立体思维，也就是多角度、多层次地思维，引导学生思考问题应当多方面进行既可开阔学生的思路，又得到了新的启发.
由此你能得出哪些结论？并说明之.
思维分析：这是一道结论不确定的开放型问题，因而为学生多方面、多角度思考问题提供了广阔的空间.此题可组织学生进行讨论.经过讨论学生们得出了许多的结论，主要思路可归纳为两大类：一是从三角函数的恒等变形角度思考，如考虑如下变形：①+②，①2+②2，①×②等，可得出一系列等式；二是利用数形结合的思想来考虑：设点A的坐标是（cosα，sinα），点B的坐标是（cosβ，sinβ），点C的坐标是（cosγ，sinγ），则点A，B，C在单位圆上；原点O为ΔABC的外心和重心，ΔABC为正三角形；A，B，C三点均匀地分布在单位圆上.
点评：通过这样的开放型问题的讨论，不仅培养了学生思维的广阔性，同时也培养了学生学习数学的兴趣和勇于探索的精神.
例4 已知：α，β为锐角，且cosα=17，
cos（α+β）=1114，求：cosβ .
思维分析：学生一般是将cos（α+β）展开，试图由解方程求cosβ，而告失败.这种思路是常规的思考方法，但受思维狭隘性的影响，使思维集中于α，β这两个角及之间的和差关系，没有察觉到更广阔的范围（α，β和α+β的三角情形）或β=（α+β）-α这一层关系，由cosβ=cos［（α+β）-α］展开再代入计算；表现为思维角度，方向单一，从而导致方法单调，过程复杂而终告失败.
这种现象，典型地属于思维广阔性的反面——思维的狭隘性.其表现为思路狭窄，既不能察觉到问题涉及的广阔范围或在广阔的范围内多角度，多方向的思考，又不能纵观全局，往往把思维集中于某一点或某一方向上.为了能有效地预防，在平时的教学过程中，应注意避免常规方法这种思维定势的负面影响；注重进行一题多解的经常性练习，同时适当记忆一些典型的反例，以从中吸取教训，来预防思维的狭隘性.从反面培养学生数学思维的广阔性.
结合教学实践可以从以下几方面来培养学生思维的广阔性：第一，对例、习题善于挖掘，给学生以深刻启迪，鼓励学生拓展思路，多角度，多方位探求不同解法，鼓励学生，敢于突破，灵活思维，建立数学各分支之间的横向联系；第二，发挥学生思维的主体作用，调动学生积极思维；第三，反思解题思路，探索习题间的联系；第四，加强解题方法的沟通方式；第五，创造“超范围”问题的构造情境；第六，一题多变，一题多解，一图多画，一题多问.
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点评：上例没有受去掉根号这一框框的束缚，大胆而又科学地联想到均值定理，产生了瞬间的思想火花，思维中出现了一刹那的解题方法，开辟了一条新思路.这样不但使利用常规方法不易解决的问题得到了解决，而且也使学生的创造性思维得到了发展.
例2 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球，则摸出的两只球都是白球的概率是多少？
思维分析：此题是课本上的一道题，解法是这样的：记“摸到白球”为事件A，则事件A包含的事件数为3，而基本事件总数为10.所以，摸到白球的概率为310.在讲解完此题后，富有创造性的学生会问“如果从口袋内先摸一个球，再摸一个球，摸到的两球为白球的概率是多少？”
记“摸到白球”为事件B，则事件B包含的事件数为6，而基本事件总数为20.所以摸到白球的概率也为310.
此时，学生就会疑惑，怎么会出现两题一样的结果呢？甚至他们还会想问“是不是此题中随便摸两个球是白球的概率都是310呢？”
面对这样的问题，教师不必忙于回答，可以让学生自己将题目再变形，叫他们思考本题中还可以怎样取两个球.经过学生的思考和老师的点拨后，能出现这个问题“从口袋内先取一个球观察颜色后放回，再从口袋内取一个球，那么，此时两球是白球的概率又是多少？”
解：记“摸到白球”为事件C，则事件C包含的事件数为9，而基本事件总数为25.所以，摸到白球的概率为925.
点评：在一次次的变化中，学生的思维尤其是创造性思维得到了锻炼，相似问题的辨别也会在历练中培养学生的勤思、爱动脑的好的学习习惯.
由此看来，我们在解题教学中，要培养学生独立思考的自觉性，教育他们要勇于创新，敢于突破常规的思考方法和解题方式，大胆提出新颖的见解和解法，学会猜想，使他们逐步具有思维独创性这一良好品质，这样就能使学生在解题中出现奇思妙想.鉴于此，对学生独创性的培养要做到：第一，教学上应充分鼓励学生创造性思维的萌芽，千万不可泼冷水，这是培养思维独创性的原则，不可违背.第二，鼓励学生自己编题，更换问题的条件，考察结论的变化，以此可激发学生创造性思维的火花.第三，通过归纳思维、类比思维的训练，提高发现问题，作出猜想的能力.第四，通过对猜想的肯定与论证，提高发现证明思路的能力.
开放思维的广阔性主要表现在能够较多方面地而又仔细地研究问题.不但能研究问题的本身，而且又能研究有关的其他问题.任何一个事件总不会都像一个球，从每个角度看都是一种形状而无变化，任何一个事物也总不会都像一张白纸，看上去永远是一个平面而无层次，应当提倡立体思维，也就是多角度、多层次地思维，引导学生思考问题应当多方面进行既可开阔学生的思路，又得到了新的启发.
由此你能得出哪些结论？并说明之.
思维分析：这是一道结论不确定的开放型问题，因而为学生多方面、多角度思考问题提供了广阔的空间.此题可组织学生进行讨论.经过讨论学生们得出了许多的结论，主要思路可归纳为两大类：一是从三角函数的恒等变形角度思考，如考虑如下变形：①+②，①2+②2，①×②等，可得出一系列等式；二是利用数形结合的思想来考虑：设点A的坐标是（cosα，sinα），点B的坐标是（cosβ，sinβ），点C的坐标是（cosγ，sinγ），则点A，B，C在单位圆上；原点O为ΔABC的外心和重心，ΔABC为正三角形；A，B，C三点均匀地分布在单位圆上.
点评：通过这样的开放型问题的讨论，不仅培养了学生思维的广阔性，同时也培养了学生学习数学的兴趣和勇于探索的精神.
例4 已知：α，β为锐角，且cosα=17，
cos（α+β）=1114，求：cosβ .
思维分析：学生一般是将cos（α+β）展开，试图由解方程求cosβ，而告失败.这种思路是常规的思考方法，但受思维狭隘性的影响，使思维集中于α，β这两个角及之间的和差关系，没有察觉到更广阔的范围（α，β和α+β的三角情形）或β=（α+β）-α这一层关系，由cosβ=cos［（α+β）-α］展开再代入计算；表现为思维角度，方向单一，从而导致方法单调，过程复杂而终告失败.
这种现象，典型地属于思维广阔性的反面——思维的狭隘性.其表现为思路狭窄，既不能察觉到问题涉及的广阔范围或在广阔的范围内多角度，多方向的思考，又不能纵观全局，往往把思维集中于某一点或某一方向上.为了能有效地预防，在平时的教学过程中，应注意避免常规方法这种思维定势的负面影响；注重进行一题多解的经常性练习，同时适当记忆一些典型的反例，以从中吸取教训，来预防思维的狭隘性.从反面培养学生数学思维的广阔性.
结合教学实践可以从以下几方面来培养学生思维的广阔性：第一，对例、习题善于挖掘，给学生以深刻启迪，鼓励学生拓展思路，多角度，多方位探求不同解法，鼓励学生，敢于突破，灵活思维，建立数学各分支之间的横向联系；第二，发挥学生思维的主体作用，调动学生积极思维；第三，反思解题思路，探索习题间的联系；第四，加强解题方法的沟通方式；第五，创造“超范围”问题的构造情境；第六，一题多变，一题多解，一图多画，一题多问.
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